Venha estudar essa trilha completa de introdução à álgebra para a Recomposição de Aprendizagem! Domine os conceitos e as operações mais básicas para avançar!
A álgebra é uma área fundamental da matemática que lida com símbolos e com as regras para manipular esses símbolos. Nesta trilha de introdução à álgebra para a Recomposição de Aprendizagem, vamos explorar seus conceitos e regras básicas, incluindo incógnitas, evidências e distributivas, equações e equações racionais.
Vamos começar!
Videoaula sobre incógnita
No primeiro vídeo dessa trilha, você irá aprender com o professor Lucas Borguezan o conceito de incógnita, um dos pilares da álgebra. Além de aprender o que é uma incógnita, também aprenderá como trabalhar com elas em operações de soma e multiplicação.
Conceito e operações com incógnitas
Uma incógnita é um símbolo que representa um número desconhecido em uma equação ou expressão matemática. Normalmente, usamos letras como x, y ou z para representar incógnitas.
Por exemplo, na equação x+5=9, a letra ‘x’ representa um número que, quando somado a 5, resulta em 9.
O valor da incógnita ‘x’ nesta equação é 4, afinal, 4+5=9. O processo de encontrar o valor de uma incógnita chamamos de ‘resolver uma equação’ ou ‘encontrar o valor de x’. Vamos falar mais sobre este processo mais adiante nesta trilha.
Assim como fazemos com números, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir incógnitas. Por hora, vamos focar nos processos de soma e multiplicação.
Soma de incógnitas
Podemos somar apenas expressões que tenham termos algébricos semelhantes, isto é, aquelas que possuem a parte literal (letras) exatamente igual.
Por exemplo, a soma 2x+3y não pode ser simplificada, já que a parte literal de cada termo é diferente. O mesmo acontece para 5xy+4y.
No caso em que a parte literal é igual, realizamos a soma da parte numérica, mantendo a parte literal sem alteração.
Por exemplo, na expressão 5x+3x, fazemos a adição das partes numéricas (neste caso, 5 e 3) e mantemos a parte literal, assim: 5x+3x=8x.
Multiplicação de incógnitas
Sempre podemos simplificar a multiplicação de termos algébricos, independente deles serem semelhantes ou não. Para isso, vamos multiplicar a parte numérica e unir as incógnitas semelhantes. Veja bem: vamos multiplicar 5x²y⋅3x²y².
Primeiramente, multiplicamos a parte numérica que neste caso resulta em 15.
Agora, vamos unir as incógnitas semelhantes, para isso, vamos contar quantas vezes cada uma aparece. Para o x, note que ele aparece duas vezes no primeiro termo (x² é como se tivéssemos duas incógnitas x) e duas vezes no segundo termo, então, sabemos que ele aparecerá no resultado quatro vezes, ou seja, x4. Fazendo a mesma coisa para o y, note que ele aparece uma vez no primeiro termo e duas vezes no segundo, dessa forma, ele aparecerá no resultado como y³.
Assim nossa multiplicação simplificada fica: 15x4y³. O número vindo da multiplicação de 3 por 5, x4 vindo da multiplicação de x² com x² e y³ vindo da multiplicação de y por y².
Videoaula sobre propriedade distributiva e evidência
Agora que você já entendeu o conceito e as aplicações das incógnitas, você vai explorar a propriedade distributiva e a ideia de colocar em evidência. Veja a explicação do professor Lucas.
Propriedade distributiva
A propriedade distributiva é uma regra que precisamos aplicar quando há uma multiplicação, sendo que um dos fatores desta multiplicação é composto por uma soma (representada comumente pelo uso de parênteses). Por exemplo, na multiplicação 2⋅(3x+5) o seu fator da direita é uma soma, neste caso 3x+5.
Para resolvermos esta multiplicação utilizando a propriedade distributiva, casualmente chamada de ‘chuveirinho’ vamos multiplicar o fator simples, neste caso, o 2, por todos os termos da soma, isto é, o 3x e o 5.
Fazendo estas multiplicações, ficamos então com: 2⋅3x=6x e 2⋅5=10. Finalizando, nossa multiplicação completa fica 6x+10.
Vamos ver mais um caso de multiplicação envolvendo uma soma: 4⋅(5x+3x). Note que poderíamos aplicar a distributividade, multiplicando 4 por 5x e 4 por 3x, mas podemos resolver este problema de forma mais simples. Já que os termos dentro dos parênteses são semelhantes, vamos somá-los: 5x+3x=8x.
Assim, nossa multiplicação pode ser escrita como 4⋅8x=32x. Resolvemos sem precisar de distributiva. É importante notar que isso só é possível já que 5x e 3x são semelhantes!
Evidência
A evidência em álgebra refere-se à identificação de padrões ou elementos comuns em termos algébricos que podem ser simplificados. Ela também pode ser vista como o processo inverso da propriedade distributiva. Por exemplo, na expressão
Por exemplo, na expressão 3x+3y, vemos que ambos os termos 3x e 3y tem o número 3 em comum, então podemos reescrevê-la da seguinte maneira: 3x+3y=3⋅(x+y). Retiramos o 3, e colocamos aquilo que resta dentro dos parênteses.
Vamos fazer o mesmo para a expressão 5x+7xy. A parte em comum entre esses termos é a incógnita x, então, podemos colocar o x em evidência da seguinte maneira: 5x+7xy=x⋅(5+7y).
Videoaula sobre equações
Após entender as incógnitas e suas regras de operações, vamos aprender definitivamente sobre equações, com esta aula do professor Lucas.
Equações
Uma equação é uma afirmação matemática que estabelece a igualdade entre duas expressões. Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que torna essa igualdade verdadeira.
