Polígonos: definição, classificação e polígonos regulares

Os polígonos são figuras planas e fechadas formadas pela união de um número finito de retas.

Primeiramente, nessa aula você irá aprender sobre polígonos, incluindo: definição e elementos, classificação, nomenclatura, diagonais, ângulos e polígonos regulares.

Os polígonos são de extrema importância na geometria plana e na geometria espacial. Além disso, eles aparecem frequentemente em questões do Enem e dos vestibulares. Portanto, compreender esse assunto é essencial para mandar bem nessas provas.

Para começarmos a estudar os polígonos, vamos começar nosso estudo com a sua definição e seus elementos. Depois, veremos suas possíveis classificações, suas diagonais e seus ângulos internos. Finalizaremos o nosso estudo com os polígonos regulares.

Definição e elementos dos polígonos

Dados um conjunto de pontos {A1, A2, A3, …, An} consecutivos e não colineares no plano (ou seja, que não se encontram em uma mesma reta), tais que este conjunto possua pelo menos três elementos (n ≥ 3), dizemos que um polígono é a união dos segmentos de retasegmentos de reta.

A notação para polígonos é: A1A2A3 … An.

Por exemplo, temos os polígonos abaixo:

exemplos de polígonos
Figura 1: Exemplos de polígonos. Imagem mais à cima e mais à esquerda, polígono A_1 A_2 A_3. Já a imagem mais à cima e mais à direita, polígono ABCD. Imagem mais abaixo e mais à esquerda, polígono P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6. Por fim, imagem mais abaixo e mais à direita, polígono ABCDEFG formando o desenho de uma seta.

Na imagem acima, o polígono mais acima e mais à esquerda é denotado por A1A2A3, enquanto que o polígono cujo desenho é uma seta, é denotado por ABCDEFG.

Ou seja, a notação do polígono nada mais é do que a junção das letras que representam os pontos que o “formam”. Esses pontos são os chamados vértices do polígono. Além disso, perceba também na imagem acima que os vértices do polígono estão orientados.

Considere agora como exemplo o polígono que parece ser uma seta. Nesse sentido, perceba que ele é formado pelos seguintes segmentos de reta: segmentos de reta do polígono

Note agora que os vértices do polígono são os pontos extremos dos segmentos de retas. Esses segmentos de retas são os chamados lados do polígono.

Informações dos polígonos
  • Em cada vértice do polígono há também um ângulo interno e um ângulo externo, os quais são conhecidos como ângulo interno do polígono e ângulo externo do polígono;
  • Dois lados que possuem vértice em comum são chamados de lados consecutivos;
  • Além disso, dois ângulos que possuem lado em comum são chamados de ângulos consecutivos;
  • Em qualquer polígono, o número de vértices é igual ao número de ângulos e igual ao número de lados;
  • Todos os vértices do polígono são distintos.

Perceba que a definição impõe que os lados do polígono sejam segmentos de retas consecutivos e não colineares.

Observe, na imagem abaixo, alguns exemplos de figuras que não são polígonos.

figuras que não são polígonos
Exemplos de figuras planas que não são polígonos.

Classificação dos polígonos

Podemos classificar os polígonos em convexos e côncavos.

Os polígonos são ditos convexos se, ao traçarmos a reta suporte de qualquer um de seus lados, todos os demais lados do polígono estarão em um mesmo semiplano determinado por essa reta suporte. Caso contrário, o polígono é chamado de côncavo.

Por exemplo, veja a imagem abaixo:

polígonos convexos e côncavos
Figura 3: À esquerda, polígono convexo P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 com reta suporte sobre o lado (P_2 P_3 ) ̅. À direita, polígono côncavo ABCDEFH com reta suporte sobre o lado (GF) ̅.

Na imagem acima, o polígono da esquerda é considerado convexo pois qualquer reta suporte de algum de seus lados deixa os demais lados no mesmo semiplano gerado por ela (semiplano da esquerda).

Em contrapartida, o polígono da direita é côncavo, pois existem lados que estão em semiplanos distintos considerando a reta suporte do lado lado gf(lado lado ef e lado lado cbpor exemplo).

Essa definição pode ser um pouco complicada de lembrar na prática, então fique ligado/a em duas outras formas de saber se o polígono é convexo ou côncavo:

Convexo ou côncavo?
  • Se qualquer reta traçada cortar o polígono em no máximo dois de seus lados, o polígono é convexo. Caso contrário, se a reta traçada cortar o polígono em mais do que dois de seus lados o polígono é côncavo.
  • Se, qualquer segmento de reta traçado no polígono entre dois de seus lados permanecer em seu interior, o polígono é convexo. Caso contrário, se pelo menos um segmento de reta não fique completamente em seu interior, o polígono é côncavo.

