A pirâmide, seus elementos e classificações

Uma pirâmide é o conjunto de segmentos de reta que possuem uma extremidade neste ponto P e outra extremidade em um ponto de um polígono convexo qualquer no plano.

A pirâmide é um sólido geométrico bastante conhecido – com certeza você já ouviu falar das construções egípcias, não é mesmo? Pois bem, é justamente sobre esses sólidos que vamos estudar hoje. Vamos aprender sobre sua definição, seus elementos, suas nomenclaturas e classificações.

O que é uma pirâmide

Quando falamos de pirâmides, é provável que logo a imagem desse sólido geométrico se forme na sua cabeça. Mas, de que maneira podemos defini-la matematicamente?

Considere um plano no espaço e um ponto P qualquer não pertencente ao plano. Uma pirâmide é o conjunto de segmentos de reta que possuem uma extremidade neste ponto P e outra extremidade em um ponto de um polígono convexo qualquer no plano. O ponto P é o seu vértice e o polígono é chamado de base da pirâmide.

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Veja abaixo uma representação.

Exemplos de pirâmides
Figura 2: Uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um pentágono à esquerda, e uma outra de vértice P e polígono da base sendo um quadrado à direita.

Na imagem acima, como você pode perceber, deixamos as faces “vazadas” para uma melhor observação das conexões entre os segmentos de reta e para facilitar a visualização espacial. No entanto, esses sólidos não possuem faces vazadas, mas sim sólidas.

Classificação das pirâmides

Ainda analisando a imagem acima, perceba que a pirâmide à esquerda nos passa a sensação de estar “reta”, enquanto a da direita nos passa a sensação de estar “inclinada”.

Essa diferença é porque uma delas é reta e a outra é oblíqua. Entenda:

  • Dizemos que a pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do seu vértice coincide com o centro do polígono que forma a sua base;
  • Caso contrário, dizemos que a pirâmide é oblíqua.

Veja abaixo.

Classificação de pirâmides
Mais à esquerda: uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um pentágono. P’ como sendo a projeção do ponto P coincidindo com o centro O do pentágono. Mais à direita: uma pirâmide de vértice P e polígono da base sendo um quadrado. P’ como sendo a projeção do ponto P não coincidindo com o centro O do quadrado.

Observe que o sólido à esquerda, P’ é a projeção do ponto P sobre o plano da base, coincidindo com o centro O do polígono, o que caracteriza uma pirâmide reta.

Já o sólido da direita, P’ não coincide com o centro O do polígono, o que caracteriza uma pirâmide oblíqua.

Elementos de uma pirâmide

Agora que já definimos o que é uma pirâmide e você já viu as classificações possíveis em relação à projeção do vértice P, precisamos estudar quais são os elementos que a compõem.

Sendo assim, dizemos que os elementos das pirâmides são:

  • Vértice;
  • Base;
  • Face lateral;
  • Aresta lateral;
  • Aresta da base.

Veja estes elementos na imagem abaixo.

Elementos de uma pirâmide
Figura 4: Representação dos elementos de uma pirâmide no caso dela ser reta e oblíqua.

Perceba que a pirâmide só possui uma base e que as suas faces laterais são todas formadas por triângulos. Ainda, a aresta da base nada mais é do que a medida de cada lado do polígono que forma a sua base e a aresta lateral é a medida dos lados dos triângulos que formam as faces laterais.

Por fim, sua altura é a distância entre o vértice e o plano que contém a sua base.

Nomenclatura das pirâmides

O nome das pirâmides depende dos polígonos que formam a sua base. Uma pirâmide cuja base é um triângulo é chamada de triangular. Já se a base for um pentágono, ela é chamada de pentagonal e assim sucessivamente.

Assim como na geometria plana falamos de polígonos regulares e na geometria espacial falamos de prismas regulares, também podemos tratar das pirâmides regulares.

Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta em que o polígono da base é um polígono regular. Veja abaixo um exemplo.

Pirâmide pentagonalFigura 5: Uma pirâmide pentagonal regular.

Repare que todas as possuem base formada por um polígono. Mas, só será regular aquela que for reta e que a base seja um polígono regular.

Pela imagem acima perceba que o segmento PP’ coincide com a altura do sólido geométrico.

Tendo em vista os elementos da pirâmide, no caso dela ser regular, todas as arestas laterais possuem a mesma medida e, com isso, cada face lateral é formada por um triângulo isósceles. Ainda, os triângulos que formam as faces laterais são todos congruentes.

Além disso, se a pirâmide é regular, podemos falar sobre apótema da pirâmide e apótema da base.

O apótema da base é o apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide. Enquanto isso, o apótema da pirâmide é a altura do triângulo que forma sua face lateral. Veja abaixo.

Apótema da pirâmideFigura 6: Representação da altura, do apótema da base e do apótema da pirâmide no caso de uma pirâmide pentagonal regular.

Repare que o apótema da pirâmide não é a sua altura. Repare também que a altura é ortogonal ao apótema da base.

Perceba, então, que formamos um triângulo retângulo com hipotenusa sendo o valor do apótema da pirâmide e catetos sendo o valor do apótema da base e a altura.

Representamos acima uma pirâmide regular pentagonal, mas foi meramente ilustrativa. Isso porque tais definições são estendidas para outras pirâmides regulares.

Até aqui, sabemos que se a base da pirâmide for um triângulo, a pirâmide será chamada de triangular. Existe uma outra denominação para pirâmide triangular, a saber: tetraedro. Veja abaixo um exemplo.

TetaedroFigura 7: Um tetraedro.

Perceba que todas as faces do tetraedro são triângulos e, então, se todos os triângulos forem equiláteros, estamos diante de um tetraedro regular. No tetraedro regular, todas as arestas possuem a mesma medida.

Videoaula

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Exercícios

Agora, resolva os exercícios selecionados pela professora Letícia e verifique se você entendeu tudo sobre o assunto dessa aula. Os exercícios a seguir foram retirados de vestibulares, então você já pode verificar como esse conteúdo é cobrado nas principais provas do país!

Questão 1 – (UEMG /2019)

Na figura estão representadas uma pirâmide de base triangular e uma seção ABE dessa pirâmide.

piramide

Sobre essa pirâmide, constata-se que

a) ABE é uma face, AE é uma aresta, e E é um vértice.

b) AED é uma face, AB é uma aresta, e E é um vértice.

c) BCD é uma face, AD é uma aresta, e C é um vértice.

d) BED é uma face, BE é uma aresta, e A é um vértice.

Gab: C

Questão 2 – (INEP/2018)

Durante uma feira de matemática em uma escola, os alunos resolveram oferecer lembrancinhas em forma de sólidos geométricos. Foram disponibilizados, para a confecção das lembrancinhas, moldes planificados nos formatos representados nas figuras.

exercício piramide

 

Os sólidos que correspondem às planificações apresentadas, respectivamente, nas figuras 1, 2 e 3 são

  1. pirâmide de base triangular, cubo e prisma de base triangular.
  2. prisma de base triangular, prisma de base hexagonal e pirâmide de base triangular.
  3. pirâmide de base triangular, prisma de base hexagonal e prisma de base triangular.
  4. prisma de base triangular, cubo e prisma de base pentagonal.

Gab: A

Questão 3 – (UECE/2014)

O número total de arestas de uma pirâmide que tem exatamente 17 faces, incluindo a base, é

a) 34.
b) 30.
c) 26.
d) 32.

Gab: D

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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