Uma pirâmide é o conjunto de segmentos de reta que possuem uma extremidade neste ponto P e outra extremidade em um ponto de um polígono convexo qualquer no plano.
A pirâmide é um sólido geométrico bastante conhecido – com certeza você já ouviu falar das construções egípcias, não é mesmo? Pois bem, é justamente sobre esses sólidos que vamos estudar hoje. Vamos aprender sobre sua definição, seus elementos, suas nomenclaturas e classificações.
O que é uma pirâmide
Quando falamos de pirâmides, é provável que logo a imagem desse sólido geométrico se forme na sua cabeça. Mas, de que maneira podemos defini-la matematicamente?
Considere um plano no espaço e um ponto P qualquer não pertencente ao plano. Uma pirâmide é o conjunto de segmentos de reta que possuem uma extremidade neste ponto P e outra extremidade em um ponto de um polígono convexo qualquer no plano. O ponto P é o seu vértice e o polígono é chamado de base da pirâmide.
Veja abaixo uma representação de Pirâmide.
Na imagem acima, como você pode perceber, deixamos as faces “vazadas” para uma melhor observação das conexões entre os segmentos de reta e para facilitar a visualização espacial. No entanto, esses sólidos não possuem faces vazadas, mas sim sólidas.
Introdução às Pirâmides
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Classificação das pirâmides
Ainda analisando a imagem acima, perceba que a pirâmide à esquerda nos passa a sensação de estar “reta”, enquanto a da direita nos passa a sensação de estar “inclinada”.
Essa diferença é porque uma delas é reta e a outra é oblíqua. Entenda:
- Dizemos que a pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do seu vértice coincide com o centro do polígono que forma a sua base;
- Caso contrário, dizemos que a pirâmide é oblíqua.
Veja abaixo.
Observe que o sólido à esquerda, P’ é a projeção do ponto P sobre o plano da base, coincidindo com o centro O do polígono, o que caracteriza uma pirâmide reta.
Já o sólido da direita, P’ não coincide com o centro O do polígono, o que caracteriza uma pirâmide oblíqua.
Elementos de uma pirâmide
Agora que já definimos o que é uma pirâmide e você já viu as classificações possíveis em relação à projeção do vértice P, precisamos estudar quais são os elementos que a compõem.
Sendo assim, dizemos que os elementos das pirâmides são:
- Vértice;
- Base;
- Face lateral;
- Aresta lateral;
- Aresta da base.
Veja estes elementos na imagem abaixo.
Perceba que a pirâmide só possui uma base e que as suas faces laterais são todas formadas por triângulos. Ainda, a aresta da base nada mais é do que a medida de cada lado do polígono que forma a sua base e a aresta lateral é a medida dos lados dos triângulos que formam as faces laterais.
Por fim, sua altura é a distância entre o vértice e o plano que contém a sua base.
Nomenclatura das pirâmides
O nome das pirâmides depende dos polígonos que formam a sua base. Uma pirâmide cuja base é um triângulo é chamada de triangular. Já se a base for um pentágono, ela é chamada de pentagonal e assim sucessivamente.
Assim como na geometria plana falamos de polígonos regulares e na geometria espacial falamos de prismas regulares, também podemos tratar das pirâmides regulares.
Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta em que o polígono da base é um polígono regular. Veja abaixo um exemplo.
Figura 5: Uma pirâmide pentagonal regular.
Repare que todas as possuem base formada por um polígono. Mas, só será regular aquela que for reta e que a base seja um polígono regular.
Pela imagem acima perceba que o segmento PP’ coincide com a altura do sólido geométrico.
Tendo em vista os elementos da pirâmide, no caso dela ser regular, todas as arestas laterais possuem a mesma medida e, com isso, cada face lateral é formada por um triângulo isósceles. Ainda, os triângulos que formam as faces laterais são todos congruentes.
Além disso, se a pirâmide é regular, podemos falar sobre apótema da pirâmide e apótema da base.
O apótema da base é o apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide. Enquanto isso, o apótema da pirâmide é a altura do triângulo que forma sua face lateral. Veja abaixo.
Figura 6: Representação da altura, do apótema da base e do apótema da pirâmide no caso de uma pirâmide pentagonal regular.
Repare que o apótema da pirâmide não é a sua altura. Repare também que a altura é ortogonal ao apótema da base.
Perceba, então, que formamos um triângulo retângulo com hipotenusa sendo o valor do apótema da pirâmide e catetos sendo o valor do apótema da base e a altura.
Representamos acima uma pirâmide regular pentagonal, mas foi meramente ilustrativa. Isso porque tais definições são estendidas para outras pirâmides regulares.
Até aqui, sabemos que se a base da pirâmide for um triângulo, a pirâmide será chamada de triangular. Existe uma outra denominação para pirâmide triangular, a saber: tetraedro. Veja abaixo um exemplo.
Figura 7: Um tetraedro.
Perceba que todas as faces do tetraedro são triângulos e, então, se todos os triângulos forem equiláteros, estamos diante de um tetraedro regular. No tetraedro regular, todas as arestas possuem a mesma medida.
Cálculo de Área nas Pirâmides
Exercícios sobre Pirâmide
Agora, resolva os exercícios selecionados pela professora Letícia e verifique se você entendeu tudo sobre o assunto dessa aula. Os exercícios a seguir foram retirados de vestibulares, então você já pode verificar como esse conteúdo é cobrado nas principais provas do país!
Questão 1 – (UEMG /2019)
Na figura estão representadas uma pirâmide de base triangular e uma seção ABE dessa pirâmide.
Sobre essa pirâmide, constata-se que
a) ABE é uma face, AE é uma aresta, e E é um vértice.
b) AED é uma face, AB é uma aresta, e E é um vértice.
c) BCD é uma face, AD é uma aresta, e C é um vértice.
d) BED é uma face, BE é uma aresta, e A é um vértice.
Gab: C
Questão 2 – (INEP/2018)
Durante uma feira de matemática em uma escola, os alunos resolveram oferecer lembrancinhas em forma de sólidos geométricos. Foram disponibilizados, para a confecção das lembrancinhas, moldes planificados nos formatos representados nas figuras.
Os sólidos que correspondem às planificações apresentadas, respectivamente, nas figuras 1, 2 e 3 são
- pirâmide de base triangular, cubo e prisma de base triangular.
- prisma de base triangular, prisma de base hexagonal e pirâmide de base triangular.
- pirâmide de base triangular, prisma de base hexagonal e prisma de base triangular.
- prisma de base triangular, cubo e prisma de base pentagonal.
Gab: A
Questão 3 – (UECE/2014)
O número total de arestas de uma pirâmide que tem exatamente 17 faces, incluindo a base, é
a) 34.
b) 30.
c) 26.
d) 32.
Gab: D
