Matriz: conceitos iniciais

O estudo de matrizes, apesar de estar relacionado à grande quantidade de informações dispostas em tabelas, também é parte determinante na construção da imagem digital. O que isso significa? Que tudo isso que você está lendo, seja no computador ou na tela de um celular, possui uma matriz por trás. Ora, as cores e imagem que aparecem em uma tela são formadas por pixels, que são pequenos quadradinhos que possuem diferentes cores e tonalidades. Essas cores são determinadas por números em um sistema RGB (Red, Green, Blue). Os códigos que definem qual a tonalidade de cada cor estão organizados em forma de matriz.

Imaginemos, por exemplo, uma matriz em que 0 representa a cor preta, 200 representa a cor roxo, e 92 representa a cor verde. A ordem das cores na imagem ficaria desta maneira:

Viu como as matrizes têm uma aplicação bem bacana no seu dia a dia? Agora vamos entender melhor como se comporta cada uma delas na matemática.

Conceito e representação

As matrizes são bastante utilizadas quando é necessário fazer estudos sobre grandes quantidades de dados dispostos em uma tabela. Com essa organização em linhas e colunas é possível fazer cálculos simultâneos com os dados. Por se falar em linhas e colunas, é importante levar em consideração a ordem em que estão dispostas. A ordem das linhas se dá de cima para baixo e a ordem das colunas, da esquerda para a direita.

Ex:

Na imagem vemos um exemplo onde os elementos da primeira linha são, 0, 1 e 1, da primeira coluna são 0, 2 e 8 e assim por diante. Mas, quando quisermos representar uma matriz de maneira genérica, é preciso levar em consideração o que representa cada índice.

Os termos das matrizes são representados por ou ainda , onde a letra i representa a localização do termo na linha e a letra j representa a localização do termo na coluna. É a mesma lógica utilizada quando você vai jogar batalha naval. Ao escolher uma linha e uma coluna, você está escolhendo nada mais do que um termo de uma matriz.

Sendo assim, tomemos por exemplo o termo , ele está localizado na primeira linha e primeira coluna e o termo está localizado na terceira linha e segunda coluna. Veja:

A representação genérica é um facilitador na hora da interpretação. Ao nos referirmos a um termo, podemos utilizar “o termo ” em vez de “o termo que se encontra na linha 8 e coluna 3”.

Além disso, para representar genericamente uma matriz, sem saber quantas linhas e quantas colunas a compõe, dizemos que é uma matriz . Veja abaixo:

Diagonais de uma Matriz

Os termos que se encontram nas diagonais das matrizes possuem características relacionadas aos índices. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j.

A diagonal secundária é formada por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução.

Veja como:

Além disso, a maneira como estão dispostos estes termos nos diz muito sobre as características de cada matriz e nos permite classificá-las em tipos especiais.

Tipos de matrizes

Quadrada

Uma matriz é dita quadrada quando o número de linhas que a compõe é igual ao número de colunas. Por definição, dizemos que uma matriz   é quadrada quando m = n, representada também por .

Ex:

Importante: quando a matriz não é quadrada, é chamada de retangular.

Triangular

As matrizes quadradas são triangulares quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, iguais a zero.

Ex:

Importante: a matriz é caracterizada como triangular somente se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero.

Diagonal

Quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal forem iguais a zero é caracterizada como matriz diagonal.

Ex:

Identidade

Outro caso específico que tem característica relacionada à sua diagonal é a matriz identidade. Ela possui um caso específico diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais a 1. Também podemos representá-la por I_n.

Ex:

Nula 

Como o próprio nome já diz, na matriz nula, todos os termos são nulos, ou seja, iguais a zero. Pode ser representada por ou, se for quadrada, indica-se por .

Ex:

Matrizes Linha e Coluna

Se uma matriz possuir somente uma linha é considerada uma matriz linha, nesse caso, considerando , m sempre será igual a 1. Caso possua somente uma coluna, é considerada uma matriz coluna, assim, em , n sempre será igual a 1.

Ex:

Assista ao professor Daniel explicando estes e outros conceitos nesta aula bem bacana:

 

Exercícios:

Questão 01)    

Os elementos a,b, c, d da matriz  são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no conjunto {1, 3, 5, 7}.

Considerando-se, para cada escolha destes elementos, d o determinante de M, o número de valores distintos que d pode assumir é

a) 6.

b) 8.

c) 16.

d) 24.

 

Questão 02)    

Considere o seguinte sistema para criptografar mensagens. Associe a cada uma das 26 letras do alfabeto a sua posição usual, ou seja, A = 1, B = 2 e assim sucessivamente até Z = 26. Considere também que o símbolo * represente um espaço, que será associado ao número 27. A mensagem a ser criptografada é convertida em uma matriz M de 2 linhas, onde as entradas de cada coluna correspondem a duas letras da mensagem. Por exemplo seja a mensagem “DIA*CALMO”.

A matriz que conterá essa mensagem é

Observe que um espaço (*) deve ser inserido no fim da mensagem, se essa tiver um número ímpar de caracteres.

O último passo da criptografia é multiplicar uma matriz de codificação K de ordem 2 pela mensagem M, obtendo, dessa maneira, a matriz com a mensagem codificada C = KM. Para decodificar a mensagem, seguimos os passos na ordem inversa.

Seja  a matriz de codificação e seja  a matriz com a mensagem codificada.

Decodificando a matriz C, obtemos a palavra:

a) MELHOR.

b) POLAR

c) TEORIA.

d) VAPOR.
Questão 03)    

A matriz triangular de ordem 3, na qual a_ij = 0 para i > j e a_ij = 4i – 5j + 2 para i ≤ j é representada por

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01) Gab: A

02) Gab: D

03) Gab: A