O que são sólidos de revolução e quais os diferentes tipos

Sólidos de revolução são aqueles formados a partir da revolução de uma figura plana em torno de um eixo. Cones, cilindros e esferas são exemplos de sólidos de revolução.

Na matemática, a palavra revolução nos remete à ideia de “algo giratório” ao redor de um eixo, o qual chamamos de eixo de revolução. Mas por que eu estou lhe contando sobre isso? Porque alguns dos objetos de estudos da geometria espacial são os sólidos de revolução e é sobre este assunto que trataremos nesta aula de matemática.

Formação de um sólido de revolução

Para entender melhor, imagine que você tem uma linha reta vertical e um ponto no espaço, como a seguir:

Ponto e linhaFigura 1: Uma linha reta vertical pontilhada e um ponto fora desta reta.

Em seguida, imagine que você possa fixar no espaço a reta acima e mover o ponto ao redor dessa reta, mantendo sempre a mesma distância do ponto à reta, dessa forma:

Linha, ponto e setaFigura 2: Uma linha reta vertical pontilhada, um ponto fora desta reta e uma seta indicando o giro que o ponto sobre ao redor da reta.

Fazendo, então, a revolução do ponto ao redor do eixo, chegamos à seguinte estrutura:

Linha, ponto e círculoFigura 3: Uma linha reta vertical pontilhada, um ponto fora desta reta, uma seta indicando o giro que o ponto sobre ao redor da reta e a curva no espaço gerada pela revolução do ponto.

Perceba que geramos uma circunferência no espaço a partir da revolução do ponto ao redor do eixo.

Agora podemos estender esta ideia para um segmento de reta ou uma curva no espaço. Veja em seguida.

Cone - sólidos de revoluçãoFigura 4: Revolução de uma curva no espaço. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/3myzjkE

A imagem acima representa um exemplo de uma superfície de revolução.

Perceba com o auxílio dessa imagem que temos uma linha no espaço que está contida em um plano e que sofrerá uma revolução em torno do eixo x (na figura mais à esquerda), gerando uma superfície de revolução (na figura mais à direita). O eixo de revolução neste caso é o eixo x.

Mais formalmente, dada uma linha no espaço contida em um plano, à superfície gerada no espaço através da revolução desta linha em torno de um eixo, chamamos de superfície de revolução. O eixo é chamado de eixo de revolução.

O que é um sólido de revolução

Podemos definir um sólido de revolução da seguinte forma:

“Dada uma superfície contida em um plano, o sólido gerado no espaço através da revolução desta superfície em torno de um eixo é o que chamamos de sólido de revolução. O eixo é chamado de eixo de revolução.”

Veja os exemplos abaixo.

Cone - sólidos de revoluçãoCilindros - sólidos de revoluçãoFigura 5: Diferentes exemplos de figuras planas no espaço e seus respectivos sólidos de revolução gerados a partir das suas revoluções ao redor de um eixo. Imagens retiradas e adaptadas de: https://bit.ly/2HLirYQ e https://bit.ly/2TCCRWD.

Tipos de sólidos de revolução

Apesar de estarmos tratando de sólidos de revolução quaisquer, em geometria espacial damos mais ênfase nos estudos dos seguintes sólidos de revolução: cilindro reto, cone reto e esfera.

Cilindro reto

O cilindro reto pode ser obtido através da revolução de um retângulo em torno de um eixo, com este eixo posicionado sobre um dos lados do retângulo.

Cone

Já o cone reto pode ser obtido através da revolução de um triângulo retângulo em torno de um eixo, com este eixo posicionado sobre um dos catetos do triângulo.

Esfera

Por fim, a esfera pode ser obtida através da revolução de um semicírculo em torno de um eixo, com este eixo posicionado sobre o diâmetro do círculo, caso ele fosse completo.

Veja a representação abaixo.

Sólidos de revoluçãoFigura 6: Representação do cilindro reto, esfera e cone reto a partir da revolução do retângulo, semicírculo e triângulo retângulo, respectivamente. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/31YOBrb.

Perceba o posicionamento do eixo de revolução nas figuras acima e comprove o que você leu anteriormente.

Outros tipos de revolução

Repare que se o eixo de revolução do retângulo fosse a sua largura ao invés de seu comprimento, ainda obteríamos um cilindro reto, porém de forma diferente.

Cilindros - sólidos de revoluçãoFigura 7: Representação do cilindro reto. Imagem retirada de: https://bit.ly/3eazWOh

O mesmo fato ocorreria com o cone se o eixo de revolução fosse colocado no outro cateto. Tente você mesmo/a em casa visualizar essa nova configuração a respeito do cone se o eixo de revolução fosse outro.

Agora, tome cuidado com o seguinte: se estivermos querendo simplesmente revolucionar um retângulo, dependendo da posição do eixo não obteremos um cilindro. Veja a imagem abaixo.

