Área é a medida do tamanho de uma superfície plana. A importância desse conceito aparece na medição de terrenos, muros, caixas e tantas outras aplicações. Veja agora como gabaritar nestas questões de matemática no Enem.
O cálculo da área de figuras planas é algo que cai com muita frequência nas questões de Matemática do Enem. Por isso, nesta aula você vai aprender a calcular a área de diferentes figuras geométricas. Você vai encontrar as fórmulas em texto e no vídeo da nossa série “Aprenda geometria de uma vez por todas”.
Área é a medida do tamanho de uma superfície plana. A importância desse conceito aparece na medição de terrenos, muros, caixas e tantas outras aplicações.
Além de ser muito importante para o cotidiano, o cálculo de áreas é um dos conhecimentos mais cobrados na prova do Enem. Por isso, é muito importante estar preparado para resolver as questões.
O quadrado é a figura mais básica quando estamos falando do cálculo de área. A figura possui 4 lados iguais e 4 ângulos medindo 90º graus. A área do quadrado é dada, por definição, como o seu lado elevado ao quadrado.
Exemplo: calcule a área de um quadrado de área 4cm.
Quadrado de lado 1
Como dito anteriormente, a área do quadrado é dada pelo quadrado de seu lado. Algebricamente podemos escrever:
A quadrado = l²
Nesta fórmula, o l é o valor do lado do quadrado, enquanto o A é a sua área. Substituindo l pelo seu valor conhecido de 4, obtemos:
A = (4 cm)²
A = 16 cm²
Note que quando elevamos ao quadrado, a unidade de medida também foi elevada ao quadrado. Isso é muito importante, pois como estamos calculando uma medida de área, também precisamos de uma unidade de medida adequada.
Área do retângulo
A área do retângulo pode ser facilmente encontrada a partir da área do quadrado. Primeiramente, um retângulo é um polígono de 4 lados, não necessariamente iguais, onde todos os ângulos possuem 90º.
Um retângulo sempre tem seus lados opostos semelhantes, ou seja, de tamanho igual. Por isso, dizemos comumente que o retângulo tem valor de base e valor de altura. Vamos mostrar como encontrar a fórmula a partir do exemplo:
Exemplo: calcule a área de um retângulo de base 3 m e altura 2 m.
Retângulo de base 3 e altura 2
Veja que podemos facilmente dividir o retângulo em 6 quadrados lado 1 m.
Retângulo de base 3 e altura 2 dividido em 6 quadrados de lado 1.
Como o lado desses quadrados são 1m, sua área também será 1m², afinal:
A quadrado = (1 m)² = 1 m²
Como são 6 quadrados e eles formam o retângulo inteiro, sabemos que a área total do retângulo será a soma das áreas dos quadrados. Fica claro, então, que a área do retângulo é 6 m².
“Nossa, mas terei que sempre fazer essa divisão para encontrar a área do retângulo?” Claro que não!
Ora, como dividimos em quadrados de lado 1 m, fica fácil contar o número de quadrados sabendo o comprimento e altura do retângulo. Como a base é 3 m e a altura é 2 m, basta multiplicar esses valores que encontramos o número de quadrados que surgem dessa divisão.
Dessa maneira, a fórmula da área do retângulo nada mais será do que a multiplicação da sua base pela sua altura ou, ainda, a multiplicação de seus lados (que são diferentes). Algebricamente, h é o tamanho da altura (vindo do inglês height) e b é o tamanho da base:
A retângulo = b . h
Cálculo de Área na Geometria Espacial
Hora de avançar com o professor Lucas, para ver como fazer o cálculo de área na Geometria Espacial.
Área do trapézio
O trapézio é uma figura um pouco diferente. Trata-se de um polígono de 4 lados onde dois são paralelos. Chamamos os seus lados paralelos de bases, sendo uma delas a base maior e a outra a base menor, nome atribuído de acordo com seus tamanhos.
Para a fórmula da área, serão relevantes 3 informações sobre a figura: o tamanho da base maior, da base menor e a sua altura.
É muito importante ressaltar que a altura do trapézio não é igual ao tamanho de seus lados “laterais”, mas sim a distância entre as bases.
A fórmula para área do trapézio é a seguinte, onde b é o tamanho da base menor, B o tamanho da base maior e h sua altura:
Exemplo: calcule a área de um trapézio de base maior 5 dm, base menor 3 dm e altura 10 dm.
Trapézio com base maior 5, base menor 3 e altura 10.
Trapézio com base maior 5, base menor 3 e altura 10.
Ora, como já temos as três informações, esta questão será uma aplicação direta da fórmula. Substituindo os valores, temos:
Observação: veja como as unidades de medida se comportam nas operações: na soma inicial elas mantêm a unidade de comprimento. Apenas quando multiplicamos os valores elas tornam-se uma unidade de área.
Área do triângulo
Talvez essa seja a seção mais importante da aula de área de figuras. Isso porque questões envolvendo triângulos são muito frequentes no Enem. Triângulos são polígonos de três lados e aparecem de várias formas, tamanhos e posições.
Existem fórmulas para triângulos especiais, mas também existem fórmulas para todo tipo de triângulo. A fórmula que vamos mostrar aqui funciona para todo triângulo (mas talvez não funcione para toda questão!).
