Números irracionais | Recomposição de Aprendizagem

Números irracionais são uma fascinante extensão do mundo dos números, que vão além das fronteiras dos números inteiros e racionais. Eles são números que não podem ser representados através de uma fração com numerador e denominador inteiros. 

Nesta trilha, vamos explorar a complexidade dos números irracionais, conceituando-os e resolvendo problemas envolvendo as quatro operações básicas.

É importante apontar que esta trilha do Explica do Zero: Recomposição de Aprendizagem trabalha principalmente com os números irracionais que são raízes, principalmente as raízes quadradas. Embora alguns conceitos, tal como o de aproximações, funcione para todo tipo de número racional, certas regras de operações só fazem sentido no contexto de números irracionais que são raízes.

Videoaula de introdução aos números irracionais

No primeiro vídeo desta série, o professor Lucas Borguezan apresenta uma introdução aos números irracionais. Você vai ser apresentado a este intrigante tipo de número, que não pode ser representado a partir da razão de dois números inteiro e que, em vários casos, será trabalhado a partir do uso de aproximações.

Introdução aos Números Irracionais

Os números irracionais são uma classe especial de números que não podem ser expressos como frações de números inteiros. Eles têm expansões decimais infinitas e não periódicas. Um exemplo famoso é a raiz quadrada de 2 (√2), que é aproximadamente igual a 1,41421356237…

Os números irracionais são fundamentais em matemática e têm aplicações em diversas áreas, desde geometria até a física teórica.

Muitas vezes quando precisamos fazer cálculos usando números irracionais, podemos fazê-los a partir de aproximações, essa prática é comum em questões de física e química. Por exemplo, se precisarmos fazer a soma √2+√2, podemos aproximar cada uma destas raízes ao número 1,4, escrevemos √ ≅ 1,4. 

Desta forma, a soma aproximada seria √. Ou seja, o valor aproximado da soma é √2+√2 ≅ 2,8.

De maneira similar, podemos realizar a operação √2 . √2, com a aproximação √2 . √2 ≅ 1,4 . 1,4 = 1,96.

Entretanto, é importante notar que esse tipo de operação através de aproximação não será sempre a escolha correta, você deve aplicá-lo apenas quando a questão ou o contexto indicar que este é o caminho certo.

Para aprender a fazer esse tipo de operação sem fazer o uso de operações, confira os vídeos a seguir.

Videoaula sobre soma e subtração com números irracionais

No segundo vídeo, o professor Lucas Borguezan nos guiará pelas operações de soma e subtração com números irracionais. Diferente da soma que fizemos anteriormente, agora, não estamos atrás de uma aproximação.

Soma e Subtração com Números Irracionais

Para somar ou subtrair números irracionais, mais precisamente, as raízes, precisamos primeiro analisar se esses números são semelhantes. Por exemplo, ao somar √2+√3, note que estamos tentando somar duas raízes não exatas de números diferentes. Dessa forma, não podemos desenvolver a soma sem realizar algum tipo de aproximação.

De forma diferente, na soma 3√2+2√2, note que estamos somando dois valores semelhantes, isto é, sua parte irracional é exatamente igual (√2). Dessa forma, para realizar a adição, basta voltar o foco a parte inteira, isto é: 3√2+2√2=5√2. Pense que você está somando três partes de um valor com duas partes deste mesmo valor, o resultado é intuitivamente 5 partes.

Na subtração seguimos a mesma lógica, podemos operar 5√3-2√3, fazendo a operação com suas partes inteiras: 5√3-2√3=3√3. Entretanto, sem fazer o uso de aproximações, não podemos operar √3-√2.

É importante notar que necessitamos checar sempre se as raízes de números não primos são semelhantes. 

Um exemplo disso é na soma √128+√32. Em um primeiro momento, essas raízes não parecem ser semelhantes, mas se seguirmos o processo de fatoração mostrado no primeiro vídeo, vamos encontrar as igualdades √128=8√2 e √32=4√2. 

Dessa forma, podemos reescrever nossa soma da seguinte forma √128+√32=8√2+4√2. Pela qual, seguindo a lógica anterior, encontramos o resultado √128+√32=12√2.

