A parte de geometria da prova do Enem e dos vestibulares é sempre a mais demorada, não por ser difícil, mas por conter muitos detalhes que demandam o dobro de atenção.
Juntamente com o quadrado e o triângulo, o círculo é uma forma geométrica com a qual temos contato logo no início da vida através daqueles brinquedos coloridos de encaixe.
Na verdade, desde a invenção da roda foram feitas inúmeras novas descobertas de como desenvolver os cálculos sobre o círculo e a circunferência e as metodologias acerca destas figuras geométricas foram aperfeiçoadas.
Antes era muito difícil calcular, por exemplo, uma área de terra delimitada por uma circunferência. Mas, depois da descoberta do pi, tudo ficou mais organizado. Vem comigo nesta aula de Matemática para o Enem aprender direitinho todos os elementos contidos em um círculo!
Introdução ao Círculo e à Circunferência – Confira agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, as principais características e diferenças entre o Círculo e a Circunferência.
Antes de começarmos a falar sobre círculo e circunferência é bom termos em mente qual a diferença entre os dois. Assim evitamos confusões na hora da resolução de exercícios.
O que é uma circunferência
Em termos matemáticos, a circunferência é um conjunto de pontos em um determinado plano, organizados de tal forma que, em relação a um ponto central C, todos estes pontos são equidistantes do ponto central C. Para entender melhor, observe a imagem:
Figura 1: Desenho de uma circunferência onde identificamos o ponto central C e um ponto qualquer no limite do círculo, o qual foi chamado de A. A reta pontilhada que liga os dois pontos é chamada de r.
O ponto C é o ponto central ou o centro da circunferência. A distância r (que é a mesma distância para todos os pontos contidos na circunferência) representada pela reta pontilhada, é chamada de raio.
Em outras palavras, você já deve ter vistos em bicicletas aqueles ferrinhos que seguram a roda e o pneu na base:
Figura 2: Fotografia da roda de uma bicicleta onde vemos os raios, que são as estruturas que ligam o centro da roda ao seu contorno.
O nome dado a esses ferrinhos é raio, justamente por ligarem todos os pontos da circunferência (roda) até o ponto central.
O que é um círculo
Já o círculo é uma figura geométrica plana. Ele corresponde ao conjunto de pontos que compõem uma área delimitada pela circunferência. Visualmente falando, o círculo é dado por toda a área pintada de marrom, na imagem a seguir:
Figura 3: Representação de um círculo. A circunferência e o ponto central C estão em preto. Já a área dentro da circunferência, que corresponde ao círculo, está pintada de marrom.
No círculo podemos identificar alguns pontos notáveis. É imprescindível que você tenha conhecimento sobre esses pontos, já que eles te acompanharão por boa parte dos estudos na geometria. Vamos conhecê-los?
Raio
Como já citado anteriormente, o raio (r) é a distância entre o centro do círculo (muitas vezes denominado pela letra O) e qualquer ponto pertencente à circunferência (linha externa ao círculo).
Diâmetro
O diâmetro (D) é a medida da distância de um ponto A da circunferência até outro ponto B que seja simétrico ao ponto A e em relação ao centro.
Na verdade, em linguagem mais simplificada, como você pode observar na imagem, o diâmetro (D) nada mais é do que duas vezes o raio. Portanto, relembre sempre a relação D = 2.r.
Corda
Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda. Note que quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Ou seja, o diâmetro é um caso especial de corda. Sendo assim, o diâmetro é a maior corda contida em uma circunferência.
Fórmulas do círculo e da circunferência
Foram dados ao matemático grego Arquimedes (287 – 212 a.C.) os créditos pela descoberta científica de que existe uma relação entre o comprimento e o diâmetro de um círculo.
Mas, na verdade, povos mais antigos já faziam estudos sobre isso. Essa relação diz que, independente do tamanho da circunferência, a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro terá a mesma medida: 3.1415926…
A essa razão foi dado o nome de pi, representado pelo símbolo π. Isso significa que pi pode ser representado por:
π = C / D
Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio temos que:
π = C / 2r
De forma equivalente, podemos calcular o comprimento de uma circunferência através da fórmula:
C = 2πr
Já para o cálculo da área você precisa se questionar: é possível calcular a área de uma circunferência? Na verdade, ao se falar de área de uma circunferência, o que é calculado é a área do círculo.
