A projeção ortogonal de um objeto sobre um plano é uma figura obtida através da projeção sobre esse plano de cada ponto que forma o objeto no espaço. Entenda!
As questões de projeção ortogonal aparecem frequentemente nas provas de vestibulares. Talvez você já tenha até ficado frente a frente com uma questão de projeção ortogonal e nem percebeu que esse era o assunto da questão.
Duvida? Então, para começar a nossa aula, vamos ver um exemplo de questão de projeção ortogonal no Enem.
Exercício sobre projeção ortogonal
(ENEM – 2019) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura.
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir.
Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.
A sombra projetada no solo é
A questão acima pode parecer fácil à primeira vista, mas pegou de surpresa muita gente no Enem. Isso porque o conteúdo de projeção ortogonal, exigido por essa questão, testa a capacidade de visão espacial de cada um.
Questões como a exemplificada para abrir essa aula, geralmente exigem que você imagine como seria a “sombra”, de certo objeto que está no espaço, se ela estivesse em um plano.
Essa imaginação requer que você não só tenha uma boa visão espacial, como também esteja familiarizado com as figuras planas mais comuns.
Sendo assim, vamos estudar a partir de agora a teoria a respeito das projeções ortogonais. Vamos lá!
O que é projeção ortogonal
Primeiramente, antes de falarmos especificamente sobre a projeção ortogonal, preciso avisar o seguinte: dado um objeto qualquer no espaço e um plano que não possui nenhum ponto em comum com este objeto, é possível projetarmos tal objeto sobre o plano.
Complicou? Vou traduzir: se você tiver um objeto que está flutuando ou suspenso acima de um plano, como o chão, conseguiremos projetar a sombra ou a forma desse objeto sobre o plano.
Sendo assim, a projeção ortogonal desse objeto sobre o plano nada mais é do que uma figura obtida através da projeção sobre esse plano de cada ponto que forma o objeto no espaço.
O objeto que será projetado pode ser um ponto, uma reta, semirreta, segmento de reta, figuras planas ou até mesmo sólidos geométricos.
Exemplos de projeção ortogonal
Veja em seguida alguns exemplos de projeção ortogonais.
Projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano β
Figura 1: Plano β, ponto P não pertencente ao plano, ponto P’ sendo a projeção do ponto P sobre o plano através da reta r passando pelo ponto P e ortogonal ao plano.
Na figura acima temos o resultado da projeção do ponto P sobre o plano β: o ponto P’.
Você pode encontrar a seguinte notação para projeção: P’ = projβP. Tal notação significa “projeção do ponto P sobre o plano β”.
Vale ressaltar ainda que é bastante comum encontrar P’ como projeção, mas você também poderá encontrar P1 em vez de P’.
Estudamos até aqui como se constitui a projeção ortogonal de um ponto P qualquer em um plano qualquer do espaço.
Como funciona a projeção ortogonal de um ponto
Como essa projeção de ponto é o centro de todo o estudo de projeção ortogonal, vamos ver com mais detalhes como funciona esta projeção:
- Primeiramente, consideramos primeiro o ponto P e o plano β de forma que P não pertença ao plano:
Figura 2: Um plano β e um ponto P no espaço que não pertence ao plano.
- Para encontrarmos a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano β, traçamos a reta r passando pelo ponto P e ortogonal ao plano:
Figura 3: Plano β, ponto P não pertencente ao plano, reta r passando pelo ponto P e ortogonal ao plano, com ênfase no ângulo de 90°.
- Ao ponto de encontro entre o plano β e a reta r chamamos pé da reta ortogonal ao plano passando pelo ponto P:
Figura 4: Plano β, ponto P não pertencente ao plano, reta r passando pelo ponto P e ortogonal ao plano, ângulo de 90° e ênfase no círculo que representa o pé da reta ortogonal ao plano passando pelo ponto P.
- Este pé da reta ortogonal ao plano passando pelo ponto P é justamente a projeção do ponto P sobre o plano β. Neste exemplo, representamos tal ponto como P’:
Figura 5: Plano β, ponto P não pertencente ao plano, ponto P’ sendo a projeção do ponto P sobre o plano através da reta r passando pelo ponto P e ortogonal ao plano.
Perceba que chegamos à mesma figura que a figura 1, tendo encontrado então a projeção do ponto P sobre o plano β.
Projeção ortogonal de figura plana (círculo) sobre um plano β
Figura 6: Plano β, círculo C1 no espaço e C1’ sua projeção sobre o plano. Alguns pontos destacados em C1 e suas respectivas projeções sobre o plano.
Aqui tratamos o círculo como sendo um conjunto de pontos e fizemos a projeção de cada ponto sobre o plano, obtendo então a projeção de todo o círculo sobre o plano.
Observe que a projeção ortogonal do círculo C1 sobre o plano resultou em um círculo C1’, desta vez pertencente ao plano.
Projeção ortogonal de um sólido (cubo) sobre um plano β
Figura 7: Plano β, cubo ABCDEFGH no espaço e o quadrado que representa a sua projeção sobre o plano. Ênfase na projeção de seus vértices sendo pontos coincidentes no plano.
Consideramos o cubo como sendo um conjunto de pontos e fizemos a projeção de cada ponto sobre o plano, obtendo, então, a projeção de todo o cubo sobre o plano.
Observe que a projeção ortogonal do cubo sobre o plano resultou em um quadrado pertencente ao plano.
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano β
Em seguida, veremos como é a projeção de uma reta ortogonal ao plano e de uma reta não ortogonal ao plano.
Reta ortogonal ao plano
Figura 8: Plano β, reta r ortogonal ao plano e ponto P’ sendo a sua projeção sobre o plano.
Neste caso, a projeção da reta sobre o plano é apenas um ponto, que é justamente o ponto de encontro da reta com o plano.
Reta não ortogonal ao plano
Figura 9: Plano β, reta r no espaço e r’ sendo a reta que representa a sua projeção sobre o plano. Projeção de alguns pontos de r destacados.
Diferente do caso anterior, aqui a projeção da reta sobre o plano é uma reta r’ pertencente ao plano.
Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano β
Figura 10: Plano β, segmento de reta AB no espaço e A’B’, sendo o segmento de reta que representa a projeção de AB sobre o plano. Projeção de alguns pontos de AB destacados.
Considerando então um segmento de reta não ortogonal ao plano β, sua projeção sobre o plano também é um segmento de reta pertence ao plano.
Sabendo disso tudo, responda: se o segmento de reta da imagem anterior fosse ortogonal ao plano, qual seria a sua projeção sobre o plano?
Seria um ponto no plano! Notou a similaridade com a projeção de uma reta ortogonal ao plano, né? Essa similaridade faz sentido, basta considerar que o segmento de reta é uma porção da reta.
Antes de finalizarmos nosso estudo, vale uma observação: o segmento de reta projetado é menor que o segmento de reta no espaço.
Assim, com todas essas informações, você pode voltar ao exemplo do início da aula e resolver a questão sem medo. E qual o gabarito? É a letra E.
Por fim, um último comentário: podemos associar a projeção ortogonal com ideia de que ela é a sombra de um objeto se colocarmos uma lanterna exatamente em cima do objeto ou se o objetivo estiver embaixo do sol exatamente ao meio dia.
Videoaula
Se você quiser ver mais detalhes sobre o assunto, veja a videoaula a seguir do canal do Prof. Rafael Procopio e, em seguida, resolva os exercícios:
Exercícios
1- (ENEM/2018)
Uma torneira do tipo 1/4 de volta é mais econômica, já que seu registro abre e fecha bem mais rapidamente do que o de uma torneira comum. A figura de uma torneira do tipo 1/4 de volta tem um ponto preto marcado na extremidade da haste de seu registro, que se encontra na posição fechado, e, para abri-lo completamente, é necessário girar a haste 1/4 de volta no sentido anti-horário. Considere que a haste esteja paralela ao plano da parede.
Disponível em: www.furkin.com.br. Acesso em: 13 nov. 2014.
Qual das imagens representa a projeção ortogonal, na parede, da trajetória traçada pelo ponto preto quando o registro é aberto completamente?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2- (ENEM/2017)
Uma pessoa pede informação na recepção de um prédio comercial de como chegar a uma sala, e recebe as seguintes instruções: suba a escada em forma de U à frente, ao final dela vire à esquerda, siga um pouco à frente e em seguida vire à direita e siga pelo corredor. Ao final do corredor, vire à direita.
Uma possível projeção vertical dessa trajetória no plano da base do prédio é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3- (ENEM/2016)
Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos.
A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Gabarito:
- A
- B
- E