Podemos entender a fórmula de área do triângulo usando um exemplo bem clássico: calcule a área do triângulo a seguir com lados 3m, 4m e 5m.
Triângulo de lados 3, 4 e 5.
Para iniciar essa questão, primeiramente eu peço que você tente imaginar que esse triângulo é apenas metade de um retângulo. Você consegue ver o “completamento”, na imagem abaixo:
Triângulo de lados 3, 4 e 5 com dois segmentos formando um retângulo.
Podemos encontrar esse complemento para todo tipo de triângulo. Embora o que usamos aqui no exemplo seja um bem mais fácil de ver, alguns usam múltiplas partes para serem completados em um retângulo.
Dito isso, estamos vendo que esse triângulo é exatamente metade do retângulo de base 4 m e altura 3 m. Ora, como já sabemos a área do retângulo e estamos trabalhando com sua metade, basta dividi-la por 2.
No nosso exemplo temos:
Atenção: aqui estamos tratando da altura do triângulo. Foi apenas uma facilitação do exercício que a altura coincide com um dos seus lados, isso não é verdade para todo triângulo.
Por fim, vamos ver a área de um triângulo especial.
Fórmula de área do triângulo equilátero
Exemplo: calcule a área do triângulo de lados medindo todos 4 cm.
Triângulo de lados 1, 1 e 1.
Veja que todos os lados do triângulo medem o mesmo. Isso significa que o triângulo é regular e, portanto, é chamado de equilátero. Temos uma fórmula especial para a área do triângulo equilátero, baseada apenas no valor de seus lados (que são todos iguais). Ela é a seguinte:
Substituindo o valor do lado na fórmula, obtemos:
Resumo sobre o cálculo de área de figuras geométricas
Exercícios sobre área de figuras
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1. Pergunta
(ENEM MEC/2017)
Um fabricante recomenda que, para cada m2 do ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas:
Tipo I: 10 500 BTUh
Tipo II: 11 000 BTUh
Tipo III: 11 500 BTUh
Tipo IV: 12 000 BTUh
Tipo V: 12 500 BTUh
O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.
Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante.
A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo
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Pergunta 2 de 10
2. Pergunta
(ENEM MEC/2016)
Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m2. Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.
Use √3/2, 1/2 e 1,7 como aproximações, respectivamente, para sen(60º), cos(60º) e .
Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações:
Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;
Mãe: Se considerarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área;
Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução do projeto;
Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;
Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado.
A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a)
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Pergunta 3 de 10
3. Pergunta
(ENEM MEC/2014)
O governo, num programa de moradia, tem por objetivo construir 1 milhão de habitações, em parceria com estados, municípios e iniciativa privada. Um dos modelos de casa popular proposto por construtoras deve apresentar 45 m2 e deve ser colocado piso de cerâmica em toda a sua área interna.
Supondo que serão construídas 100 mil casas desse tipo, desprezando-se as larguras das paredes e portas, o número de peças de cerâmica de dimensões 20cmx20cm utilizadas será
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Pergunta 4 de 10
4. Pergunta
(ENEM MEC/2012)
Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
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Pergunta 5 de 10
5. Pergunta
(ENEM MEC/2011)
A figura que segue é formada por 5 quadrados congruentes, cuja medida do lado é L, e um quadrado ABCD com vértices em um único vértice de quatro dos cinco quadrados.
A área do quadrado ABCD é equivalente à área de um retângulo de lados
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Pergunta 6 de 10
6. Pergunta
(ENEM MEC/2011)
Uma escola tem um terreno vazio no formato retangular cujo perímetro é 40 m, onde se pretende realizar uma única construção que aproveite o máximo de área possível.
Após a análise realizada por um engenheiro, este concluiu que para atingir o máximo de área do terreno com uma única construção, a obra ideal seria
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Pergunta 7 de 10
7. Pergunta
(ENEM MEC/2017)
A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas medidas internas dos cômodos estão indicadas. A espessura de cada parede externa da casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m.
Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é calculado conforme a área construída da residência. Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída.
O valor do IPTU desse imóvel, em real, é
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Pergunta 8 de 10
8. Pergunta
(ENEM MEC/2014)
Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?
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Pergunta 9 de 10
9. Pergunta
(ENEM MEC/2020)
Os alunos do curso de matemática de uma universidade desejam fazer uma placa de formatura, no formato de um triângulo equilátero, em que os seus nomes aparecerão dentro de uma região quadrada, inscrita na placa, conforme a figura.
Considerando que a área do quadrado, em que aparecerão os nomes dos formandos, mede 1 m2, qual é aproximadamente a medida, em metro, de cada lado do triângulo que representa a placa? (Utilize 1,7 como valor aproximado para √3).
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Pergunta 10 de 10
10. Pergunta
(ENEM MEC/2012)
Vítor deseja revestir uma sala retangular de dimensões 3 m x 4 m, usando um tipo de peça de cerâmica. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de peças disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões:
Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado.
Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado.
Tipo III: retângulos, com dimensões 0,5 m x 0,6 m.
Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos medem 0,5 m.
Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado.
Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomendou que Vítor escolhesse um tipo de piso que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou cortes nas cerâmicas.
Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que fosse comprado?
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Sobre o(a) autor(a):
Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.
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