A álgebra é uma área fundamental da matemática que envolve a manipulação de símbolos e a resolução de equações.
Nesta trilha de Recomposição de Aprendizagem, vamos explorar conceitos importantes como a regra de três, equações com 2 variáveis (ou diofantinas), equações com expoentes e polinômios. Vamos começar!
Videoaula sobre a regra de três
No primeiro vídeo da nova trilha de Matemática para a Recomposição de Aprendizagem sobre Álgebra, você vai aprender com o professor Lucas Borguezan como utilizar a regra de três para resolver problemas de proporção.
Regra de três: como resolver problemas de proporção
A regra de três é uma técnica utilizada para resolver problemas que envolvem proporções. Existem dois tipos de regra de três: a simples e a composta. Vamos focar na regra de 3 simples, que envolve apenas uma relação de proporção.
Por exemplo, se 2 litros de suco custam 6 reais, quanto custarão 5 litros?
Para resolver este tipo de problema, vamos utilizar a regra de três. Primeiramente, vamos definir que a resposta para o nosso problema (o para 5 litros) será representada pela variável x.
Em seguida, definimos a proporção. Neste exemplo, podemos dizer que a razão entre o volume (litros) é proporcional à razão entre os preços. No nosso problema, isto quer dizer o seguinte: a fração 2/5 é proporcional a fração 6/x. Isto é, usamos como numerador os 2 litros e o seu preço relativo de 6 reais, e como denominador utilizamos os 5 litros e o seu preço relativo de x reais.
Como essas frações são equivalentes, podemos escrever: 2/5=6/x. Pronto, já fizemos a parte mais trabalhosa do problema envolvendo a regra de três. Agora, precisamos multiplicar estes valores diagonalmente. Isto é: vamos multiplicar 2 por x e multiplicaremos 5 por 6. Esse desenvolvimento segue da seguinte maneira: 2⋅x=5⋅6.
Agora, podemos simplificar e resolver a equação: 2x=30 x=30/2 x=15
Veja também: Introdução à álgebra
Videoaula sobre equações com duas variáveis
Agora que entendemos a regra de três, vamos explorar as equações com duas variáveis. Veja como resolvê-las com o professor Lucas:
Equações com duas variáveis: como resolver
Equações com duas ou mais variáveis (também chamadas de equações diofantinas) é um tópico necessário de se entender para futuramente fazermos o estudo de sistemas de equações.
Esse tipo de equação quase sempre possui infinitas soluções, e não apenas uma como vimos nas equações trabalhadas anteriormente. Na verdade, as soluções desse tipo de equação são comumente limitadas pelo enunciado da questão.
Por exemplo, a equação x-y=10, possui a solução (isto é, valores para as incógnitas x e y que tornam essa equação verdadeira) x=10 e y=0. Mas também possui solução x=12 e y=2, entre infinitas outras possibilidades.
Desafie-se encontrar mais algumas soluções para esta equação, por exemplo, encontre uma envolvendo números com vírgula, e outra envolvendo números negativos.
Videoaula sobre equações com expoentes
Outro tipo de equação que pode aparecer nas suas provas são as equações com expoentes. Para saber como resolvê-las, veja a aula do professor Lucas:
Equações com expoentes
Equações com expoentes são equações onde a incógnita aparece como base de um expoente. Por exemplo, x²=49 é uma equação com expoente onde o grau deste é 2.
Caso você já tenha alguma familiaridade com equações de segundo grau, já pode ter pensado em utilizar Bhaskara, ou até soma e produto, mas se acalme: não são todas as equações com expoente de grau 2 que é necessário usar Bhaskara. Temos métodos muito mais simples para resolvermos estas equações que chamamos de incompletas.
No caso de x²=49, chamamos ela de incompleta já que ela possui um termo com x² mas não possui um termo com x. Para resolver este tipo de equação, basta isolar a incógnita x em um dos lados da equação. Para isso, vamos analisar qual operação está acompanhando a incógnita nesta equação.
Note que x está acompanhado por uma potência de 2, ou seja, x². Portanto, vamos fazer a operação inversa de elevar ao quadrado em ambos os lados desta equação, isto é, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados desta equação.
Entretanto, atente-se que neste caso em que operamos a raiz quadrada em ambos os termos precisamos considerar as respostas para valores positivos e negativos, para isso usamos o símbolo (lê-se mais ou menos).
