Uma pirâmide é o conjunto de segmentos de reta que possuem uma extremidade neste ponto P e outra extremidade em um ponto de um polígono convexo qualquer no plano.
A pirâmide é um sólido geométrico bastante conhecido. Afinal, com certeza você já ouviu falar das pirâmides egípcias, não é mesmo? Pois bem, é justamente sobre as pirâmides que vamos estudar hoje. Vamos aprender sobre sua definição, seus elementos, suas nomenclaturas e classificações.
Figura 1: Fotografia das famosas pirâmides do Egito. Elas são exemplos dos sólidos geométricos que vamos estudar na aula de hoje. Fonte da imagem: Getty Images.
O que é uma pirâmide
Quando falamos de pirâmide, é provável que logo a imagem desse sólido geométrico se forme na sua cabeça. Mas, de que maneira podemos definir matematicamente uma pirâmide?
Considere um plano no espaço e um ponto P qualquer não pertencente ao plano. Uma pirâmide é o conjunto de segmentos de reta que possuem uma extremidade neste ponto P e outra extremidade em um ponto de um polígono convexo qualquer no plano. O ponto P é o vértice da pirâmide e o polígono é chamado de base da pirâmide.
Veja abaixo uma representação.
Figura 2: Uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um pentágono à esquerda, e uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um quadrado à direita.
Na imagem acima, como você pode perceber, deixamos as faces “vazadas” para uma melhor observação das conexões entre os segmentos de reta e para facilitar a visualização espacial. No entanto, as pirâmides não possuem faces vazadas, mas sim sólidas.
Classificação das pirâmides
Perceba que a pirâmide à esquerda nos passa a sensação de estar “reta”, enquanto a pirâmide à direita nos passa a sensação de estar “inclinada”.
Essa diferença, na verdade, nos informa se a pirâmide é reta ou oblíqua. Veja abaixo:
- Dizemos que a pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do seu vértice coincide com o centro do polígono que forma a sua base;
- Caso contrário, dizemos que a pirâmide é oblíqua.
Veja abaixo.
Figura 3: Mais à esquerda: uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um pentágono. P’ como sendo a projeção do ponto P coincidindo com o centro O do pentágono. Mais à direita: uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um quadrado. P’ como sendo a projeção do ponto P não coincidindo com o centro O do quadrado.
Observe que na pirâmide mais à esquerda, P’ é a projeção do ponto P sobre o plano da base, coincidindo com o centro O do polígono, o que caracteriza uma pirâmide reta.
Já na pirâmide mais à direita, P’ não coincide com o centro O do polígono, o que caracteriza uma pirâmide oblíqua.
Elementos de uma pirâmide
Agora que já definimos o que é uma pirâmide e você já viu as classificações possíveis em relação à projeção do vértice P, precisamos estudar quais são os elementos que compõem uma pirâmide.
Sendo assim, dizemos que os elementos de uma pirâmide são:
- Vértice;
- Base;
- Face lateral;
- Aresta lateral;
- Aresta da base;
Veja estes elementos na imagem abaixo.
Figura 4: Representação dos elementos de uma pirâmide no caso dela ser reta e oblíqua.
Perceba que a pirâmide só possui uma base e que as suas faces laterais são todas formadas por triângulos. Ainda, a aresta da base nada mais é do que a medida de cada lado do polígono que forma a sua base e a aresta lateral é a medida dos lados dos triângulos que formam as faces laterais.
Por fim, a altura da pirâmide é a distância entre o vértice e o plano que contém a sua base.
Nomenclatura das pirâmides
O nome de uma pirâmide depende do polígono que forma a sua base. Uma pirâmide cuja base é um triângulo é chamada de pirâmide triangular. Já se a base for um pentágono, a pirâmide é chamada de pirâmide pentagonal e assim sucessivamente.
Assim como na geometria plana falamos de polígonos regulares e na geometria espacial falamos de prismas regulares, também podemos tratar das pirâmides regulares. Mas o que são essas pirâmides?
Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta em que o polígono da base é um polígono regular. Veja abaixo um exemplo.
Figura 5: Uma pirâmide pentagonal regular.
Repare que toda pirâmide possui base formada por um polígono. Mas, só será uma pirâmide regular aquela pirâmide que for reta e que a base seja um polígono regular.
Pela imagem acima perceba que o segmento coincide com a altura da pirâmide.
Tendo em vista os elementos da pirâmide, no caso dela ser regular, todas as arestas laterais possuem a mesma medida e, com isso, cada face lateral da pirâmide é formada por um triângulo isósceles.
Ainda, os triângulos que formam as faces laterais são todos congruentes.
Além disso, se a pirâmide é regular, podemos falar sobre apótema da pirâmide e apótema da base.
O apótema da base é o apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide. Enquanto isso, o apótema da pirâmide é a altura do triângulo que forma a face lateral da pirâmide. Veja abaixo.
Figura 6: Representação da altura, do apótema da base e do apótema da pirâmide no caso de uma pirâmide pentagonal regular.
Repare que o apótema da pirâmide não é a altura da pirâmide. Repare também que a altura é ortogonal ao apótema da base.
Perceba, então, que formamos um triângulo retângulo com hipotenusa sendo o valor do apótema da pirâmide e catetos sendo o valor do apótema da base e a altura.
Representamos acima uma pirâmide regular pentagonal, mas foi meramente ilustrativa. Isso porque tais definições são estendidas para outras pirâmides regulares.
Até aqui, sabemos que se a base da pirâmide for um triângulo, a pirâmide será chamada de pirâmide triangular. Existe uma outra denominação para pirâmide triangular, a saber: tetraedro. Veja abaixo um exemplo.
Figura 7: Um tetraedro.
Perceba que todas as faces do tetraedro são triângulos e, então, se todos os triângulos forem equiláteros, estamos diante de um tetraedro regular. No tetraedro regular, todas as arestas possuem a mesma medida.
Pronto, agora você já sabe identificar pirâmides e seus elementos, nomeá-las e classificá-las.
Videoaula
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Exercícios
Questão 1 – (UEMG /2019)
Na figura estão representadas uma pirâmide de base triangular e uma seção ABE dessa pirâmide.
Sobre essa pirâmide, constata-se que
a) ABE é uma face, AE é uma aresta, e E é um vértice.
b) AED é uma face, AB é uma aresta, e E é um vértice.
c) BCD é uma face, AD é uma aresta, e C é um vértice.
d) BED é uma face, BE é uma aresta, e A é um vértice.
Gab: C
Questão 2 – (INEP/2018)
Durante uma feira de matemática em uma escola, os alunos resolveram oferecer lembrancinhas em forma de sólidos geométricos. Foram disponibilizados, para a confecção das lembrancinhas, moldes planificados nos formatos representados nas figuras.
Os sólidos que correspondem às planificações apresentadas, respectivamente, nas figuras 1, 2 e 3 são
- pirâmide de base triangular, cubo e prisma de base triangular.
- prisma de base triangular, prisma de base hexagonal e pirâmide de base triangular.
- pirâmide de base triangular, prisma de base hexagonal e prisma de base triangular.
- prisma de base triangular, cubo e prisma de base pentagonal.
Gab: A
Questão 3 – (UECE/2014)
O número total de arestas de uma pirâmide que tem exatamente 17 faces, incluindo a base, é
a) 34.
b) 30.
c) 26.
d) 32.
Gab: D
