Equações de 1º grau e de 2º grau

Você sabia que sem o conhecimento do uso de equações não teríamos os sistemas operacionais em nossos computadores, tablets, smartphones e outros gadgets? Não? Então, vem aprender com a gente! Revise Matemática para o Enem!

Neste post vamos revisar os tipos mais utilizados de equações que são de 1º e 2º graus e entender como resolvê-las. Aprender o que são coeficientes, raízes de uma equação e conjunto solução. E, aprender a resolver uma equação de 2º grau utilizando a Fórmula de Bhaskara.

Boa parte do nosso mundo atual é digital e a matemática está inserida em todas as etapas para que nossas máquinas “queridinhas” funcionem corretamente. Para isso, os programadores têm que ter um grande conhecimento sobre variáveis, equações e suas raízes.

Sem a aplicação das equações não teríamos acesso às redes sociais e nem navegaríamos na internet. Entre estas equações, estão as mais “famosas” no ensino médio são as de primeiro e segundo grau, que você já resolveu inúmeras vezes ao longo da sua vida escolar.

Estas equações são também as que mais aparecem no Enem e nos vestibulares. Por isso, preparei este post cheio de dicas para te ajudar a gabaritar o Enem! Vamos lá?

Equações de 1º grau

Uma equação de 1º grau é uma expressão algébrica de grau 1 igualada a zero. Tem a seguinte forma: ax+b = 0

Onde  a e b são chamados de coeficientes da equação e são números reais e x é uma variável.

Vamos mostrar como se resolve uma equação de primeiro grau simples através de um exemplo:

       x – 7 = 10

O que fazemos aqui? O objetivo é achar o valor da incógnita x.

1º Passo: Isolamos a variável x, isto é, passamos o “– 7”  para o outro lado da igualdade com sua operação inversa. Dizemos que se o um número é negativo de um lado da expressão, passará para o outro lado da igualdade positivo.

2º Passo: Resolvemos as operações:

x = 10 +7

x = 17

Então o valor da raiz da equação x é 17 e seu conjunto solução é S = {17}.

Mais um exemplo para ficar bem claro! Agora nossa equação será esta:

– 3x + 24 = – 12

Nesse caso, para isolar a variável teremos que fazer mais um passo, observe:

1º Passo: Isolamos a variável x, isto é, passamos o “+24”  para o outro lado da igualdade com sua operação inversa. Como te ensinei ali em cima, dizemos que se o número é positivo, passará para o outro lado da igualdade negativo.

– 3x  = – 12 – 24

2º Passo: Resolvemos as operações. Números com o mesmo sinal a gente soma e mantém o sinal.

– 3x  = – 36

3ª Passo: O número – 3 está multiplicando a variável x e para, isolá-la, passamos este número para o outro lado da igualdade dividindo.

x  = –  36/ – 3

x = +12

Na divisão aplicamos a regra de sinais: Na divisão e multiplicação, números com mesmo sinal tem resultado positivo.

Então, a raiz da equação é  “+ 12” e seu conjunto solução é S = {+12}.

Veja um resumo focado nos tipos de problemas que mais caem nas questões do Enem sobre Equações. Aula gratuita com o professor Sérgio Sarkis, do canal Curso Enem Gratuito. Em seguida, continue no post para ver as Equações de 2º grau.

Equações de 2º grau

As equações de segundo grau são expressões algébricas de grau 2, igualadas a zero.  Grau 2 porque tem uma de suas variáveis com seu maior expoente igual a 2.

Apresentam-se assim:  ax² + bx + c =0

Onde a, b, c são os seus coeficientes e a tem que ser diferente de zero.

Nas equações de 2º graus chamadas de incompletas, os coeficientes b ou c são iguais a zero. Veja os exemplos:

a) 2 x² – 10 = 0

b) x² + 4x = 0

c) – 5x² = 0

A resolução das equações de 2º graus incompletas é semelhante à resolução das equações de 1º graus. A diferença é que você terá que fazer a raiz quadrada do número após a igualdade quando tiver isolado a variável. As equações de 2º graus completas são resolvidas por dois processos distintos:

a) Fórmula de Bhaskara

b) Produto e Soma

Neste post vamos revisar o primeiro método que é o uso da Fórmula de Bhaskara para a resolução de uma equação de 2º grau.

A fórmula de Bhaskara é dada por:equações - fórmula 1

e

equações

Para utilizarmos essa fórmula para resolver equações de 2º grau, o primeiro  passo é “descobrir” os valores dos coeficientes da equação. Observe o exemplo abaixo:

equações - exemplo

1º Passo: Descobrir os coeficientes da equação: basta comparar a equação geral com a equação que queremos resolver e temos os valores dos coeficientes:

equações

2º Passo: Substituímos os coefientes na fórmula do Discriminante (Delta):

equações - coeficiente

3º passo: Substituímos todos os valores na Fórmula de Bhaskara:

equações - fórmula

Fazendo as regras de sinais, extraindo a raiz quadrada e multiplicando os denominadores temos:

equações - regras

Teremos como resultado duas raízes, a primeira usando o sinal de adição entre os números + 7  e 3:

equações - duas raízes

E outro resultado, subtraindo + 7 e 3:

equações - subtraindo

Então, o conjunto solução para essa equação completa de 2º grau tem dois valores: S = {2,5; 1}.

As equações de 2º grau completas podem ser resolvidas por outro método: Produto e Soma, mas esse será assunto para um outro post.

Lembramos  que a principal característica de uma equação completa de 2º grau é  ter dois valores de raízes. Esses valores serão solução se, e somente se, os substituirmos na equação e termos uma sentença verdadeira, isto é, 0 = 0.

Para isso basta substituirmos os valores das raízes na equação original.

Observe:equações - exemplo 2

Chegamos a uma solução verdadeira. Então 2,5 é raiz da equação.

Dica: Para saber mais sobre como resolver as equações de segundo grau por soma e produto, veja a aula do CEG, nosso canal no youtube!

Agora é com você! Faça os exercícios que selecionei pra você e teste seus conhecimentos!

Questão 1 – (PUC -MG) O valor de x que é solução da equação (x/3)-(1/4)=2(x-1)  pertence ao intervalo:

a) ]0, 1]

b) ]1, 2]

c) ]2, 3]

d) ]3, 4]

Questão 2 – (FATEC – SP) Sobre as raízes reais da equação x + 32/x – 12 = 0, é verdade que:

a) uma delas é o dobro da outra.

b) têm sinais contrários.

c) são maiores que 10.

d) não são inteiras.

e) são inexistentes.

Questão 3 – (Enem – 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão  com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0.

b) 19,8.

c) 20,0.

d) 38,0.

e) 39,0.

Gabarito:

1 – B; 2 – A; 3 – D.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.