Função quadrática ou de 2º grau

Com as funções quadráticas podemos garantir muitas questões nas provas de vestibular e Enem! É isso mesmo! Estude com o Curso Enem Gratuito e treine para as provas com a lista de exercícios!

Um dos estudos mais importantes nas ciências exatas é o estudo da função quadrática ou de 2º grau e sua parábola. Esse tema é questão certa na prova de matemática dos vestibulares e do Enem. E pode aparecer também na Física, no estudo do Movimentos Acelerados e Retardados e dos Lançamentos Oblíquos.

Sendo assim, é importantíssimo que você saiba interpretá-las para se dar bem e conquistar sua vaga na universidade! Nesta aula vamos aprender as regras para o estudo dessa função e da construção de seu gráfico. Vem com a gente!

O que é mesmo uma função de 2º grau?

Podemos dizer que uma função de 2º grau ou função quadrática é a função que obedece a seguinte formação:

função quadrática - função de segundo grau

Um exemplo dessa função é 

Esse tipo de função tem um gráfico chamado parábola que tem algumas características que precisamos entender bem.

Os principais pontos para o estudo gráfico da parábola são:

    • Sinal do coeficiente a: se o sinal desse coeficiente for positivo a concavidade da parábola estará voltada para cima. Se o coeficiente a for negativo, a concavidade estará voltada para baixo.
    • Raízes da função: obtemos as raízes fazendo f(x) = y = 0. Neste caso definimos os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
    • Para o cálculo das raízes usamos a fórmula de Bhaskara:

função quadrática - fórmula

  • Vértice da parábola: o vértice é definido pelas seguintes fórmulas:

função quadrática - vértice da parábola

  • Intersecção com o eixo y: neste caso o valor de x é igual a zero e y = c.
  • Imagem: seu estudo está relacionado à concavidade da parábola e se o vértice será um ponto de máximo (concavidade voltada para baixo) ou ponto de mínimo (concavidade da parábola voltada para cima).

Como representadas nas figuras abaixo:

função quadrática - parábola 1
Representação gráfica de uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Fonte: Autora (2018) com Geogebra

 

função quadrática - parábola 2
Parábola em vermelho com concavidade voltada para cima.
Fonte: Autora (2018) com Geogebra

 

Para te ajudar a identificar o valor máximo e valor mínimo de uma função quadrática, veja a videoaula do Canal Preparação Digital:

Estudo do sinal do gráfico da função de 2º grau ou função quadrática:

Para analisarmos os sinais desse tipo de função é preciso verificar os intervalos do domínio onde tem a imagem positiva, negativo ou igual a zero.

Além disso, não podemos esquecer de ver o sinal do coeficiente a e do valor do delta.

Veja o resumo abaixo caso a caso:

função quadrática - resumo
Quadro resumo com desenhos das parábolas em vermelho e com seus sinais.
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/3229257/11

Como analisar essa tabela:

Se tivermos:

  • função quadrática - delta 1 os valores menores que x1 e os valores maiores que x2 o sinal será positivo. Entre x1 e x2 o sinal será negativo.
  • função quadrática - delta 2 O sinal será positivo sempre.
  • função quadrática - delta 3 e o sinal será positivo para menores que x1 e maiores que x2.
  • função quadrática - delta 4 o sinal será positivo entre x1 e x2.
  • função quadrática - delta 5 o sinal será negativo sempre.
  • função quadrática - delta 6 o sinal será negativo fora do lado externo da concavidade.

Lembramos que delta é dado através da fórmula:

função quadrática - fórmula delta

Agora que já mostramos todas as regras para você, que tal um exemplo prático?

Vamos a ele:

Vamos ao estudo da função da formafunção quadrática - função da forma

Se quisermos construir uma parábola precisamos definir os seguintes itens:

a) Os coeficientes dessa função: função quadrática - coeficientes

b) Calcular as raízes dessa função:

função quadrática - raízes da função

Fazendo os cálculos temos:

função quadrática - cálculos

Então temos os dois pontos onde a parábola irá cortar o eixo x. Os pares ordenados são B ( 2, 0) e C (-1, 0).

c) Precisamos calcular o Vértice da parábola:

função quadrática - vértice da parábola

Simplificando as frações temos:

função quadrática - frações

Como a parábola tem concavidade para cima, o vértice é um ponto de mínimo.

d) A imagem da função é dada pelo valor de y para o vértice, então o conjunto imagem será:

função quadrática - conjunto

Já podemos também definir o ponto onde a parábola irá cortar o eixo y: nesse caso x = 0 e y = c, isto é, y = – 4. E o par ordenado será dado por A (0, – 4).

Colocando todos os pares ordenados no plano cartesiano temos:

função quadrática - plano cartesiano
Parábola construída com os pares ordenados calculados no exemplo.
Fonte: Autora (2018) com Geogebra

 

Agora é com você! Simule vários gráficos de outras funções de 2º grau no app Geogebra. É um software livre de fácil entendimento e você visualiza a construção do gráfico através dos pares ordenados ou da função. Vai lá, instala em seu smartphone, tablet, IOS ou PC.

Referências bibliográficas

IEZZI, Gelson. Matemática, Ciência e Aplicações. São Paulo. Ed. Saraiva. 2010.

MACHADO, Antonio. Volume Único: Ensino Médio. São Paulo: Atual, 2012.

TINANO, Marilene. Matemática 9º ano – Belo Horizonte: Ed. Educacional, 2015.

Agora que você já revisou tudo sobre as funções de 2º grau, é só testar seus conhecimentos com os nossos exercícios:

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.