Muitas vezes, podemos resolver uma equação utilizando-se de lógica simples, fazendo pela tentativa e erro. Por exemplo, na equação x+4=9. Podemos deduzir que o valor que “cabe” no lugar do x é o 5, ou seja, que x=5, utilizando apenas uma dedução básica.
Entretanto, quando se quer realmente aprender álgebra, essas deduções podem nos atrapalhar. Precisamos aqui focar em aprender as regras e estratégias que podemos utilizar, e que vão nos ajudar a resolver equações que são um pouco mais complicadas.
A primeira estratégia que podemos apresentar é a estratégia da operação inversa. Vamos utilizar o mesmo exemplo de x+4=9. Nosso objetivo quando resolvemos é uma equação e deixar o x sozinho, ou mais formalmente, isolar o x.
Para isso aplicamos a estratégia da operação inversa: analisamos a expressão e vemos que a operação que acompanha a incógnita x é +4 (estamos somando 4 ao valor de x). Assim, para resolver a equação, vamos aplicar a operação inversa de somar, ou seja, subtrair 4, em ambos os lados da equação: x+4-4=9-4.
Simplificando as subtrações obtemos: x+0=5⇒x=5. Encontrando assim, formalmente, o valor da incógnita x.
Vamos ver mais um exemplo deste método, agora para a equação 5x=30. Note que a operação que acompanha a incógnita x é uma multiplicação pelo número 5, portanto, vamos aplicar a operação inversa (divisão pelo número 5) em ambos os lados da equação: 5x÷5=30÷5⇒1x=6⇒x=6.
Note aqui que quando dividimos o lado esquerdo da equação por 5, fizemos a divisão de 5 dividido por 5, resultando em 1, e mantemos a incógnita x sem alteração.
Importante: cuidado para não aplicar a operação inversa em apenas um lado da equação, isso implicaria em um erro na hora de achar o resultado correto da mesma.
Videoaula sobre equações racionais
Para finalizar essa trilha de introdução à álgebra para Recomposição de Aprendizagem, o professor Lucas explica o que são e como resolver as equações racionais.
Equações racionais
Equações racionais são equações que envolvem frações. É por este motivo que são um pouco mais complicadas que as equações que vimos antes nesta trilha. Mas, se você conseguiu dominar os conteúdos envolvendo frações e também a parte de equações desta trilha, vamos conseguir vencer as equações racionais.
Vamos ver um exemplo para demonstrar que não há técnicas novas, se compararmos com aquelas que já aprendemos com frações e com equações. Vamos resolver a equação x/2+1/3=1/5.
Para resolvermos uma equação racional, a primeira coisa que precisamos fazer é colocar todos os termos sob um denominador (número inferior da fração) comum. Para isso, podemos usar o MMC, mas podemos também usar um método mais simples: multiplicamos todos os denominadores, e usamos este produto como novo denominador. Neste exemplo, vamos multiplicar 2⋅3⋅5=30.
Desta forma, vamos reescrever toda a equação, com o novo denominador sendo 30: /30+/30=/30. Note que eu ainda não preenchi o numerador, se você só preencher o número com o que tínhamos antes você vai chegar em um resultado errado.
Vamos preencher fração por fração usando o seguinte método: pegamos o 30 e dividimos ele pelo valor de baixo da fração original (denominador) e multiplicamos pelo valor de cima da fração original (numerador).
Vamos fazer para a primeira fração: começamos com 30 e vamos dividi-lo por 2, 30÷2=15, em seguida, pegamos este resultado e multiplicamos por x, 15⋅x=15x. Assim, podemos completar a parte superior da primeira fração: 15x/30+/30=/30. Vamos repetir o processo para as outras frações.
Começamos com o 30 e o dividimos por 3, 30÷3=10, multiplicamos este resultado por 1, 10⋅1=10. Para a última fração, começamos com 30 e o dividimos por 5, 30÷5=6, multiplicamos este resultado por 1, 6⋅1=6. Com estes resultados, podemos terminar de montar nossa equação: 15x/30+10/30=6/30.
Agora, concluindo o exercício, podemos usar a regra do cancelamento, quando uma equação racional possui todos os denominadores iguais, podemos cancelar (apagar) os seus denominadores. Assim, nossa equação fica: 15x+10=6.
Que podemos resolver utilizando o método da operação inversa: 15x+10=6 15x+10-10=6-10 15x=-4 15x÷15=-4÷15 x=-4÷15 = -0.26. Encontramos assim o valor de x.
Veja também: Operações com frações
Nesta aula, exploramos os conceitos básicos da álgebra, incluindo incógnitas, regras de operações, equações e equações racionais. Esses conhecimentos são fundamentais para compreender e resolver problemas algébricos. Continue estudando com nossos vídeos e materiais complementares para dominar esses conceitos!
Para sedimentar melhor esse assunto em sua lista de conhecimentos matemáticos, utilize as questões abaixo para revisão.
EXERCÍCIOS
Questão 1:
Traduzir as seguintes orações escritas na língua portuguesa para linguagem matemática utilizando álgebra (utiliza x como incógnita quando necessário):
- Um número somado de 30 resulta em 61;
- Um número multiplicado por 7 resulta em 56;
- Um número multiplicado por seu sucessor resulta em 6.
Questão 2:
Simplifique a expressão 5x⋅(3x+2) utilizando a propriedade distributiva.
Questão 3:
Resolva as seguintes equações.
- x+121=205
- 7x=91
- 3x+11=59
Questão 4:
Resolva a seguinte equação racional: x/2+4/3=17/6
Gabarito:
1) a) x+30=61
b) x⋅7=56
c) x⋅(x+1)=6
2) 15x²+10x
3) a) x=84
b) x=13
c) x=16
4) x=3