Por exemplo, observe a imagem abaixo:

polígono convexo e côncavo
Figura 4: À esquerda, polígono convexo P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 com reta cortando no máximo dois de seus lados. À direita, polígono côncavo ABCDEFH com reta cortando mais do que dois lados.

Na imagem acima, o polígono da esquerda é convexo, já, o da direita é um polígono côncavo.

Nomenclatura

Nem todas as figuras planas são polígonos e existem alguns polígonos que possuem nomes diferenciados. Nesse sentido, isso ocorre porque dependendo do número de lados (ou vértices ou ângulos) que o polígono possui, tal polígono recebe um nome diferenciado.

Por exemplo, veja a tabela abaixo:

Lados Nome
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
12 Dodecágono
20 Icoságono
n Polígono de n lados

Perceba pela tabela acima que se não sabemos o número de lados do polígono, dizemos que ele possui n lados.

Diagonais

Dado um polígono, além da classificação e nomenclatura, também podemos falar das suas diagonais. Mas o que são as diagonais de um polígono?

Diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta com extremos em dois vértices não consecutivos do polígono. Por exemplo, veja a figura abaixo:

diagonais dos polígonos
Figura 5: À esquerda, hexágono P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 com 3 diagonais (P_1 P_3 ) ̅,(P_1 P_4 ) ̅ e (P_1 P_5 ) ̅ traçadas a partir do vértice P_1. À direita, o mesmo hexágono com todas as diagonais traçadas.

Na imagem acima, a partir do vértice P1 somos capazes de traçar três diagonais: diagonais do polígono

Perceba na imagem mais à esquerda que os segmentos segmentos diagonais são lados do polígono.

Além disso, perceba também na imagem mais à direita que algumas diagonais passam pelo centro do polígono, enquanto outras não.

Assim, conseguimos calcular o número total de diagonais de um polígono de n lados. Esse número de diagonais é denotada por d e é calculado da seguinte forma:

fórmula diagonais dos polígonos

Atenção: o número de diagonais que parte de cada vértice de um polígono é dado por (n – 3). A expressão acima nos informa o número total de diagonais.

Vamos usar como exemplo o hexágono (6 lados) da figura acima. A quantidade de diagonais dele é:

número diagonais hexágono

Volte na figura acima e conte o número de diagonais da imagem, lembrando que, por exemplo, as diagonaisdiagonais p1- p5 e p5-p1são as mesmas, portanto, são contadas uma única vez.

Ângulos de um Polígono Convexo

Falamos anteriormente que em cada vértice do polígono há um ângulo interno e um ângulo externo. Mas qual a definição desses ângulos?

Dizemos que os ângulos compreendidos entre dois lados do polígono convexo são os ângulos internos do polígono. Bem como dizemos também que o suplemento dos ângulos internos do polígono convexo são os ângulos externos do polígono.

O ângulo interno é denotado por αi e o ângulo externo é denotado por αe. Assim, segue diretamente da definição de ângulo interno e externo do polígono que αi + αe = 180°.

Além disso, olhe que interessante:

  • Em um polígono convexo todos os seus vértices apontam para fora do polígono, pois, todos os seus ângulos internos são convexos;
  • Já, no caso de um polígono côncavo, pelo menos um vértice aponta para dentro do polígono, pois pelo menos um de seus ângulos internos é um ângulo côncavo.
Soma dos ângulos internos do polígono

É possível calcular a soma dos ângulos internos do polígono. Essa soma é denotada por Si e é calculada da seguinte forma:

Si = 180° . (n – 2)

Com n sendo o número de lados do polígono.

Como por exemplo, pense no caso do triângulo, no qual n = 3. Neste caso temos:

Si = 180° . (3 – 2)

E quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? 180°. Não poderia ser coincidência, concordam?

Soma dos ângulos externos do polígono

Além disso, também conseguimos calcular a soma dos ângulos externos do polígono. Nesse sentido, essa soma é denotada por e é calculada da seguinte forma:

Se = 360°.

Ué, mas não tem fórmula? Não! A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é fixa e vale sempre 360°! Nesse sentido, perceba que falamos de polígonos convexos neste pedaço do post.

Até aqui estudamos os polígonos em geral, mas dentro dos polígonos convexos, estão os chamados polígonos regulares, que são extremamente importantes.

Polígonos Regulares

Quando todos os lados do polígono possuírem a mesma medida e todos os seus ângulos (internos e externos) possuírem também a mesma medida, dizemos que o polígono é regular.

Exemplos de polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular, hexágono regular e por aí vai.

Tanto a fórmula da soma Si quanto a da soma Se são válidas para os polígonos regulares também.  Assim como αi + αe = 180° também é válida para polígonos regulares.

