Equações e sistemas lineares

Estude as equações, os sistemas lineares e suas soluções. Ao final, resolva a lista de exercícios para testar seus conhecimentos! São 10 questões e o gabarito sai na hora!

Para tudo se tem uma solução nesse mundo, não é verdade? Para responder essa pergunta, confira esse post. Aqui estudaremos as equações lineares, os sistemas lineares e suas soluções.

Qual será o valor de x e y sabendo que a soma de ambos é igual a 10 e que a diferença é entre eles é 4? Essa situação e muitas outras do nosso cotidiano são modeladas por equações matemáticas, algumas chamadas de equações lineares. Você sabia que um conjunto de equações lineares forma um sistema linear? Estudaremos o conceito de equações e sistemas lineares, suas aplicações, suas classificações e seus métodos de resolução. Bora revisar esse conteúdo?

Equações lineares – o termo independente e a variável

As equações lineares são as da seguinte forma:Equações e sistemas lineares - fórmulas

Os coeficientes são: 2, -9 e 5.

As variáveis são: x, y e z.

O número 1 é o termo independente.

Classificação das equações lineares

Você sabia que podemos classificar uma equação linear? É o que veremos a seguir.

Quando temos uma equação linear cujo termo independente é igual à zero, dizemos que essa equação é homogênea, ou seja,

Equações e sistemas lineares - equação homogênea

Não se esqueça, para dizer se uma equação é ou não homogênea basta analisar o coeficiente . Vamos treinar um pouquinho?

Exemplo 01: Classifique se as equações são homogêneas.

a) x + y + 9z = 3

R: Como , o que é diferente de zero, temos que a equação não é homogênea.

b) -8x + y -6 = 0

Sabe o que é interessante também estudar sobre as equações? A solução delas. O conjunto de pontos que é solução de uma equação linear é chamado de conjunto solução.

Conjunto solução – determinando a solução de uma equação linear

Um conjunto de pontos é solução de uma equação linear se ao substituirmos os pontos na equação à igualdade se torna verdadeira.

Exemplo 02: Veja se o conjunto (0, 1, 2) é solução da equação x-2y+z=0.

Solução: Vamos substituir os pontos na equação, sempre lembrando que o primeiro valor corresponde a variável x, o segundo a variável y e o terceiro a variável z, assim temos:

(0)-2(1)+(2)=0
0-2+2=0
0=0

Observe que valor encontrado na 1º membro da equação é igual ao valor do 2º membro da equação, ou seja, é válida a igualdade. Quando ocorre isso, dizemos que o conjunto (0, 1, 2) é o conjunto solução da equação. Veja uma situação em que os pontos dados não é o conjunto solução.

Exemplo 03: Verifique se (-2, 6, 0) é solução da equação anterior.

Solução: Substituindo os pontos dados na equação obtemos:

(-2)-2(6)+0=0
-2-12+0=0
-14 ≠0

Como o valor encontrado do lado esquerdo é diferente do encontrado no lado direito, temos que (-2, 6, 0) não é conjunto solução da equação.  Agora você sabia que quando temos mais que uma equação linear, chamamos esse conjunto de equações lineares de sistemas lineares?

Equações e sistemas lineares - exemplo

Publicado em 02 de junho de 2014, retirado em: https://www.stoodi.com.br/blog/2014/06/02/sistemas-lineares-o-que-sao-e-como-resolve-los/

Sistemas lineares – o conjunto de equações lineares

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Podemos ter sistemas com 2 equações e 2 variáveis ou com 2 equações e 3 variáveis, ou ainda, com 3 equações e 3 variáveis. Na verdade, devemos ficar atentos à quantidade de equações e a quantidade de variáveis, pois esses números determinaram vários aspectos sobre um sistema. Mas isso veremos brevemente. Então dizemos que um sistema linear é um conjunto de equações lineares de m equações e n variáveis. São exemplos:

Equações e sistemas lineares - variáveis

Sistema linear de 2 equações e 3 variáveis.

Um sistema linear pode ser representado em forma de uma matriz. Veja como fazer.

Utilizando o sistema do exemplo 06, podemos escrever o sistema na forma a seguir.

Equações e sistemas lineares - matriz

A forma apresentada chama-se de forma matricial. Note que a 1º coluna são todos os valores acompanhados de x em todas as equações, a 2º coluna são todos os valores que acompanham y em todas as equações e a 3º coluna são todos os valores que acompanham z em todas as equações.

Podemos classificar os sistemas lineares de acordo com o número de soluções encontradas, e é o que abordaremos a seguir.

Classificando os sistemas lineares de acordo com a quantidade de soluções

Os sistemas lineares são classificados de acordo com a quantidade de soluções encontradas do mesmo. São as classificações:

Sistema possível e determinado (SPD): é quando o sistema possui uma única solução.  O sistema abaixo possui uma única solução, que é dada pelo par (2, 3).

Equações e sistemas lineares - solução

Logo, esse sistema é possível e determinado.

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): é quando o sistema possui infinitas soluções, ou seja, x e y podem assumir vários valores. Veja um exemplo abaixo.

Equações e sistemas lineares - sistema

Note que o par ordenado (0,1) é solução do sistema. Assim como (4, 0) também é solução. Portanto, esse sistema é possível e indeterminado.

Sistema Impossível (SI): é um sistema que não possui solução, ou seja, não conseguimos encontrar valores as incógnitas.

O sistema acima não possui solução, por isso o chamamos de sistema impossível. Também há outra forma de classificarmos um sistema, mas para isso deve coloca-lo na forma matricial.

Classificando os sistemas lineares de acordo com o determinante

Como já mostramos anteriormente, um sistema linear pode ser apresentado na forma matricial. Feito isso, basta calcularmos o determinante da matriz. De acordo com o determinando, classificamos o sistema em:

Sistema possível e determinado: é quando o determinante da matriz é diferente de zero.

Sistema possível e indeterminado e sistema impossível: é quando o determinante da matriz é igual à zero. Quando acontecer esse caso, devemos classificar em SPI ou SI verificando se o sistema tem solução ou não.

Vamos resolver o próximo exercício juntos? Se liga nesse exercício, pois ele caiu no Enem!

Exemplo 07: (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é:

a) impossível, para todo k real diferente de -21;
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63;
c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21;
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3;
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63.

Solução: Devemos determinar a solução do sistema inicialmente. Para isso, vamos multiplicar a equação 02 por -3, ou seja,

-3( 2x-7y=1)

-6x+21y=3

Somaremos a equação obtida com a equação 01.

6x+ky=9
+ -6x+21y=3

Logo, temos como resultado a equação ky+21y=12. Isolando y temos:

Equações e sistemas lineares - resultado

Já a segunda afirmação também é falsa, pois se k = -21 o sistema não possui solução. Logo, não será para todo k ≠ -63 que o sistema será possível e indeterminado. O mesmo argumento podemos utilizar para justificar que as afirmações das letras (d) e (e) são falsas. Portanto, a afirmação  ( c ) está correta, pois para todo k ≠ -21 o sistema será possível e determinado. Resposta: letra (c).

Para fixar seus estudos sobre equações lineares, confira a aula abaixo, disponível no nosso canal:

Exercícios:

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