Esfera: Entenda e resolva os cálculos de área e volume

Esfera é uma forma geométrica presente na nossa rotina. Toda esfera possui centro, raio, diâmetro e eixo da revolução, é com esses dados que fazemos o cálculo.

Esfera é um objeto tão comum no nosso dia a dia que provavelmente você ou algum parente seu já brincou de bolinha de gude, não é mesmo? As bolinhas de gude são do seguinte formado:

Várias bolinhas de gude de diferentes tamanhos. Fonte da imagem: Getty Images. Várias bolinhas de gude de diferentes tamanhos. Fonte da imagem: Getty Images.

Temos intuitivamente a noção de coisas redondas. Pense comigo: se você pensa em uma bola, uma bola de gude, o planeta terra, um globo terrestre, vem à sua mente uma ideia de algo “redondo”? Essa noção intuitiva de algo redondo surge justamente do nosso contato com esferas no cotidiano. Mas na matemática não podemos simplesmente definir uma esfera como “algo redondo”.

Definição das esferas

Sendo assim, a definição matemática é: Dado um ponto O no espaço, ao conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma certa distância R ou menor do que R deste ponto O damos o nome de esfera.

O ponto O (representado por C na imagem a seguir) é o centro da esfera e R (representado por r) é o raio da esfera. Veja abaixo uma representação de uma esfera:

Uma esfera com algumas de suas características destacadas. Fonte: Info EscolaUma esfera com algumas de suas características destacadas. Fonte: Info Escola

Além da definição acima, também podemos definir uma esfera como sendo o sólido gerado pela rotação de 360° de um semicírculo ao redor de um eixo que contém o diâmetro do semicírculo.

Características das esferas

Toda esfera possui:

  • Centro – Ponto central da figura, representado por C;
  • Raio – Distância do centro da esfera até a sua borda, representado por r;
  • Diâmetro – Dobro do raio, representado pelo segmento  na imagem acima;
  • Eixo de revolução.

Agora que já sabemos o que é uma esfera, precisamos definir a superfície da esfera (ou superfície esférica). 

Superfície esférica

A superfície de uma esfera de centro O e raio r é o conjunto de pontos do espaço que distam exatamente r do centro da esfera. Perceba que utilizamos a palavra exatamente na definição anterior. 

Para entender melhor o porquê de utilizarmos essa palavra, fique atento/a a descrição a seguir:

Considerando uma esfera qualquer no espaço de centro O e raio r e um ponto P qualquer no espaço, temos:

  • O ponto P é interior à esfera se a distância de P até o centro O for menor do que r;
  • O ponto P é exterior à esfera se a distância de P até o centro O for maior do que r;
  • O ponto P pertence à superfície esférica se a distância de P até o centro O for exatamente r.

Perceba com isso que a esfera é um sólido maciço – pois compreende todos os pontos na sua superfície e internos à sua superfície.

Além disso, é importante frisar que a superfície esférica também pode ser definida como uma superfície de revolução gerada através da revolução de uma semicircunferência com eixo posicionado sobre o seu diâmetro.

Secção da esfera

Vários sólidos geométricos podem ser seccionados e o mesmo ocorre com uma esfera. A secção de uma esfera é a figura plana formada pela intersecção de um plano com a esfera. É como se o plano “cortasse” a esfera gerando uma figura plana. No caso da esfera, tal secção será um círculo. Veja abaixo.

Representação de um plano seccionando uma esfera. Fonte: Brasil Escola Representação de um plano seccionando uma esfera. Fonte: Brasil Escola 

Observe que não importa a direção do plano, a secção da esfera sempre será um círculo. Vale ainda ressaltar que a maior secção possível de uma esfera é justamente o círculo obtido pela intersecção de um plano com a esfera, com tal plano passando pelo seu centro. 

Tal círculo possui raio de mesmo tamanho que o raio da esfera e é chamado de círculo máximo da esfera.

Representação de uma secção da esfera gerando um círculo qualquer e gerando o círculo máximo. Fonte: Stoodi. Representação de uma secção da esfera gerando um círculo qualquer e gerando o círculo máximo. Fonte: Stoodi.

Para continuarmos nosso estudo a respeito da secção de uma esfera, consideremos agora uma esfera de raio R que será seccionada por um plano paralelo a seu círculo máximo e a uma distância 0 < d < R de tal círculo máximo. Já sabemos que quando seccionamos uma esfera, geramos um círculo no plano, o qual possuirá um certo raio. Neste caso, chamemos tal raio de r. Com isso, chegamos a uma configuração como na imagem abaixo:

Representação da relação entre os raios do círculo máximo e de um círculo gerado por uma secção qualquer paralela ao círculo máximo. Fonte: BrainlyRepresentação da relação entre os raios do círculo máximo e de um círculo gerado por uma secção qualquer paralela ao círculo máximo. Fonte: Brainly

Perceba então a existência de um triângulo retângulo com hipotenusa medindo R (raio da esfera), um cateto medindo d (distância da secção em relação ao centro da esfera) e outro cateto medindo r (raio do círculo gerado pela secção).  