Na prática, o processo é o seguinte: 
Sabemos que a raiz quadrada de 49 é o número sete, enquanto a raiz quadrada de x² pode ser simplificada para a própria incógnita x, já que utilizamos o sinal de no lado oposto da equação.
Assim, simplificando temos: x=±7. Isto significa que x tem dois valores possíveis +7 e -7.
Veja que isto faz sentido para o problema que estamos trabalhando 7²=49, mas também (-7)²=49.
Vamos ver outro tipo de equação com expoentes que também pode aparecer: x²-2x=0
Mais uma vez, você pode ter pensado direto: vamos aplicar Bhaskara. Mas esta equação também é incompleta e podemos resolvê-la utilizando o processo de colocar o x em evidência.
Veja só, se colocamos o x em evidência, ficamos com: x⋅(x-2)=0. Isto é, destacamos o x e reescrevemos a equação sem ele dentro dos parênteses.
Note que agora temos uma multiplicação que resulta em 0, isso significa o seguinte: um dos fatores desta expressão deve ser 0 (já que esta é a única forma de se multiplicar e obter 0).
Vamos analisar os dois fatores separadamente. Caso o primeiro deles deve ser 0, então temos x=0 e já encontramos um dos valores da incógnita x. Agora, no caso do segundo fator ser 0, teríamos x-2=0, uma equação que podemos resolver e encontrar x=2, o segundo valor para nossa incógnita x.
Videoaula sobre polinômios
Nesta aula que encerra a nossa trilha de Álgebra para Recomposição de Aprendizagem, o professor Lucas vai te ensinar o que são e como resolver os polinômios.
Polinômios: o que são e como resolver
Polinômios são expressões algébricas que envolvem a soma de termos, cada um consistindo em um grupo de variáveis com expoentes não negativos multiplicadas por um coeficiente. É uma definição bem grande, mas podemos facilitar ela olhando para as partes de um polinômio.
Vamos analisar o polinômio 6x²y³. Este polinômio é chamado de monômio, por ter só um termo, isto é, só uma ‘parte’. O coeficiente deste termo é o número 6, este coeficiente está multiplicando a parte literal x²y³. Os expoentes 2 e 3 desta parte literal, quando somados, formam o que chamamos de grau do termo, que neste caso é 2+3=5.
Vamos olhar para mais um polinômio: 
Este polinômio é chamado de trinômio, já que possui 3 termos, ou três partes. Os coeficientes destes três termos são respectivamente os números 3, -5 e 4. Enquanto isso, suas partes literais são 
. Já os seus graus são respectivamente 6, 4 e 4.
Note que formalmente, escrevemos os termos do polinômio em ordem decrescente de grau. Além disso, falamos que o polinômio inteiro possui o grau do seu maior termo. Assim, no segundo exemplo o polinômio possui grau 6, enquanto no primeiro exemplo o polinômio possui grau 5.
Nesta aula, exploramos conceitos importantes da álgebra, incluindo a regra de 3, equações com 2 variáveis, equações com expoentes e polinômios. Esses conhecimentos são fundamentais para compreender e resolver problemas matemáticos.
Continue estudando com nossos vídeos e materiais complementares para dominar esses conceitos!
Acesse as outras trilhas de Matemática para Recomposição de Aprendizagem.
EXERCÍCIOS
Questão 1:
Uma receita de bolo rende 16 porções e requer 2 xícaras e meia de açúcar. Quantas xícaras de açúcar serão necessárias para que sejam produzidas 48 porções deste bolo?
Questão 2:
Uma prestadora de serviços em construção civil foi contratada para a reforma de um condomínio. A previsão é que, com 6 funcionários, a reforma levaria 18 dias para ser feita. Entretanto, antes do início da reforma 2 funcionários ficaram doentes e não irão participar deste projeto.
Supondo que todos os funcionários têm a mesma eficiência e também que os funcionários doentes não sejam substituídos e a equipe fique reduzida. Qual o tempo necessário para a realização deste projeto?
Questão 3: resolva as seguintes equações com expoentes
- x²=144
- 3x²=75
- x²-6x=0
Questão 4:
Qual o grau do polinômio 
? O reescreva de forma que os seus termos estejam em ordem decrescente de grau.
Gabarito:
1) 7 xícaras e meia ou 7,5
2) 27 horas
3) a) x=±12
b) x=±5
c) x=0 e x=6
4) O seu grau é 4. Podemos o reescrever da seguinte maneira:
