Ângulo: o que é, unidades de medida e operações matemáticas

Ângulo é a região compreendida entre duas semirretas que possuem o mesmo ponto de origem. Pode ser côncavo ou convexo e é medidos em graus ou radiano.

O que é ângulo

Primeiramente, precisamos entender a definição matemática de um ângulo:

Ângulo é a região compreendida entre duas semirretas que possuem a mesma origem, mas que não estão contidas na mesma reta.

Para facilitar a sua compreensão desse conceito, veja a imagem abaixo representando um ângulo:

Ângulo
Imagem 1: Duas semirretas de mesma origem (O) não contidas na mesma reta formando o ângulo AÔB.

Perceba na imagem acima que as semirretas que formam o ângulo são as denominadas por  . Essas semirretas são os lados do ângulo e o ponto O é o vértice do ângulo.

Ainda sobre a imagem acima, a notação para o ângulo é AÔB ou simplesmente Ô. Ou seja, colocamos um acento circunflexo no vértice do ângulo, sendo esse vértice representado pela letra maiúscula O ou qualquer outra letra maiúscula do nosso alfabeto. Ainda, um ângulo também pode ser representado por letras minúsculas do alfabeto grego (α, β, γ, …).

Ângulos e semirretas

Mas, indo um pouco mais além, as duas semirretas acima dividem o plano em duas regiões: a região do lado de “dentro” das semirretas – em verde na imagem abaixo- e a região do lado de “fora” das semirretas – em cinza na imagem abaixo.

Regiões delimitadas por um ângulo AÔB qualquer
Imagem 2: Regiões delimitadas por um ângulo AÔB qualquer. Em verde, a região do lado de “dentro” das semirretas e em cinza a região do lado de “fora” das semirretas.

Toda vez que traçamos duas semirretas para construir um ângulo, estamos, na verdade, construindo dois ângulos. Um dos ângulos é simplesmente a região do lado de “dentro” das semirretas enquanto o outro ângulo é a região do lado de “fora” das semirretas.

Um desses ângulos é classificado como côncavo e o outro é classificado como convexo. Se você não conhece essa classificação, continue a leitura pois daqui a pouco já retornaremos a esses conceitos.

É sempre importante ficar atento/a aos dois ângulos que as semirretas formam. Mas, quando vier à sua mente a ideia de ângulo, lembre-se de uma imagem semelhante à imagem 1.

Considerando, então, um ângulo AÔB qualquer e, com o apoio da imagem a seguir, podemos dizer que:

Ângulo AÔB com um ponto P em seu interior
Imagem 3: Ângulo AÔB com um ponto P em seu interior e um ponto Q em seu exterior.
  • O ponto P está no interior do ângulo AÔB.
  • O ponto Q está no exterior do ângulo AÔB.

Até aqui, já sabemos como definir um ângulo, sua notação e o que é seu interior e exterior. Em seguida vamos  a um outro ponto importantíssimo sobre ângulos: suas unidades de medidas.

Unidades de medida de um ângulo

Podemos medir os ângulos através das unidades:

  • Graus (°);
  • Radianos (rad).

Mas o que significa cada uma dessas medidas?

Graus

Para definirmos o grau, imagine que temos uma circunferência completa, conforme imagem abaixo.

Circunferência
Imagem 4: circunferência.

Em seguida, imagine que você vai dividi-la em 360 partes iguais e que, após a divisão, você fica com um pedaço dos 360 que foram gerados. Conseguiu visualizar?

Pois bem, preciso te contar que esse pedaço que ficou com você equivale a exatamente 1 grau (1°).

Pela definição matemática, dizemos que 1 grau (1°) equivale a 1/360 partes de uma circunferência.

Aprofundando, podemos dividir o grau em minutos e os minutos em segundos. E como isso é possível?

É simples, basta você lembrar que 1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) e 1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60).

Perceba que a notação para minutos é ‘ e a notação para segundos é “.

Operações matemáticas utilizando ângulos

É possível também realizar operações com ângulos. Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir ângulos. Vejamos alguns exemplos:

  • 52º – 28º = 24º
  • 48º20’ + 22º14’ = 70º34’
  • 34º/2 = 17º
  • 12º15’2” x 2 = 24º30’4”

E como fazemos operações com esses ângulos? Operamos primeiro os segundos, depois os minutos e por último os graus. Sempre lembrando que a cada 60’’ ganhamos 1’ e a cada 60’ ganhamos 1°.

Vale a pena ressaltar ainda o seguinte: às vezes precisamos “pedir empresado” um valor da “casa vizinha” na subtração para continuarmos a operação.

No caso dos ângulos, a ideia de “pedir emprestado” também é válida, mas com um detalhe a mais: se você pegar 1° emprestado, ele vai para a casa dos minutos como 60’ e sobra 1° a menos na casa dos graus.

Já se você pegar 1’ emprestado, ele vai para a casa dos segundos como 60’’ e sobra 1’ a menos na casa dos minutos.

Ficou difícil de entender? Vou exemplificar. Veja como fazer a subtração  :

Operações com ângulos

Agora que já aprendemos sobre o grau, podemos estudar a definição de radianos.

Radianos

Dada uma circunferência qualquer de raio r, dizemos que o arco dessa circunferência mede 1 radiano (1 rad) quando a medida desse arco for exatamente igual à medida do raio da circunferência.

Descobrimos, então, que podemos escrever a medida de um ângulo tanto por graus quanto por radianos.

No entanto, a definição de radiano é mais complicada que a de grau, não concorda? Mas não se preocupe, pois por mais que sempre seja bom sabermos as definições, será mais útil para nós sabermos como essas duas unidades se relacionam. Tal relação é feita da seguinte forma:

180° equivale a π rad (180° = π rad).

A partir dessa relação conseguimos elaborar uma regra de três simples e, assim, somos capazes de transformar ângulos de graus para radianos e vice-versa.

E vamos a dois exemplos:

1- Quanto vale 250° em radianos?

Nesse caso, fazemos a seguinte regra de três:

180º − π rad

250º − x rad

Resolvendo temos:

Radianos

2- Quanto vale  em graus?

Neste caso, basta substituirmos  por 180° e operarmos:

Ângulos côncavos e convexos

Você lembra que já falamos sobre ângulos côncavos e convexos? Agora que sabemos as unidades de medida dos ângulos, podemos defini-los.

Dizemos que um ângulo α qualquer é convexo quando sua medida é maior que 0° e menor que 180° (0º < α < 180º). Por outro lado, dizemos que esse ângulo α é côncavo quando sua medida é maior que 180° e menor que 360° (180º < α < 360º).

Ângulos e os ponteiros do relógio

Você sabia que os vestibulares gostam de cobrar os ângulos através de questões sobre os ponteiros do relógio? Mas, como assim?

Imagine que o relógio é uma circunferência, mas que agora será dividida em 12 partes. Então, cada hora será equivalente a 1/12 da circunferência.

Pensando que a circunferência tem 360 graus, cada hora equivale a 30° (360°/12). Assim, descobrimos que a cada 1 hora, o ponteiro pequeno percorre 30°.

Além disso, sabemos que a cada 1 hora o ponteiro grande percorre 360°.

Alguns exercícios podem ser resolvidos simplesmente sabendo esses fatos, mas ainda existe uma segunda forma, através da seguinte equação:

Dessa forma, o x representa o ângulo formado entre os ponteiros do relógio (em graus) na hora h e no minuto m.

Mas fique ligado/a, essa fórmula retorna para você o valor de um dos dois ângulos formados pelos ponteiros do relógio, mas não significa que esse valor seja a resposta do exercício. Portanto, fique de olho na pergunta!

Por fim, para saber mais sobre o tema, assista à esta aula do nosso canal com o prof. Sarkis!

Após terminar os exercícios, continue estudando com nossa aula sobre os tipos de ângulos!

Exercícios:
1- (Faculdade Santo Agostinho BA – 2018)    

Numa viagem a Londres, André foi conhecer o Big Ben. O guia que acompanhava o seu grupo explicou que Big Ben é o sino que foi instalado no Palácio de Westminster durante a gestão de Sir Benjamin Hall, ministro de Obras Públicas da Inglaterra, em 1859. Apesar de o termo também ser usado para se referir à torre do relógio onde o sino está localizado, a estrutura é oficialmente conhecida como a Elizabeth Tower e a edificação possui o segundo maior relógio de quatro faces do mundo. No momento da visita, o relógio marcava 9 horas e 15 minutos.

No referido instante, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos era de

a) 120°30’

b) 157°30’

c) 172°30’

d) 77°30’

2- (UEL PR – 2011)   

Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é:

a) 90º

b) 100º

c) 110º

d) 115º

e) 125º

3- (PUC GO – 2017)   

     lá fora e no alto

o céu fazia

todas as estrelas que podia

 

na cozinha

debaixo da lâmpada

minha mãe escolhia

feijão e arroz

andrômeda para cá

altair para lá

sirius para cá

estrela dalva para lá

(LEMINSKI, Paulo. Toda poesia. 12. reimpr.
São Paulo: Companhia das Letras, 2013. p. 255.)

O texto faz alusão a estrelas e constelações. Desde a Antiguidade, o ser humano sente necessidade de se orientar e, por muito tempo, observar as estrelas tem sido um meio de buscar orientação. Historicamente, a palavra “orientação” deriva de buscar a direção do Oriente (Japão), “local onde o Sol nasce”. Atualmente, existem duas medidas de orientação, definidas por dois nortes: o norte geográfico (NG) e o norte magnético (NM). O NG é definido pelo plano que passa por um determinado ponto da superfície terrestre perpendicular ao plano do Equador. O NM é definido pelo plano que passa por um ponto da superfície terrestre seguindo a direção da agulha da bússola, num dado instante.

O NG é imutável. Porém, o NM é dinâmico e varia de época para época, aumentando seu ângulo em relação ao NG em 10’ por ano, chegando a 25° em relação ao NG. Depois, ele começa a voltar no sentido inverso, até chegar a 25° para a outra direção. Essa variação é chamada de declinação magnética (DM). A DM poderá ser ocidental, se o NM estiver à esquerda do NG; ou oriental, caso contrário. Baseado nesses conceitos e considerando-se um determinado edifício localizado a 40° à esquerda de NG, responda: se em janeiro de 1989, a declinação magnética era de 12° ocidental e crescente, então, em janeiro de 2017, esse mesmo edifício se localizava a (assinale a resposta correta):

(VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L.
Fundamentos de topografia. Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 2012.)

 

a) 23° 20’00” à direita de NM.

b) 23° 20’00” à esquerda de NM.

c) 32° 40’00” à esquerda de NM.

d) 32° 40’00” à direita de NM.

Gabarito:
  1. C
  2. C
  3. B

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.