Circunferência e círculo: definição, elementos e cálculos de áreas

A circunferência é o conjunto de todos os pontos equidistantes (mesma distância) de um ponto de referência.

A circunferência e o círculo são tão importantes quanto os polígonos na geometria plana. Na aula de hoje vamos aprender sobre circunferência, sua definição, seus elementos e seu perímetro. Também, vamos aprender sobre o círculo, sua definição, seus elementos, o cálculo de áreas e de comprimentos de arco.

Circunferência

Dizemos que uma circunferência é o conjunto de todos os pontos equidistantes (mesma distância) de um ponto de referência. A essa distância damos o nome de raio da circunferência (denotado por r) e ao ponto de referência damos o nome de centro da circunferência.

Observe abaixo.

circunferência e raio
Figura 1: Uma circunferência de centro O e raio r.

Perceba pela definição acima que a circunferência é apenas a borda. Ou seja, quando falamos de circunferência nos referimos apenas ao “caminho redondo” da imagem acima, sem considerarmos o seu interior.

Elementos da circunferência

O centro e o raio são dois personagens essenciais quando falamos de circunferências. Mas, além deles, precisamos mencionar outros elementos:

  • Corda: qualquer segmento de reta cujas extremidades são 2 pontos distintos da circunferência;
  • Diâmetro: é a corda da circunferência que passa pelo centro dela;
  • Flecha: segmento de reta com uma extremidade em um ponto da circunferência e outra extremidade em um ponto de uma corda, sendo perpendicular à corda;
  • Arco: é a porção da circunferência compreendida entre dois pontos dela.

Aqui vale ressaltar o seguinte:

  • O raio pode ser definido como sendo qualquer segmento de reta cujas extremidades são o centro e um ponto qualquer da circunferência;
  • O diâmetro possui medida igual ao dobro da medida do raio;
  • O diâmetro é a maior corda da circunferência;
  • Existem 2 notações para o arco da circunferência. Suponha, com o auxílio da imagem acima o arco compreendido entre os pontos A e B. Para este arco utilizamos a notação notação AB da circunferência
  • A notação mais correta para medida de arco é arco abmas vamos tratar arco ab como sinônimo de arco(AB) por questão de praticidade.

Veja na imagem abaixo os seus elementos.

elementos da circunferência
Figura 2: Circunferência de centro O e raio r com pontos A,B,C,D,E,F e G formando os elementos da circunferência.

Da figura temos o seguinte:

  • OA = raio;
  • BF = diâmetro;
  • CE = corda;
  • DG = flecha;
  • Arco(AB), arco(BC), arco(CD), arco(DE), arco(EF), arco(FA) representados.

Além dos elementos, existe um cálculo de extrema importância a respeito da circunferência: o cálculo do comprimento (ou perímetro – notação: 2p).

Cálculo do comprimento da circunferência

O comprimento é calculado através da seguinte expressão:

C = 2 . π . r

Com r sendo o raio da circunferência.

Este comprimento nada mais é do que a medida da “borda” da imagem, se essa borda pudesse “se abrir e virar um segmento de reta”. Você provavelmente já ouviu falar desse assunto alguma vez na sua vida, não é mesmo?

A partir do comprimento da circunferência somos capazes de encontrar o comprimento de um arco de circunferência, da seguinte forma:

comprimento do arco
Figura 3: Circunferência de centro O e raio r, com arco de medida l e ângulo Ô.

360° – 2π . r

Ô – l

Para isso, precisamos saber o valor de r e de Ô.

Se o ângulo Ô for medido em radianos, a regra de três se torna:

2π – 2π . r

Ô – l

Agora que já estudamos sobre a circunferência, não podemos esquecer do círculo, então vamos começar a estudá-lo agora.

Círculo

Considere uma circunferência de centro O e raio r. Dizemos que o círculo é o conjunto de todos os pontos cuja distância entre estes pontos e o ponto O seja menor ou igual a r.

círculo
Figura 4: Um círculo de centro O e raio r.

Perceba então que na definição do círculo consideramos tanto a “borda” (circunferência) quanto o “interior da imagem” com a condição da distância ser menor ou igual a r.

Essa é a diferença entre as definições de circunferência e círculo.

Existe ainda uma outra forma de definir o círculo, que é a seguinte: círculo é a região delimitada por uma circunferência. Perceba que o centro e o raio da circunferência coincidem com o centro e o raio do círculo.

Assim como a circunferência possui seus elementos, os círculos também os têm. Ainda, da mesma forma que conseguimos calcular o comprimento da circunferência, no círculo conseguimos calcular a sua área e a área dos seus elementos.

Elementos do círculo

Os elementos do círculo são:

  • Centro;
  • Raio;
  • Diâmetro;
  • Setor circular: porção do círculo delimitada por um arco de circunferência e raios cuja extremidades são o centro e os pontos extremos do arco;
  • Segmento circular: porção do círculo delimitada por uma corda e por um arco de circunferência que possuem os mesmos pontos extremos;
  • Coroa circular: considere dois círculos que possuem o mesmo centro. A coroa circular é a região compreendida entre o interior do círculo de maior raio e o exterior do círculo de menor raio.

Veja abaixo a representação destes elementos:

elementos do círculo
Figura 5: representação dos elementos do círculo.

Agora que já sabemos os elementos do círculo, vamos dar uma olhada nos cálculos de suas áreas.