Cilindro - sólidos de revoluçãoFigura 8: Revolução do retângulo ao redor de um eixo, gerando um sólido de revolução. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/31YOBrb

Perceba na imagem acima que o sólido gerado pela rotação do retângulo não foi um cilindro.

Assim como a revolução do retângulo não necessariamente gera um cilindro, o mesmo pode acontecer com o triângulo se o eixo não estiver sobre um dos lados ou um dos catetos, respectivamente. Então, fiquei atento/a sobre a disposição da figura plana que será revolucionada e o eixo de revolução.

Agora, repare a imagem abaixo.

Sólidos de revoluçãoFigura 9: Revolução de duas figuras planas ao redor do eixo e os seus respectivos sólidos gerados. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/2TCCRWD

Na figura à esquerda da imagem acima foi gerado um tronco de cone através da revolução de um trapézio retângulo com eixo sobre a altura do trapézio.

Ainda, repare que a figura à direita gerou um sólido de revolução, mas que não é uma esfera, pois a figura plana que foi revolucionada não é um semicírculo.

Cálculos de área e volume dos sólidos de revolução

Em relação aos sólidos de revolução, são interessantes os seguintes fatos:

  • Podemos calcular a área da superfície de revolução;
  • Podemos calcular o volume do sólido de revolução.

Como vimos, podemos formar incontáveis sólidos de revolução. Sendo assim, é preciso analisar caso a caso para fazer os cálculos de suas áreas e volumes. Em geral, tais contas tendem a ser muito complexas. Muitas vezes, inclusive, utilizam-se integrais nos cálculos destes sólidos. Então, é bem provável que não apareçam em seu vestibular.

Entretanto, se estivermos trabalhando com cilindro reto, cone reto e esfera, temos expressões fechadas tanto para o cálculo de suas áreas quanto para seus volumes.

Esses cálculos você poderá estudar detalhadamente em aulas exclusivas aqui no CEG para esses sólidos de revolução, beleza?

Revolução ou rotação?

Pronto, agora você já sabe como surgem os sólidos de revolução, quais são os sólidos de revolução mais comuns na geometria espacial e sabe também que é possível calcular área de superfície de revolução e volume de sólido de revolução.

Além disso, agora você consegue visualizar sólidos diferentes de revolução sendo gerados a partir de diferentes disposições entre as figuras a serem revolucionadas e o eixo de revolução. E isso é algo muito importante, já que o Enem costuma cobrar questões explorando esse tipo de habilidade visual e matemática.

Para finalizar, quero frisar com você um detalhe: percebeu que ao longo de todo o texto falamos sobre revolução e não sobre rotação? Foi proposital, uma vez que a revolução equivale a uma rotação de 360º da figura em torno do eixo.

Você pode ter rotações de diferentes graus, mas gerará sólidos diferentes no espaço. Por exemplo, se você não fizer a rotação de 360° do retângulo, você não gera o cilindro. O mesmo ocorre com a esfera e com o cone.

Videoaula sobre sólidos de revolução

Gostou do conteúdo e quer ver mais detalhes? Então acesse nossa videoaula de sólidos de revolução:

Exercícios

1- (Criado pela autora) São exemplos de sólido de revolução:

a) Tronco de cone, tronco de pirâmide e esfera.

b) Tronco de cone, cilindro e esfera.

c) Cilindro, cone e cubo.

d) Cone, círculo e esfera.

2- (Criado pela autora) Assinale a alternativa correta:

( ) A esfera é um sólido de revolução gerado através da revolução de uma semicircunferência  ao redor de um eixo.

( ) Não obtemos um cilindro a partir da revolução de um retângulo com eixo de revolução sobre a largura do retângulo.

( ) Obtemos um cone a partir da rotação de 360° de um triângulo retângulo com eixo de rotação sobre um de seus catetos.

a) V-V-V

b) F-F-F

c) F-F-V

d) F-V-F

e) V-F-V

3- (SEE AC – Funcab 2010)

No ensino de geometria, nas séries iniciais, tem sua importância social o reconhecimento do universo tridimensional. Pensando nisso, uma professora levou para uma de suas aulas os objetos abaixo:

I. Uma caixa de sapato (paralelepípedo).

II. Uma lata de leite em pó (cilindro).

III. Uma bola de futebol (esfera).

Os sólidos acima são, respectivamente:

a) poliedro, sólido de revolução e poliedro.

b) sólido de revolução, poliedro e poliedro.

c) sólido de revolução, sólido de revolução e poliedro.

d) poliedro, sólido de revolução e sólido de revolução.

e) sólido de revolução, sólido de revolução e sólido de revolução.

Gabarito:

  1. B
  2. C
  3. D

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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