Equação Modular e o que é módulo

O conceito de módulo de um número real pode ser resumido como a distância de qualquer número da reta numérica até o zero. Entenda mais na aula.

Lá atrás, quando os números negativos foram inventados na China, mal se sabia sobre a confusão que eles iriam causar nos estudantes de matemática nos dias de hoje. Afinal, cada aplicação dos números negativos em diferentes áreas, requer uma atenção especial. Por isso, hoje vamos estudar a equação modular.

Além disso, vamos desvendar os mistérios do módulo e tirar dúvidas que frequentemente habitam as mentes de quem está se preparando para as provas do Enem e vestibulares com conteúdo simplificado e de fácil entendimento.

O que é equação modular e módulo?

O conceito de módulo de um número real pode ser resumido como a distância de qualquer número da reta numérica até o zero. E, é claro, essa distância não tem como ser um número negativo (você já se imaginou andando 18 passos negativos? E não, isso não tem nada a ver com andar “pra trás”). Veja na reta numérica:

equação modular
Representação da reta numérica.
equação modular
Representação

Na reta numérica acima a seta azul indica a distância de -4 até zero ou de 0 até -4. Portanto, essa distância corresponde a 4 unidades de comprimento positivas.

O mesmo vale para o destaque em vermelho. Ou seja, a distância de 0 até 3 ou de 3 até o zero sempre será 3 unidades de comprimento.

O módulo

Depois dessa introdução vamos ao que realmente interessa: o módulo. Utilizando as mesmas medidas do exemplo acima, temos que

|3| = 3

assim como

|-4| = 4

De maneira geral podemos dizer então que:

|x| = x  assim como | – x | = x.

Nós sempre partimos do pressuposto de que o módulo de um valor é sempre positivo, mas, para compreender melhor o conceito, você pode fazer a pergunta inversa.

Se o resultado de um módulo é igual a um número positivo, o que tem “dentro” do módulo?

Se você parar para pensar, tanto |-4| é igual a 4 (positivo) quanto |4| é igual a 4 (positivo).

Logo, para a solução das equações, sugiro desenvolver sua linha de raciocínio a partir da resposta.

Equação modular: exercícios

Chegou a hora de ver uma aplicação de todos esses conceitos, e para as coisas ficarem ainda mais interessantes, vamos colocar o famoso x no meio, e descobrir o valor dele.

Exemplo: Calcular o valor de x na equação |4x+1| = 7

Segundo a linha de raciocínio acima, temos uma resposta positiva, e o valor que está “dentro” do módulo pode ser positivo ou negativo, sendo assim, temos:

4x + 1 = 7   ou   – (4x + 1) = 7

Desenvolvendo os dois cálculos, obtemos:

4x + 1 = 7

4x = 7 – 1

x = 6/4

x= 3/2

e:

-(4x + 1) = 7

– 4x = 7+1

x = 8/-4

x= – 2

Assim, os valores que x pode assumir para que a equação |4x+1| = 7 seja verdade são x = 3/2 e x = -2.

Propriedades do módulo

Para alavancar seus estudos, é interessante também conhecer um pouco das propriedades do módulo ou valor absoluto. Com elas, você vai conseguir resolver qualquer exercício que contenha módulo, por mais cabeludo que ele possa ser.

Primeira propriedade do módulo:

A Primeira Propriedade é bastante simples. Ela nos diz que o módulo de um número qualquer n é igual ao módulo do seu oposto -n, visualizando:

|7 | = 7 tanto quanto | – 7| = 7.

Segunda propriedade do módulo:

A Segunda Propriedade traz o uso do expoente 2 aplicado à solução das equações modulares. Nesta propriedade, valor do resultado independe da ordem em que foi executado o procedimento.

Exemplo: para x = – 6

é válido que |x²| = |(–6)²| = |36| = 36.

tanto quanto

|x|² = |–6|² = (6)² = 36.

Portanto, na forma geral, dizemos que para todo x ∈ ℝ, temos |x²| = |x|² = x².

Terceira propriedade do módulo:

Já a Terceira Propriedade é a propriedade da multiplicação, que segue um raciocínio parecido.

Ela nos diz que independente de efetuar a multiplicação “dentro” ou “fora” do módulo, o resultado será o mesmo (pode ser vista como uma versão do famoso “a ordem dos fatores não altera o produto”).

Exemplo:  para x = 0,5 e y = – 4

É valido afirmar que

|0,5 . –4| = |0,5| . |–4|

|–2| = 0,5 . 4

portanto: 2 = 2.

Quarta propriedade do módulo:

Muita atenção para a Quarta Propriedade, pois é facilmente confundida com a propriedade da multiplicação entre módulos.

Essa é a conhecida como desigualdade triangular, que nos diz que o módulo de uma soma é igual ou menor à soma dos módulos, sendo assim:

|x + y| ≤ |x| + |y|

Exemplo: para x = 4 e y = 6

|4 + 6| ≤ |4| + |6|

|10| ≤ 4 + 6

10 = 10

Vimos que para números positivos (ou de mesmo sinal), não faz diferença se extrairmos o módulo dos números antes ou depois de efetuar o cálculo, o resultado é o mesmo.

Mas, se você efetuar esse mesmo procedimento com números de sinais diferentes, o resultado acaba sendo diferente, já que ao extrair o módulo de um deles, o sinal muda e com isso, a subtração não acontece, veja o exemplo numérico:

Exemplo: para x = 5 e y = – 7

|5 – 7| ≤ |5| + |–7|

|–2| ≤ 5 + 7

2 ≤ 12

Como você pode perceber, a ideia da quarta propriedade é bem parecida com a da terceira propriedade, contudo a aplicação dela se dá de uma forma diferente.

Portanto, todo aquele cuidado que você já está acostumado a tomar com os sinais na hora de desenvolver os cálculos, tem que ser redobrado no estudo das equações modulares.

Vamos para mais um exemplo para ver a aplicação?

Resolva a equação modular

|2x + 2| = |x – 4|

Perceba que na equação acima temos o módulo presente tanto antes quanto depois do sinal de igualdade, mas, não se preocupe, o desenvolvimento da equação nesse caso se dá da mesma forma que nas equações mais simples (com módulo apenas em um lado da igualdade).

Nesse sentido, pela definição de módulo temos que:

2x + 2 = x – 4 ou 2x + 2 = – (x – 4)

Resolvendo cada uma das equações acima:

2x + 2 = x – 4

2x – x = – 4 – 2

x = –6

e

2x + 2 = – (x – 4)

2x + 2 = –x + 4

3x = 2

x = 2/3.

Então, o conjunto solução da equação |2x + 2| = |x – 4|  é igual a S = { –6; 2/3}.

Por fim, veja a aula abaixo com exercícios resolvidos de equação modular

Exercícios de equação modular
Questão 01 – (ACAFE SC/2015)

A média aritmética das raízes da equação modular |2x – 4| + |x + 1| = 4 é igual a:

a) 17/3

b) 13/3

c) 5/3

d) 2/3

Gab: C

Questão 02 – (UNITAU SP/2015)

O conjunto solução da equação |x² – 5x| = |x –5| é

a) {–1, 1, 5}

b) {–1, 1}

c) {1, 5}

d) {–1, 1, –5}

e) {–1, 5}

Gab: A

Questão 03 – (UDESC SC/2014)

A soma das raízes distintas da equação x2 – 5x + 6 = |x – 3| é:

a) 10

b) 7

c) 0

d) 3

e) 4

Gab: E

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.