Dentro de uma circunferência, a potência de ponto diz que o produto das medidas das partes de uma corda é igual ao produto das medidas das partes da outra corda.
Na aula de hoje vamos estudar o que é potência de ponto. Para isso, vamos considerar uma circunferência qualquer e um ponto P genérico. Esse ponto pode estar ou no interior da circunferência ou no exterior da circunferência.
Para cada um destes casos, o ponto P estará relacionado a cordas, a retas secantes ou retas tangentes à circunferência.
Esse conteúdo faz parte da Geometria Plana.
Potência de ponto no interior da circunferência
Primeiramente, vamos ver um exemplo. Considere um ponto P no interior de uma circunferência, de forma que esse ponto P seja o ponto de encontro de duas cordas AB e CD.
Figura 1: Uma circunferência e duas cordas de extremos A e B e C e D se cruzando em um ponto P no interior da circunferência.
Assim, nesse caso temos que PA . PB = CP . PD.
Podemos transcrever este caso com a seguinte redação: dadas duas cordas que se cruzam em um ponto P qualquer na mesma circunferência, então o produto das medidas das partes de uma corda é igual ao produto das medidas das partes da outra corda.
Por exemplo:
Exercício resolvido de potência de ponto
(Exemplo criado pela autora) Quatro crianças estão sentadas ao redor de uma mesa circular da seguinte forma:
Figura 2: Uma circunferência com 4 pontos A,B,C e D ordenados no sentido horário como A,C,B e D.
Considere o ponto P (um ponto no interior da circunferência) como o ponto de intersecção entre as cordas AB e CD. Sabe-se que:
AP = x u. c
PB = 4 u. c
Além disso CP = 2 u. c e PD = x + 2 u. c. Encontre o valor de CD.
Solução:
Perceba que temos a seguinte situação no exercício:
Figura 3: Uma circunferência e duas cordas de extremos A e B e C e D se cruzando em um ponto P no interior da circunferência, com as respectivas medidas dos segmentos indicadas na imagem.
Estamos diante de um caso de potência de ponto com o ponto P no interior da circunferência. Sendo assim, temos:
x . 4= 2 . (x+2)
4x = 2x+4
2x = 4
x = 2
Como x=2, vamos ao resultado de interesse:
2+x+2
2+2+2
Logo, a resposta encontrada é 6 u.c.
Potência de ponto no exterior da circunferência
Agora que já vimos o caso do ponto interior, passemos ao caso do ponto exterior, que possui duas situações possíveis.
Situação 1
Considere um ponto P no exterior de uma circunferência e dois segmentos PA e PD secantes à circunferência:
Figura 4: Uma circunferência e dois segmentos secantes de extremos P e B; P e D. Sendo A o ponto de encontro do segmento com a circunferência tal que A está entre P e B e C sendo o ponto de encontro do segmento com a circunferência tal que C está entre P e D.
Dessa maneira, nesse caso temos que PA . PB = PC . PD.
Além disso, podemos transcrever da seguinte forma: dada uma circunferência e um ponto P em seu exterior, se traçarmos a partir do ponto P dois segmentos secantes.
Então, o produto da medida de um dos segmentos pelo seu segmento exterior é igual ao produto da medida do outro segmento pelo seu segmento exterior.
Situação 2
Considere novamente um ponto P no exterior de uma circunferência, mas dessa vez um segmento PA tangente e um segmento PD secante à circunferência:
Figura 5: Uma circunferência e um ponto P no seu exterior. Segmento tangente à circunferência e segmento secante à circunferência, com ponto C sendo o encontro do segmento com a circunferência tal que C está entre P e D.
Assim, nesse caso temos que (PA)² = PC . PD.
Novamente, podemos transcrever da seguinte forma: dada uma circunferência e um ponto P em seu exterior, se traçarmos a partir do ponto P um segmento secante e um segmento tangente.
Então, o produto da medida do segmento secante pelo seu segmento exterior é igual à medida do segmento tangente ao quadrado.
Observação: perceba que ao longo de todo o texto tratamos de “igualdade de segmentos”. Ou seja, estamos analisando igualdades entre medidas de segmentos e não igualdades entre segmentos.
Então, por exemplo, na relação acima o mais correto é escrever:
[m (PA)]² = [m (PC)] . [m (PD)]
Mas adotamos a igualdade (PA)² = PC . PD por simplificação.
Exercício resolvido de potência de ponto exterior
Vamos agora a um exemplo.
(Exercício criado pela autora) Considere uma circunferência e um ponto P no seu exterior e os pontos A e D na circunferência de modo que PA = √5 u . c é tangente a circunferência e PD = x u . c é secante à circunferência.
Sendo C o ponto de intersecção entre o segmento secante com a circunferência e sabendo que C está entre os pontos P e D, determine o valor de PC sabendo que CD = 4 u . c.
Solução:
Temos a seguinte configuração de acordo com o enunciado do exercício:
Figura 6 Uma circunferência e um ponto P no seu exterior.
Assim, utilizando a situação 2, temos:
(PA)² = PC . PD
(√5)² = (x – 4) . x
5 = x² – 4x
x² – 4x – 5 = 0
x = 5 ou x = -1
Como x é a medida de um segmento, a opção x = – 1 é descartada, ou seja, x=5. Portanto, PC = x – 1 = 5 – 1 = 4 u . c.
Gostou do assunto e quer ver mais detalhes? Então veja a aula do professor Paulo Pereira:
Videoaula
Por fim, resolva os exercícios sobre potência de ponto e continue estudando!
Exercícios
Questão 01 – (UFPE/2007)
A figura a seguir ilustra uma praça circular com dois caminhos retilíneos, AB e CD, que se interceptam no ponto P. O caminho AB divide-se em duas partes com medidas AP = 45m e BP = 24m. Se DP = 40m, qual a medida do caminho CD?
a) 63m
b) 64m
c) 65m
d) 66m
e) 67m
Gab: E
Questão 02 – (UFPE/2014)
A figura abaixo, na qual (C) é uma circunferência, T é um ponto da circunferência, e A é um ponto tal que AT é tangente a (C) em T e AT=6cm. Calcule APxAM, em cm2.
Gab: 36cm²
Questão 03 – (UFG GO/2010)
Um professor pediu a seus alunos que desenhassem em seus cadernos uma circunferência de raio r e um ponto P fora do círculo delimitado por ela. Depois, pediu que traçassem por P duas retas: uma delas tangente à circunferência em um ponto T e a outra secante à circunferência nos pontos A e B, sendo PA < PB. Em seguida, usando semelhança de triângulos, provou que PA . PB = PT².
Sabendo que a corda AB mede 5 cm e que PT = 6 cm, calcule a medida de PA, em centímetros.
Gab:
4 cm.