Essas operações são cruciais em matemática e outras ciências físicas e naturais, onde lidamos com grandezas que não podem ser expressas de forma exata como números inteiros ou racionais.

Videoaula sobre multiplicação de números irracionais

No terceiro vídeo, o professor Lucas Borguezan explora a multiplicação de números irracionais, mais precisamente, das raízes. Multiplicar raízes envolve multiplicar os seus radicandos, veja só.

Multiplicação de Números Irracionais

Para multiplicar raízes de mesma ordem, basta fazer a multiplicação de seus radicandos, isto é, multiplicar os números dentro das raízes e manter o resultado dentro da raiz. Por exemplo, para multiplicar √2 por √3, você multiplica 2 por 3 para obter 6 e mantém o resultado dentro da raiz, obtendo √2. √3=√6.

Lembrando que podemos encontrar um resultado que pode ser simplificado. Por exemplo, ao fazermos a multiplicação √20 . √3, encontramos o resultado √20 . √3=√60, que por sua vez, pode ser simplificado através de fatoração da seguinte forma 2√15.

Divisão de Números Irracionais

Felizmente, como você já aprendeu a multiplicar raízes, não terá problema nenhum em aprender a dividi-las!

Da mesma forma que fizemos na multiplicação, para resolvermos essas operações com raízes de mesma ordem, bastará operar os radicandos da maneira tradicional. 

Por exemplo, ao realizarmos a divisão √150 ÷ √3, vamos operar os radicandos 150 e 3 normalmente, o quociente dessa divisão será colocado dentro da raiz. Desta forma, como 150 ÷ 3=50, temos √150 ÷ √3=50. Essa raiz ainda pode ser simplificada como √50=√25 . 2=√25 . √2=5√2.

Videoaula sobre racionalização de expressões com números irracionais

Além das operações básicas, é importante mencionar a racionalização de expressões que envolvem números irracionais. Isso é feito para remover raízes quadradas ou outras formas de números irracionais do denominador de uma fração. 

Para concluir esta trilha, veja o vídeo do professor Lucas Borguezan sobre o assunto.

Racionalização de Números Irracionais

Por exemplo, ao racionalizar a expressão , você multiplica tanto o numerador quanto o denominador por √2, da seguinte forma: . Desenvolvendo as multiplicações, encontramos o resultado . Isso torna a expressão mais conveniente para cálculos posteriores.

Dominar a racionalização é essencial para lidar com equações e expressões complexas, especialmente considerando que as respostas em concursos e exames tais como o ENEM sempre estarão racionalizadas!

Nesta trilha sobre números irracionais, você explorou desde a introdução a esses números intrigantes até as operações fundamentais de soma, subtração, multiplicação e divisão, além da importante técnica de racionalização. Os números irracionais desafiam nossa compreensão, mas também nos permitem mergulhar nas complexidades matemáticas. 

Para sedimentar melhor esse assunto em sua lista de conhecimentos matemáticos, utilize as questões abaixo para revisão.

Exercícios

Questão 01 – (IFPR/2019): 

Ao resolver um problema matemático, verificou-se que todos os números irracionais compreendidos entre os números 2 e 3 formam o conjunto solução desse problema. Sendo assim, temos que uma das soluções é:

a) 2,14.

b) 4/3.

c) √2.

d) √5.

Questão 02 – (UEM PR/2017):

Sobre os conjuntos numéricos, é correto afirmar que:

01. o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

02. a soma de dois números irracionais é sempre um número racional.

04. o produto de um número irracional por um número racional não nulo é sempre um número irracional.

08. a soma de um número irracional com um número racional é sempre um número irracional.

16. o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Questão 03:

Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional. Um exemplo é:

a) √12 . √3=√36

b) √4 . √9= 6

c) √3 . 1=√3

d) √2 . 2=√8

e) √2 . √3=√6

Questão 04 – (UEM PR/2012):

Assinale o que for correto.

16. A multiplicação de quaisquer dois números irracionais resulta sempre em um número irracional.

GABARITO: 

1) D

2) 28

3) A

4) 03

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