Determinante de uma matriz: o que é e como calcular

Determinante é a transformação de todos os termos de uma matriz em um único número escalar. Entenda o que é o determinante de uma matriz e como calcular neste resumo de Matemática!

O estudo de matrizes e determinante é imprescindível, não somente para ir bem na prova do Enem e vestibulares, mas também estar preparado para os estudos posteriores.

Determinante de uma matriz

Ao calcular o determinante de uma matriz qualquer, estamos “transformando” todos os termos de uma matriz em um único número escalar. Essa ferramenta matemática é muito utilizada no estudo e compreensão de dados de diversas áreas. Sendo assim, é importante compreender os conceitos primeiros, independentemente de qual caminho você vai tomar depois do vestibular.

Como calcular o determinante de uma matriz

Vamos começar pelo básico: aprender a calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2 e 3.

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Matrizes de ordem 1

Uma matriz é considerada de ordem 1 quando possui um único elemento a11. Pode ser escrita como.

Exemplos:

determinante

Para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 1 não é preciso nenhum esforço, o determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento que a compõe. Nos exemplos acima:

determinante

Matrizes de ordem 2

Para calcular o valor do determinante de uma matriz quadrada de ordem dois, basta considerar a diagonal principal e a diagonal secundária. Para facilitar a compreensão, substituiremos os índices em sua forma convencional:

determinante

Para as letras a, b, c e d:

Agora, basta calcular o produto entre os elementos a e d da diagonal principal e subtrair pelo produto entre os elementos c e b da diagonal secundária. Assim, o determinante de P é dado por:

Exemplo: calcular o determinante da matriz quadrada B:

Antes de tudo, é preciso verificar qual a diagonal principal e qual a diagonal secundária. Assim,

Multiplicando os elementos da diagonal principal entre si temos 4 x 8 = 32.

Multiplicando os elementos da diagonal secundária, temos 1 x 7 = 7.

Subtraindo os dois resultados: 32 – 7 = 25.

Logo, det(B) = 25.

Bem simples, né? Mas e quando se trata de matrizes com ordem superior a 2? Bem, vejamos no tópico a seguir que o raciocínio é o mesmo.

Matrizes de ordem 3 ou superior

Para calcular o valor do determinante de matrizes de ordem 3 ou superior a 3, utilizamos um método bastante conhecido, a Regra de Sarrus, que leva o nome de seu desenvolvedor Pierre Frédéric Sarrus.

O método consiste em duplicar a primeira e a segunda coluna da matriz da qual se quer calcular o determinante. Assim:

determinante

Disso resultam 3 diagonais principais, e 3 diagonais secundárias, veja:

determinante

Agora, para calcular o determinante, basta multiplicar cada um dos termos de cada diagonal entre si, somando seus resultados, por exemplo, nas diagonais principais temos:

determinante

Ao somá-los, ficamos com:

determinante

O mesmo é feito com os termos das diagonais secundárias, assim, temos

Somando os resultados, temos:

Por fim, basta realizar a diferença entre os resultados obtidos na soma das diagonais principais, e na soma das diagonais secundárias, o cálculo fica assim:

O resultado obtido nesse cálculo é o número escalar correspondente ao determinante da matriz.

Para fixar bem essas informações, vamos resolver um exemplo numérico.

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz

determinante

Primeiro passo, duplicar a primeira e a segunda coluna:

determinante

Agora, determine as diagonais principais e as secundárias:

determinante

Já efetuando os cálculos de multiplicação e soma, temos:

determinante

Fazendo a subtração, temos:

determinante

Então, o valor do determinante associado à matriz A é igual a -59.

Propriedades dos determinantes

As propriedades dos determinantes estão diretamente relacionadas com os termos e sua disposição na matriz. Sendo assim, preste bastante atenção em algumas das propriedades dos determinantes e nos exemplos a seguir.

1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna forem iguais a zero (nulos), então o determinante da matriz também é nulo.

Exemplo:

2. Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem iguais, então seu determinante também será nulo.

Exemplo:

3. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta

.

4. Se uma matriz quadrada é invertível (possui inversa), o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante:

5. Se todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal de uma matriz quadrada forem iguais a zero (matriz triangular), o valor do determinante da matriz será somente o produto dos elementos da diagonal principal.

6. Analogamente à propriedade 5, o determinante de uma matriz identidade de qualquer ordem, será igual a 1.

Viu como é importante levar em consideração essas propriedades facilitadoras dos cálculos? Não se preocupe, você não precisa decorar todas elas, apenas entender o porquê delas. Para isso, sugiro que pesquise sobre as demonstrações das propriedades acima. E por falar em exercícios, tá na hora de praticar!

Exercícios sobre determinantes

Para terminar seus estudos sobre esse tema, resolva os exercícios abaixo, selecionados pela nossa professora! Resolver exercícios é a melhor forma de fixar o conhecimento e, além disso, você já se acostuma com como o conteúdo é cobrado nas provas.

Questão 01)    

O polinômio P(x) é definido através do determinante de uma matriz pela expressão:

O mesmo polinômio pode ser também representado por

a) P(x) = (x + 2)(x – 2)(1 – x)

b) P(x) = –(x + 3)(x – 2)2

c) P(x) = –(x – 2)(x – 1)2

d) P(x) = (1 – x)(x – 2)2

 

Questão 02)    

Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3,

Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a

a) 0.

b) 2.

c) 5.

d) 10.

Questão 03)    

Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, tal que cada elemento aij seja igual ao número binomial . O valor do determinante dessa matriz é:

a) 0

b) 6

c) 5

d) 4

e) 10

01) Gab: D

02) Gab: D

03) Gab: D

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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