Binômio de Newton: o que é, termo geral e exercícios resolvidos

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Neste post você vai aprender sobre o binômio de Newton e também sobre os números binomiais e suas propriedades, além de conhecer a fórmula do termo geral de um Binômio de Newton.

Antes de iniciarmos nossa revisão sobre o Binômio de Newton, é preciso que você relembre alguns conceitos relevantes para o entendimento desta aula. Vamos lá?

Binômio: Um binômio é uma expressão algébrica com dois termos algébricos ou um termo algébrico e outro numérico.
Termo algébrico: Quando nos referimos a termo algébrico, estamos falando de um termo que tenha letras (incógnitas).

Binômio de Newton

O Binômio de Newton é um binômio elevado a uma potência qualquer. E é claro que recebeu esse nome por ser descoberto por de Isaac Newton. Podemos dizer que o Binômio de Newton é uma potência da forma:

Podemos dizer que o Binômio de Newton é uma potência da forma: (x + y)ⁿ

Onde x e y pertencem ao conjunto dos números reais e n pertence ao número.

Como em qualquer potência, o binômio é a base da potência e é resolvido a partir do expoente. O expoente indica quantas vezes esse binômio deve ser multiplicado por ele mesmo. Observe o exemplo abaixo:

Temos alguns casos em que os binômios deverão ser elevados a expoentes muito grandes e aí vem a calhar uma ferramenta que facilite as nossas vidas, não é mesmo? Essa ferramenta se chama número binomial.

Número binomial

Um número binomial é um número escrito na seguinte forma:

Os números n e p são números naturais e n deve ser maior ou igual a p, de tal forma que sua fórmula vem da

Análise Combinatória

Podemos dizer que um número binomial é o mesmo que uma combinação simples:

Ou seja:

Propriedades dos números binomiais

Esses números binomiais obedecem a duas propriedades, que necessitamos saber:

1ª propriedade: Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo denominador e suas classes forem iguais.

Exemplo:

2ª propriedade: Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo denominador e a soma de suas classes for igual a seu numerador.

Exemplo:

A soma das classes é denominada de Binomiais Complementares ou Combinações Complementares.

Lei de formação do Binômio de Newton

Agora que já sabemos o que são números binomiais, iremos entender como eles nos ajudarão no cálculo de potências com bases binomiais e expoentes grandes.

Para isso, apresentaremos a você a lei de formação do Binômio de Newton:

Os números x e y são números Reais e o expoente n é um número natural.

Observe que os expoentes de:

x são decrescentes e decrescem de 1 em 1 unidade até chegar a zero.
y são crescentes e iniciam do zero e crescem de 1 em 1 unidade até chegar ao valor de n.

Exercícios resolvidos com o Binômio de Newton

Agora que você já aprendeu a teoria, vamos ver alguns exemplos para aprender a aplicá-la.

1. Desenvolva a seguinte potência:

Solução:

Para resolvermos essa potência, colocaremos a fórmula geral acima. Assim, saberemos quem é o primeiro termo o segundo termo do binômio e que serão os numeradores e as classes dos números binomiais:

Precisamos agora calcular os valores de cada número binomial pela fórmula:

Calculamos cada um dos números binomiais e agora vamos substitui-los por seus valores:

Substituímos os números binomiais por seus valores na cor verde, resolvemos as potências e as escrevemos na cor vermelha para que fique melhor de acompanhar. Na terceira linha temos o resultado do binômio.

Termo Geral do Binômio de Newton

Agora que já exemplificamos como calcular um Binômio pela lei de formação do Binômio de Newton iremos apresentar o Termo Geral do Binômio de Newton.

O Termo Geral do Binômio de Newton foi retirado da própria lei de formação do Binômio de Newton:

O termo geral é o que está circulado em vermelho, ou seja:

Com essa pequena fórmula podemos calcular qualquer termo de um binômio elevado a uma potência n. Veja outro exemplo:

2. Complete a frase: _____________________é o 4º termo de

A alternativa que contém o valor que completa a frase acima é:

Resolução:

Temos duas maneiras de resolver essa questão: a primeira é ir resolvendo por multiplicação de polinômio por polinômio. Uma solução bem extensa e bem trabalhosa. A segunda forma é usando a fórmula do termo geral do Binômio de Newton.

Veja que:

Agora vamos substituir os valores na fórmula e resolver:

A alternativa correta é a A.

( Fonte: Matsubara, Juliane B. et all. Conexão com a Matemática V2. São Paulo: Ed. Moderna, 2010)

Referências Bibliográficas:

DANTE, Luiz R. Matemática & Aplicações v.2. São Paulo: Ed. Ática, 2013.

BALESTRI, Rodrigo. Matemática: Interação e Tecnologia v2. São Paulo: Leya, 2016.

Matsubara, Juliane B. [et all.]. Conexões com a Matemática v2. São Paulo: Moderna, 2010.

Videoaula

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Exercícios sobre o Binômio de Newton

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

O que é Binômio de Newton e quais suas propriedades

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