Através do Teorema de Pitágoras temos a seguinte igualdade:

E, quando seccionamos a esfera, o sólido que fica acima da secção é denominado calota esférica (é como se fosse a “tampa” da esfera).

Elementos da esfera

Assim como os demais sólidos da geometria espacial, a esfera também possui elementos. Vamos focar agora no estudo destes elementos.

– Polos da esfera: Aos pontos extremos do diâmetro do semicírculo que gera a esfera através da revolução damos o nome de polos da esfera.

– Equador: O equador é a circunferência que delimita o círculo máximo que é ortogonal ao eixo.

– Paralelo: Os paralelos são constituídos por toda circunferência que delimita um círculo gerado por uma secção paralela ao equador.

– Meridiano: Por fim, o meridiano é qualquer circunferência que delimita uma secção da esfera que passa pelo eixo da esfera.

Veja abaixo a demonstração desses elementos no círculo abaixo:

Representação dos elementos da esfera. Fonte: Matemática na Ponta do Lápis Representação dos elementos da esfera. Fonte: Matemática na Ponta do Lápis

Agora que já sabemos os elementos da esfera, podemos definir outras de suas características, como a distância polar. A distância polar é a distância de qualquer ponto de um paralelo da esfera até um polo. Como a esfera possui dois polos, cada ponto possui duas distâncias polares.

Veja abaixo:

Representação de um ponto P em um paralelo na esfera e foco nas suas duas distâncias polares. Fonte: Alfa ConectionRepresentação de um ponto P em um paralelo e foco nas suas duas distâncias polares. Fonte: Alfa Conection

Cálculos de volume e área da esfera

Vamos tratar agora sobre os cálculos de área e volume de uma esfera.

Dada uma esfera qualquer podemos calcular:

  • A área – denotada neste post por S esfera ou A esfera;
  • O volume – denotado neste post por V esfera.

Lembre-se que o volume de uma esfera é o espaço ocupado por ela. Já a área de uma esfera corresponde a área da sua superfície de uma esfera. Sendo assim, a área de uma esfera de raio r é dada por: 

Enquanto que o volume desta mesma esfera é dado por:

Além destes cálculos, vamos estudar o fuso esférico e a cunha esférica, bastante frequentes em exercícios.

Cunha esférica e fuso esférico

No começo da aula, vimos que a esfera é um sólido de revolução. Isto é, um sólido obtido por uma rotação de 360° de um semicírculo ao redor de um eixo que está sobre o diâmetro do semicírculo. Até aí tudo bem, mas alguém poderia se perguntar: e se a rotação não for de 360°, mas sim de um ângulo menor do que 360°?  Neste caso obtemos também um sólido geométrico, mas este sólido é chamado de cunha esférica. 

Agora, sabemos também que a superfície esférica pode ser obtida através da revolução de uma semicircunferência. A pergunta natural que surge é: e se essa semicircunferência sofresse uma rotação de um ângulo  menor do que 360°, o que obteríamos? 

Nesse caso, geraríamos uma superfície no espaço, a qual recebe o nome de fuso esférico. Veja abaixo a representação gráfica do fuso esférico e da cunha esférica. 

Mais à esquerda, representação de um fuso esférico e mais à direita, representação de uma cunha esférica. Fonte: Conhecimento Científico R7Mais à esquerda, representação de um fuso esférico e mais à direita, representação de uma cunha esférica. Fonte: Conhecimento Científico R7

Agora, veja na imagem abaixo a diferença entre calota esférica, fuso esférico e cunha esférica:

Mais à esquerda, representação de um fuso esférico. Ao centro, representação de uma cunha esférica. Mais à direita, representação de uma calota esférica. Fonte: Conhecimento Científico R7Mais à esquerda, representação de um fuso esférico. Ao centro, representação de uma cunha esférica. Mais à direita, representação de uma calota esférica. Fonte: Conhecimento Científico R7

E por que damos ênfase no fuso e na cunha esférica? Porque é bastante interessante calcularmos a área do fuso e o volume da cunha. 

Encontramos a área do fuso através da seguinte regra de três: esfera

E através de uma outra regra de três encontramos também o volume da cunha esférica:

Perceba que os valores de referência para a criação das regras de três são os valores da esfera.

Observação: existem ainda outros sólidos gerados a partir de uma esfera, mas focamos apenas nos principais.

Video-aula

Gostou do assunto e quer ver mais detalhes? Então acesse as vIdeoaulas do professor Paulo do canal Equaciona com Paulo Pereira:

  • Esfera: 
  • Partes das Esferas: cunha e fuso: 

Exercícios

1 – (PUCCampinas SP/2020)    

O mar e o aquecimento global

O termo aquecimento global é usado para caracterizar o aumento da temperatura média da Terra ao longo dos anos. Segundo a Organização Meteorológica Mundial, hoje o planeta está quase um grau mais quente do que estava antes do processo de industrialização.