O que torna os polígonos regulares mais interessantes é o fato de que conseguimos descobrir exatamente quanto vale seu ângulo interno e seu ângulo externo.

Nesse sentido, pense comigo: em um polígono qualquer, sempre é possível calcular a soma dos seus ângulos, mas como os ângulos podem ser diferentes, não tem como saber exatamente o valor de cada um.

Como nos polígonos regulares todos os ângulos possuem o mesmo valor, fica mais fácil descobrir.

Cálculos no polígono regular

O valor do ângulo interno de um polígono regular de lados é calculado da seguinte forma:

fórmula do ângulo interno de um polígono

E o valor do ângulo externo de um polígono regular de lados é calculado da seguinte forma:

ângulo externo de um polígono

Tente você mesmo em casa usar essas relações de αi e αe para comprovar que αi + αe = 180°.

Por fim, veja nossa videoaula sobre os polígonos:

Lembre-se: as fórmulas de d, Si e Se são válidas para qualquer polígono, mas as fórmulas de αi e αe são válidas apenas para os polígonos regulares.

Por fim, resolva os exercícios abaixo:

Exercícios

Questão 01 – (UECE – 2016)

Se a partir de cada um dos vértices de um polígono convexo com n lados podemos traçar tantas diagonais quantas são a totalidade das diagonais de um hexágono convexo, então, o valor de n é

a) 9.

b) 10.

c) 11.

d) 12.

Gab: D

Questão 02 – (IFMA – 2016)

Leia as afirmativas.

I. O polígono que possui 9 lados é denominado decágono.

II. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360°.

III. Um polígono convexo regular tem todos os ângulos internos com a mesma medida.

IV. Se dois polígonos têm quantidades diferentes de lados, necessariamente eles têm a soma dos ângulos internos também diferentes.

Portanto, a(s) afirmação(ões) correta(s) são:

a) IV

b) I

c) I, II, III e IV

d) II, III e IV

e) II e IV

Gab: D

Questão 03 – (IFSP – 2016)

Ana estava participando de uma gincana na escola em que estuda e uma das questões que ela tinha de responder era “quanto vale a soma das medidas dos ângulos internos do polígono regular da figura?”

polígono regular

Para responder a essa pergunta, ela lembrou que seu professor ensinou que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, e que todo polígono pode ser decomposto em um número mínimo de triângulos. Sendo assim, Ana respondeu corretamente à pergunta dizendo:

a) 720°.

b) 900°.

c) 540°.

d) 080°.

e) 630°.

Gab: B

Questão 04 – (UNITAU SP – 2017)

A medida de cada ângulo externo de um polígono regular convexo que apresenta 54 diagonais é

a) 12°

b) 18°

c) 20°

d) 24°

e) 30°

Gab: E

Questão 05 – (UESB BA/2017)

Seja n o número de lados de um polígono convexo P.

Sabendo-se que a soma de n – 1 ângulos internos de P, é 2004°, é correto afirmar que o número n de lados de P é

01. 10

02. 12

03. 13

04. 14

05. 16

Gab: 04

Questão 06 – (ENEM – 2018)

As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed martial arts, são realizadas num octógono regular. De acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição I.

O triângulo IGH é equilátero e GÎF é o triângulo formado pelas semirretas com origem na posição do juiz, respectivamente passando pelas posições de cada um dos lutadores.

polígono exercício enem

Portanto, a medida do ângulo GÎF é

a) 120°

b) 75°

c) 67,5°

d) 60°

e) 52,5°

Gab: E

Questão 07 – (UPE – 2018)

Algumas diagonais do decágono regular passam pelo seu centro e outras não. Sendo assim, escolhendo-se ao acaso uma diagonal desse polígono, qual é a probabilidade de ela não passar pelo centro do decágono?

a) 6/7

b) 1/2

c) 3/4

d) 3/5

e) 1/7

Gab: A

Questão 08 – (FGV – 2018)

Ao somar as medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, Arquimedes encontrou 2018°. Fazendo uma conferência dos seus cálculos, Arquimedes descobriu que havia esquecido de somar a medida de um dos ângulos.

a) Dessa maneira, qual a medida, em graus, do ângulo que Arquimedes havia esquecido?

b) Além disso, quantos lados tinha o tal polígono?

Gab:

a) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 180° (n – 2) e, portanto, sempre um múltiplo de 180º.

Assim, como 2018 = 18011 + 38, Arquimedes esqueceu de somar um ângulo cuja medida é 180° – 38° = 142°.

b) A soma correta é, portanto, 2018° + 142° = 2160° = 180°

Logo, n – 2 = 12  n = 14, isto é, o polígono tinha 14 lados.

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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