Área do Círculo

área do círculo
Figura 6: Um círculo de centro O e raio r.

A área de um círculo pode ser calculada através de:

S = π . r²

Em que r é o raio do círculo.

Área do Setor Circular
setor circular de um círculo
Figura 7: Um setor circular.

A área do setor circular pode ser calcula de duas formas, ambas se utilizando de regra de três:

  1. Conhecendo o valor do ângulo Ô:

360° — πr²

Ô — Ssetor

Aqui, lembre-se de prestar atenção se o ângulo Ô foi dado em graus ou em radianos e faça a adaptação necessária na regra de três.

  1. Conhecendo o valor do arco l que o delimita:

2πr — πr²

l — Ssetor

Área do Segmento Circular
área do segmento circular
Figura 8: Um segmento circular.

A área do segmento circular é calculada através de:

Ssegmento = Ssetor – Striângulo

Área da Coroa Circular
coroa circular
Figura 9: Uma coroa circular.

A área da coroa circular é calculada através de:

Scoroa = Scírculo de maior raio – Scírculo de menor raio

Pronto, agora você já sabe calcular comprimento de circunferência, área do círculo e dos seus elementos. Agora, veja os exemplos abaixo para dar uma esclarecida de como resolver os cálculos.

Exercícios resolvidos

  1. (Exemplo criado pela autora) Considere a imagem abaixo.

exercício de circunferência e círculo

Perceba que temos dois círculos, um de raio 10 cm e outro de raio 8 cm, delimitados por suas respectivas circunferências. Ainda, como os círculos são concêntricos, estamos diante, também, de uma coroa circular.

Vamos calcular o comprimento da circunferência que delimita o círculo de raio 10cm, a área do círculo de raio 8cm e a área da coroa circular:

Comprimento da circunferência de raio 10 cm:

2 . π . r = 2 . π . 10 cm = 20πcm

Área da circunferência de raio 8 cm:

S = π . r² = π . (8)² cm = 64πcm²

Área da coroa circular:

S = Scírculo maior – Scírculo menor

S = π . (10)² – π . (8)²

S = 100π – 64π

S = 36π cm²

  1. (Exemplo criado pelo autor) Considere agora a imagem abaixo.

exercício circunferência e círculo

Vamos encontrar o comprimento do arco l, a área do setor circular e a área do segmento circular.

Comprimento do arco l:

360° – 2π . r

Ô – l

 

Dados os valores do exemplo temos:

360º – 2π . 10

60º – l

Resolvendo temos:

360º . l = 2π . 10 . 60º

l = 23π ÷ 6

Área do setor circular:

Vamos usar a regra de três que utiliza o valor do ângulo conhecido:

360º – πr²

Ô – Ssetor

Dados os valores do exemplo temos:

360º – π . (10)²

60º – Ssetor

Assim temos:

360º . Ssetor = 60º . π . 100

Ssetor = 50π ÷ 3

Área do segmento circular:

cálculo segmento circular

Percebeu que os números ficaram feios? Isso pode depender de exercício pra exercício, de acordo com as aproximações que a questão der ou não a respeito de valores como π e √3.

Gostou do assunto? Quer ver mais detalhes? Então acesse a sequência de aulas do professor Ferretto:

Resumo de comprimento da circunferência

 

Área do círculo e setor circular

 

Área de segmento e coroas circulares

Por fim, resolva os exercícios

Questão 01 – (FATEC SP/2020)    

A utilização de cadeira de rodas impõe limites à execução de tarefas por dificultar a aproximação aos objetos e o alcance a elementos acima e abaixo do raio de ação de uma pessoa sentada. A dificuldade nas manobras com a cadeira de rodas pressupõe o estabelecimento de um raio mínimo para a execução de atividades. As figuras se baseiam nas recomendações da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) para manobras de rotação.

exercício fatec circunferência

De acordo com as dimensões apresentadas nas figuras, para que uma pessoa em cadeira de rodas possa efetuar uma manobra de 360º, ela precisa de um espaço mínimo equivalente a um círculo, centrado no eixo de rotação da cadeira, de raio igual a

a) 0,60.

b) 0,75.

c) 0,85.

d) 1,20.

e) 1,50.

Gab: B

Questão 02 – (UniNorte AM/2019)

A figura representa o esboço do caminho percorrido por uma pessoa para se deslocar do ponto P até o ponto R.

exercício círculo uninorte 2019

Sabe-se que

  • a curva PQ é um arco de circunferência de raio 1,6km.
  • o segmento QR representa um trecho retilíneo do caminho, medindo 2,8km.

Se, em determinado dia, o percurso PR foi feito de automóvel em 6 minutos, pode-se afirmar, considerando π = 3, que a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de

a) 40km/h

b) 38km/h

c) 36km/h

d) 32km/h

e) 30km/h

Gab: A

Questão 03 – (IFGO/2019)

Se o raio R de uma circunferência for reduzido pela metade, é correto afirmar que:

a) o valor da área círculo ficará reduzido pela metade do valor da área do círculo inicial de raio R.

b) o valor da área do círculo ficará reduzido a ¾ do valor da área do círculo inicial de raio R.

c) o comprimento da circunferência se reduzirá a ¼ do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R.

d) o comprimento da circunferência se reduzirá a metade do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R.

Gab: D

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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