Matriz: conceitos iniciais

O estudo da matriz, apesar de estar relacionado à grande quantidade de informações dispostas em tabelas, também é parte determinante na construção da imagem digital. O que isso significa? Que tudo isso que você está lendo, seja no computador ou na tela de um celular, possui uma matriz por trás.

Ora, as cores e imagem que aparecem em uma tela são formadas por pixels, que são pequenos quadradinhos que possuem diferentes cores e tonalidades. Essas cores são determinadas por números em um sistema RGB (Red, Green, Blue). Os códigos que definem qual a tonalidade de cada cor estão organizados em forma de matriz.

Imaginemos, por exemplo, uma matriz em que 0 representa a cor preta, 200 representa a cor roxo, e 92 representa a cor verde. A ordem das cores na imagem ficaria desta maneira:

Viu como as matrizes têm uma aplicação bem bacana no seu dia a dia? Agora vamos entender melhor como se comporta cada uma delas na matemática.

Conceito e representação

As matrizes são bastante utilizadas quando é necessário fazer estudos sobre grandes quantidades de dados dispostos em uma tabela. Com essa organização em linhas e colunas é possível fazer cálculos simultâneos com os dados. Por se falar em linhas e colunas, é importante levar em consideração a ordem em que estão dispostas. A ordem das linhas se dá de cima para baixo e a ordem das colunas, da esquerda para a direita.

Ex:

Na imagem vemos um exemplo onde os elementos da primeira linha são, 0, 1 e 1, da primeira coluna são 0, 2 e 8 e assim por diante. Mas, quando quisermos representar uma matriz de maneira genérica, é preciso levar em consideração o que representa cada índice.

Os termos das matrizes são representados por ou ainda , onde a letra i representa a localização do termo na linha e a letra j representa a localização do termo na coluna. É a mesma lógica utilizada quando você vai jogar batalha naval. Ao escolher uma linha e uma coluna, você está escolhendo nada mais do que um termo de uma matriz.

Sendo assim, tomemos por exemplo o termo , ele está localizado na primeira linha e primeira coluna e o termo está localizado na terceira linha e segunda coluna. Veja:

A representação genérica é um facilitador na hora da interpretação. Ao nos referirmos a um termo, podemos utilizar “o termo ” em vez de “o termo que se encontra na linha 8 e coluna 3”.

Além disso, para representar genericamente uma matriz, sem saber quantas linhas e quantas colunas a compõe, dizemos que é uma matriz . Veja abaixo:

Diagonais de uma Matriz

Os termos que se encontram nas diagonais das matrizes possuem características relacionadas aos índices. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j.

A diagonal secundária é formada por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução.

Veja como:

Além disso, a maneira como estão dispostos estes termos nos diz muito sobre as características de cada matriz e nos permite classificá-las em tipos especiais.

Tipos de matrizes

Quadrada

Uma matriz é dita quadrada quando o número de linhas que a compõe é igual ao número de colunas. Por definição, dizemos que uma matriz   é quadrada quando m = n, representada também por .

Ex:

Importante: quando a matriz não é quadrada, é chamada de retangular.

Triangular

As matrizes quadradas são triangulares quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, iguais a zero.

Ex:

Importante: a matriz é caracterizada como triangular somente se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero.

Diagonal

Quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal forem iguais a zero é caracterizada como matriz diagonal.

Ex:

Identidade

Outro caso específico que tem característica relacionada à sua diagonal é a matriz identidade. Ela possui um caso específico diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais a 1. Também podemos representá-la por I_n.

Ex:

Nula 

Como o próprio nome já diz, na matriz nula, todos os termos são nulos, ou seja, iguais a zero. Pode ser representada por ou, se for quadrada, indica-se por .

Ex:

Matrizes Linha e Coluna

Se uma matriz possuir somente uma linha é considerada uma matriz linha, nesse caso, considerando , m sempre será igual a 1. Caso possua somente uma coluna, é considerada uma matriz coluna, assim, em , n sempre será igual a 1.

Ex:

Assista ao professor Daniel explicando estes e outros conceitos nesta aula bem bacana:

Exercícios:

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Sumário do Quiz

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Perguntas:

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8. 8
9. 9
10. 10

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1. Respondido
2. Revisão

1. Pergunta 1 de 10

   1. Pergunta

   (UNICAMP SP / 2019)

   Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3,

   

   Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a

   • 0.
   • 2.
   • 5.
   • 10.
   Correto
   

   Parabéns! Siga para a próxima questão.

   Incorreto
   

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2. Pergunta 2 de 10

   2. Pergunta

   (ESPM SP/2013)    

   A distribuição dos n moradores de um pe­queno prédio de apartamentos é dada pela matriz , onde cada elemento a_ij representa a quantidade de moradores do apartamento j do andar i.

   Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:

   • 30
   • 31
   • 32
   • 33
   • 34
   Correto
   

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   Incorreto
   

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3. Pergunta 3 de 10

   3. Pergunta

   (UDESC SC / 2018)

   Os elementos da matriz respeitam a seguinte lei de formação para os seus elementos:

   Com base nas informações, o valor de m + n, com m e n naturais, é igual a:

   • 95
   • 177
   • 272
   • 112
   • 86
   Correto
   

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4. Pergunta 4 de 10

   4. Pergunta

   (ENEM / 2018)

   A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [a_ij], em que 1  i  5 e 1  j  5, e o elemento a_ij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos a_ii = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise:

   

   Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco

   • 1.
   • 2.
   • 3.
   • 4.
   • 5.
   Correto
   

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5. Pergunta 5 de 10

   5. Pergunta

   (Fac. Israelita de C. da Saúde Albert Einstein SP / 2017)

   Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus elementos são obtidos a partir da expressão b_ij = i – 2j. Seja uma matriz A = (a_ij)_2×3 cujos elementos da primeira coluna são nulos e I₂ a matriz identidade de ordem 2, tal que AB = I₂. O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a

   • 0
   • 1
   • 2
   • 3
   Correto
   

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6. Pergunta 6 de 10

   6. Pergunta

   (FATEC SP / 2017)

   Uma tela de computador pode ser representada por uma matriz de cores, de forma que cada elemento da matriz corresponda a um pixel* na tela.

   Numa tela em escala de cinza, por exemplo, podemos atribuir 256 cores diferentes para cada pixel, do preto absoluto (código da cor: 0) passando pelo cinza intermediário (código da cor: 127) ao branco absoluto (código da cor: 255).

   *Menor elemento em uma tela ao qual é possível atribuir-se uma cor.

   Suponha que na figura estejam representados 25 pixels de uma tela.

   

   A matriz numérica correspondente às cores da figura apresentada é dada por

   

   Uma matriz M = (a_ij), quadrada de ordem 5, em que i representa o número da linha e j representa o número da coluna, é definida da seguinte forma:

   

   A matriz M corresponde a uma matriz de cores em escala de cinza, descrita pelo texto, em uma tela.

   Sobre essa matriz de cores, pode-se afirmar que ela

   • terá o mesmo número de pixels brancos e cinzas.
   • terá o mesmo número de pixels brancos e pretos.
   • terá o mesmo número de pixels pretos e cinzas.
   • terá uma diagonal com cinco pixels brancos.
   • terá uma diagonal com cinco pixels cinzas.
   Correto
   

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7. Pergunta 7 de 10

   7. Pergunta

   (UNICAMP SP / 2016)

   Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a

   • 12.
   • 15.
   • 16.
   • 20.
   Correto
   

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   Incorreto
   

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8. Pergunta 8 de 10

   8. Pergunta

   (IBMEC SP / 2016)

   O quadriculado representa uma região de edifícios, sendo que, em cada um dos 16 quadrados, está localizado um único edifício. Em cada linha ou coluna, dois edifícios quaisquer têm números diferentes de pisos, tendo de 1 a 4 andares. Os números que estão na borda externa do quadriculado indicam a quantidade de edifícios que podem ser vistos por alguém que olha frontalmente para o quadriculado, na direção e sentido indicados pela seta. O número 2 circulado indica que o edifício nesse quadrado tem 2 andares. As letras A, B e C, também circuladas, indicam os números de andares dos edifícios nos respectivos quadrados em que estão.

   

   Nas condições descritas, 3A + 4B + 2C é igual a

   • 15.
   • 17.
   • 18.
   • 19.
   • 24.
   Correto
   

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9. Pergunta 9 de 10

   9. Pergunta

   (UEG GO / 2016)

   As notas de três alunos A₁, A₂ e A₃ em relação às disciplinas de matemática (M), português (P) e ciências (C) estão na matriz a seguir.

   

   Analisando-se essa matriz, verifica-se que a nota do aluno

   • A₁ em ciências é 7
   • A₂ em português é 6
   • A₂ em matemática é 7
   • A₃ em matemática é 6
   • A₁ em matemática é 7
   Correto
   

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10. Pergunta 10 de 10

    10. Pergunta

    (UERJ / 2015)

    Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.

    

    Considere que cada elemento a_ij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j).

    O valor de x é igual a:

    • 0,50
    • 0,70
    • 0,77
    • 0,87
    Correto
    

    Parabéns! Siga para a próxima questão.

    Incorreto
    

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.