Esse aumento de temperatura causa o derretimento de geleiras e placas de gelo ao redor do mundo e essa perda de grandes áreas de gelo na superfície pode acelerar o aquecimento global, pois menos energia proveniente do Sol seria refletida pela Terra.

Um resultado imediato do derretimento de geleiras é o aumento do nível médio do mar. Os cientistas notaram que esse aumento foi de 17 centímetros no decorrer do século 20 e projetam elevação contínua do nível do mar ao longo do século 21, prevendo-se inundações em algumas cidades próximas à costa.

(Disponível em: meioambiente.culturamix.com. Adaptado)

Suponha que uma geleira tivesse o formato de uma esfera de raio igual a 1.000 metros e que, com o efeito do aquecimento global, ela tenha derretido, reduzindo-se a uma esfera com  do volume original. O raio da geleira após o derretimento passou a ser, em metros:

a) 500

b) 600

c) 125

d) 800

e) 100

2 – (IFMT/2019)    

As bolas de borracha representadas na figura abaixo são totalmente esféricas e têm a mesma espessura. Sabe-se que o raio da bola maior é o dobro do raio da bola menor.esfera

Usando uma certa quantidade de borracha para fazer 24 bolas maiores, então, com essa mesma quantidade de borracha, pode-se fazer um total de bolas menores igual a:

a) 12

b) 36

c) 48

d) 96

e) 120

3 – (UFRGS/2018)    

Fundindo três esferas idênticas e maciças de diâmetro 2 cm, obtém-se uma única esfera maciça de raio

4 – (Unifacs BA/2018)    

A capacidade de absorção de nutrientes de uma célula esférica depende de sua área superficial A, mas sua necessidade de nutrientes depende do seu volume V.

Se uma célula esférica crescer até dobrar de volume, então a razão A/V irá

5 – (Universidade Iguaçu RJ/2018)    

Um corpo é conservado em uma bolha esférica de volume 864/3 cm3, e sendo assim, o valor da área, cm2, da superfície esférica que o reveste é

01) 54

02) 72

03) 98

04) 144

05) 216

6 – (SANTA CASA SP/2019)    

Conheça a maior peça espacial já feita por uma impressora 3D

Uma empresa acaba de terminar, com a ajuda de uma impressora 3D, a construção de uma gigantesca peça de titânio voltada para o mercado espacial. Trata-se de uma tampa no formato de cúpula semiesférica com 46 polegadas de diâmetro interno, conforme ilustração a seguir.

(https://tecnologia.uol.com.br, 20.07.2018. Adaptado.)

Considere que o interior dessa tampa seja revestido com um material antitérmico, que 1 polegada = 2,5 cm e que PI=3 . A área interna dessa cúpula é um valor

a) entre 1,5 m2 e 2,5 m2.

b) inferior a 1,5 m2.

c) superior a 4,5 m2.

d) entre 3,5 m2 e 4,5 m2.

e) entre 2,5 m2 e 3,5 m2.

7 – (UEG GO/2018)    

Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 8 metros de diâmetro e teto no formato de hemisfério. Sabendo-se que a empresa responsável por construir o teto cobra R$ 300,00 por m2, o valor para construir esse teto esférico será de:

Use PI = 3,1

a) R$ 22.150,00

b) R$ 32.190,00

c) R$ 38.600,00

d) R$ 40.100,00

e) R$ 29.760,00

8 – (IFMT/2019)    

Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, e cada faixa tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura.esfera

Sabendo-se que o volume da bola é 288 cm3, então a área total da cunha esférica da superfície é igual a:

9 – (ENEM/2017)    

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.esfera

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a:

10 – (UDESC SC/2012)    

esfera

11 – (UEM PR/2012)    

Considere a Terra uma esfera perfeita com 6.400 km de raio, na qual os polos geográficos norte e sul são antípodas (pontos diametralmente opostos), os paralelos correspondem a interseções da superfície terrestre com planos perpendiculares ao eixo de rotação da Terra (reta que liga os polos) e os meridianos correspondem a semicircunferências com extremos nos polos, obtidas pela interseção da superfície terrestre com planos que contêm o eixo de rotação. Além disso, assumindo que 70% da superfície terrestre correspondem à área total que as águas ocupam na superfície do planeta, assinale o que for correto.

01 – Quanto maior a circunferência de um paralelo, maior a latitude associada a ele.
02 – Se uma pessoa vai de um polo a outro sobre um mesmo meridiano, ela atravessa todas as zonas de fuso horário do planeta.
04 – A área total coberta pelas águas do planeta é superior a 300.000.000 km2.
08 – A distância percorrida para ir de um polo a outro sobre um meridiano é de 12.800 km.
16 – As zonas mais quentes do planeta se localizam na zona intertropical, onde se situam os paralelos de raios maiores.

12 – (FGV /2006)      

Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por alfa é

esfera

13 – (UNAERP SP/2006)     

Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6m de diâmetro e um ângulo diedro de 36º, representada abaixo:

esfera

GABARITO

1 – A

2 – D

3 – A

4 – 03

5 – 04

6 – A

7 – E

8 – D

9 – C

10 – E

11 – 20

12 – A

13 – C

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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