A fórmula para a área do círculo é dada por:
A = πr²
Exercício resolvido
Vamos ver um exemplo para entender melhor?
Exemplo: Calcule a área de um círculo de raio igual a 4 cm:
A = πr²
Substituindo os valores na fórmula, temos:
A = 3,14 x 4²
A = 50,24 cm²
Os ângulos na Circunferência
Quer aprender ainda mais sobre as maneiras de se calcular através dos ângulos da Circunferência: Dá uma olhada nessa aula aqui com o professor Lucas. E, ao final dos exercícios, resolva os desafios apresentados:
Exercícios sobre Círculo e Circunferência
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Pergunta 1 de 10
1. Pergunta
(UECE/2019)
Em um plano munido com o sistema de coordenadas cartesianas usual, fixada uma unidade de comprimento (u.c), a equação x² + y² + 2x – 2y + 1 = 0 representa uma circunferência com centro no ponto P(p,q) cuja medida do raio é r u.c. Assim, é correto afirmar que o valor da soma p + q + r é igual a
Correto
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Pergunta 2 de 10
2. Pergunta
(UNIOESTE PR/2019)
Considere as equações y = 4x – 5 e y = x2 – 5x + 3. Suponha que os pares ordenados (x1, y1) e (x2, y2) satisfaçam as duas equações e que x1 < x2. Suponha ainda que o par (4, y3) satisfaça somente a primeira equação. Então é CORRETO afirmar que a equação da circunferência, que tem centro em (4, y3) e que passa pelo ponto (x2, y2), é dada por
Correto
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Pergunta 3 de 10
3. Pergunta
(UNICAMP SP/2019)
No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x2 + y2 – 4y + 3 = 0 e a parábola de equação 3x2 – y + 1 = 0. Essas duas curvas se interceptam em
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Pergunta 4 de 10
4. Pergunta
(FGV /2018)
No plano cartesiano, uma circunferência passa pelos pontos (–1, 1) e (2, 2). Sabendo que o centro da circunferência pertence à reta y = 3x, pode-se concluir que a soma das coordenadas do centro é:
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Pergunta 5 de 10
5. Pergunta
(ENEM/2018)
Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2).
Passando pelo ponto A, qual equação fornecia a maior pontuação?
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Pergunta 6 de 10
6. Pergunta
(UEFS BA/2018)
Uma circunferência de equação x2 + y2 + 5x + 2y – 24 = 0 intercepta os eixos coordenados determinando os vértices de um quadrilátero, conforme a figura.
A área desse quadrilátero é
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Pergunta 7 de 10
7. Pergunta
(Mackenzie SP/2017)
Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas são dadas pelas equações
(x + 3)2 + (y + 1)2 = 10 e (x + 3)2 + y2 = 13, respectivamente. A distância entre os dois pontos de interseção das circunferências é
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Pergunta 8 de 10
8. Pergunta
(UNCISAL/2017)
Um projeto de atividades extraclasse de uma escola reuniu as disciplinas Filosofia, definindo o tema (Promoção da Felicidade), Português, estabelecendo o slogan (Seja mais feliz: sorria sempre) e Matemática. O símbolo da campanha, que foi definido através de um concurso junto ao alunado, previa sua construção com a utilização apenas de gráficos de funções e figuras planas. A figura apresenta o símbolo vencedor, que foi concebido com três circunferências (uma representando o rosto e duas representando os olhos) e partes de duas parábolas definindo a boca, aberta num longo sorriso.
As expressões matemáticas utilizadas para desenhar o rosto, o olho direito e o lábio superior, foram, respectivamente,
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Pergunta 9 de 10
9. Pergunta
(UNICESUMAR PR/2017)
Uma circunferência passa pelo ponto P(4, 4) e tem seu centro sobre a reta de equação y = 2x. Uma reta t passa pelo ponto Q(2, 9) e é tangente à circunferência no ponto P. A ordenada do centro dessa circunferência vale
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Pergunta 10 de 10
10. Pergunta
(USF SP/2017)
No sistema de coordenadas cartesianas, a reta r passa pela origem do sistema e pelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 – 16x – 12y + 18 = 0. A equação da reta s, que é paralela à reta r e que passa pelo ponto (–1, –3), é
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Sobre o(a) autor(a):
Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.
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