Binômio de Newton

Revise os números binomiais e o Binômio de Newton. Estude Matemática com o Curso Enem Gratuito!

Neste post você vai aprender sobre o binômio de Newton e também sobre os números binomiais e suas propriedades, além de conhecer a fórmula do termo geral de um Binômio de Newton.

Para isso vamos usar assuntos conhecidos como potências, expoentes, produtos notáveis e combinação simples. Vem com a gente revisar Matemática para mandar bem no Enem e nos vestibulares!

Antes de iniciarmos nossa revisão sobre o Binômio de Newton, é preciso que você relembre alguns conceitos relevantes para o entendimento desta aula. Vamos lá?

Binômio: Um binômio é uma expressão algébrica com dois termos algébricos ou um termo algébrico e outro numérico.

Termo algébrico: Quando nos referimos a termo algébrico, estamos falando de um termo que tenha letras (incógnitas).

O Binômio de Newton é um binômio elevado a uma potência qualquer. E é claro que recebeu esse nome por ser descoberto por de Isaac Newton.

Binômio de Newton - 1

Podemos dizer que o Binômio de Newton é uma potência da forma:

Binômio de Newton - 2

Onde x e y pertencem ao conjunto dos números reais e n pertence ao número.
Como em qualquer potência, o binômio é a base da potência e é resolvido a partir do expoente.
O expoente indica quantas vezes esse binômio deve ser multiplicado por ele mesmo. Observe o exemplo abaixo:

Binômio de Newton - 3

Para revisar esses conceitos sobre Potências, acesse nossa aula sobre Potências de 10. Lá tem uma revisão sobre todas as propriedades de Potência.
E tem uma aula bem legal sobre Fatoração e Produtos Notáveis.

Temos alguns casos em que os binômios deverão ser elevados a expoentes muito grandes e aí vem a calhar uma ferramenta que facilite as nossas vidas, não é mesmo? Essa ferramenta se chama número binomial.

Número binomial: Um número binomial é um número escrito na seguinte forma:

Binômio de Newton - 4

Os números n e p são números naturais e n deve ser maior ou igual a p, de tal forma que sua fórmula vem da

Análise Combinatória:

Binômio de Newton - 5

Podemos dizer que um número binomial é o mesmo que uma combinação simples:

Binômio de Newton - 6

Ou seja:

Binômio de Newton - 6
Esses números binomiais obedecem a duas propriedades, que necessitamos saber:

1ª propriedade: Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo denominador e suas classes forem iguais.

Exemplo:

Binômio de Newton - 7

2ª propriedade: Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo denominador e a soma de suas classes for igual a seu numerador.

Exemplo:

Binômio de Newton - 8

A soma das classes é denominada de Binomiais Complementares ou Combinações Complementares.

Binômio de Newton - 9

Binômio de Newton:

Agora que já sabemos o que são números binomiais, iremos entender como eles nos ajudarão no cálculo de potências com bases binomiais e expoentes grandes.

Para isso, apresentaremos a você a lei de formação do Binômio de Newton:

Binômio de Newton - 10

Os números x e y são números Reais e o expoente n é um número natural.

Observe que os expoentes de:

x são decrescentes e decrescem de 1 em 1 unidade até chegar a zero.
y são crescentes e iniciam do zero e crescem de 1 em 1 unidade até chegar ao valor de n.

Agora que você já aprendeu a teoria, vamos ver alguns exemplos para aprender a aplicá-la:

1. Desenvolva a seguinte potência:

Solução:

Para resolvermos essa potência, colocaremos a fórmula geral acima. Assim, saberemos quem é o primeiro termo o segundo termo do binômio e que serão os numeradores e as classes dos números binomiais:

Binômio de Newton - 11

Precisamos agora calcular os valores de cada número binomial pela fórmula:

Binômio de Newton - 12

Para relembrar como calcular um fatorial, acesse a aula Contagem e Probabilidade. Binômio de Newton - 13

Calculamos cada um dos números binomiais e agora vamos substitui-los por seus valores:

Binômio de Newton - 14

Substituímos os números binomiais por seus valores na cor verde, resolvemos as potências e as escrevemos na cor vermelha para que fique melhor de acompanhar. Na terceira linha temos o resultado do binômio.

Termo Geral do Binômio de Newton

Agora que já exemplificamos como calcular um Binômio pela lei de formação do Binômio de Newton iremos apresentar o Termo Geral do Binômio de Newton.

O Termo Geral do Binômio de Newton foi retirado da própria lei de formação do Binômio de Newton:

Binômio de Newton - 15

O termo geral é o que está circulado em vermelho, ou seja:

Binômio de Newton - 16

Com essa pequena fórmula podemos calcular qualquer termo de um binômio elevado a uma potência n. Veja outro exemplo:

2. Complete a frase: _____________________é o 4º termo de Binômio de Newton - 17

A alternativa que contém o valor que completa a frase acima é:

Resolução:

Temos duas maneiras de resolver essa questão: a primeira é ir resolvendo por multiplicação de polinômio por polinômio. Uma solução bem extensa e bem trabalhosa. A segunda forma é usando a fórmula do termo geral do Binômio de Newton.

Veja que:

Binômio de Newton - 18

Agora vamos substituir os valores na fórmula e resolver:

Binômio de Newton - 19

A alternativa correta é a A.

( Fonte: Matsubara, Juliane B. et all. Conexão com a Matemática V2. São Paulo: Ed. Moderna, 2010)

E aí? Conseguiu revisar o conteúdo? Beleza! Agora, para fixar o conteúdo, veja a aula do nosso canal no youtube:

Exercícios:

1. (UNICAP PE) Considere o binômio 

01. O desenvolvimento do binômio é um polinômio composto por 6 monômios.
02. O monômio  pertence à expansão binomial.
04. A expansão binomial possui um monômio cujo coeficiente é maior que 200. 06. Na expansão binomial, todos os coeficientes são divisíveis por 2.
08. A soma dos coeficientes do primeiro e último termo é um número múltiplo de 5.

Somadas as opções, a corretas é:

A) 7
B) 3
C) 14
D) 8
E) 10

2. (CESGRANRIO RJ) O coeficiente de X4 no polinômio  é:

A) 64
B) 60
C) 12
D) 4
E) 24

3. (FGV) O termo independente de x do desenvolvimento de é:

A) 26.
B) 169.
C) 220.
D) 280.
E) 310.

Gabarito:

1 – C

2 – B

3 – C

Referências Bibliográficas:

DANTE, Luiz R. Matemática & Aplicações v.2. São Paulo: Ed. Ática, 2013.

BALESTRI, Rodrigo. Matemática: Interação e Tecnologia v2. São Paulo: Leya, 2016.

Matsubara, Juliane B. [et all.]. Conexões com a Matemática v2. São Paulo: Moderna, 2010.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.