Relações de pertinência, inclusão e igualdade em conjuntos

Você provavelmente já sabe que um conjunto é um grupo de elementos com características em comum. Agora você vai aprender como representar os elementos que pertencem a cada conjunto, ou não. Vem comigo! Revise matemática para o Enem!

Já se sentiu tão bem em algum lugar que pensou consigo mesmo: “eu pertenço a este lugar”? É basicamente disso que se tratam as relações de pertinência, inclusão e igualdade em conjuntos! Elas servem para descobrir se, assim como você pertence ao espaço que adora, um elemento também pertence a um conjunto que tem outros elementos com as mesmas características.

Mas, preste atenção! Não se engane: quanto as relações entre dois conjuntos numéricos, que são as relações de inclusão, e as relações entre elemento e conjunto, que são as relações de pertinência. São coisa diferentes! Vamos aprender juntos um pouco mais sobre esses símbolos e o que eles significam?

simbolos que representam conjuntos numericos e pertencimento
Imagem 1: símbolos que representam as relações de pertinência pertence a e não pertence a.

 

Relação de pertinência

A relação entre um ELEMENTO e um CONJUNTO é chamada relação de pertinência. Para mostrar que um elemento pertence a um conjunto, usamos o símbolo ∈ (Pertence). E, para indicar que um elemento não pertence a um conjunto, usamos o símbolo ∉ (Não Pertence).

  • Exemplo 1: Imagine um conjunto A cujos elementos são os números naturais ímpares menores que 12:

A = {1,3,5,7,9,11}

Podemos dizer que

a) O número natural 3 pertence ao conjunto A ou 3

b) O número natural 15 não pertence ao conjunto A ou 15

  • Exemplo 2: Dado o conjunto A = { -6, -3, -1, 0, 1, 3, 6} , podemos dizer que

a) O número inteiro – 3 pertence ao conjunto A ou

b) O número inteiro – 9 não pertence ao conjunto A ou

Relação de inclusão

A relação entre um CONJUNTO e um outro CONJUNTO é chamada relação de inclusão. Ou seja, utilizamos a relação de inclusão quando todos os elementos de um determinado conjunto pertence ou não a outro conjunto. Essa relação é indicada pelos símbolos:

símbolos relação entre conjuntos

Importante: Tenha em mente sempre que as relações de inclusão são sobre CONJUNTOS relacionados a CONJUNTOS, já as relações de pertinência relacionam ELEMENTOS a CONJUNTOS.

Vamos ver alguns exemplos:

  • Exemplo 1: Considere os conjuntos abaixo:

A = {6,8,10}

B = {2,4,6,8,10}

É fácil de perceber que todos os elementos do conjunto A pertencem também ao conjunto B, então dizemos que A está contido em B.

Indicamos como:

Por outro lado, também podemos dizer que o conjunto B contém o conjunto A, e indicamos como:

  • Exemplo 2: considere os conjuntos: A = {0,1,2,3} e B = {1,2,3,4}

Nesse caso, nem todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto B, então, podemos afirmar que A não está contido em B ou  Por outro lado, B também não contem A, então indicamos por

  • Exemplo 3: pode-se dizer que o conjunto contém o conjunto ?

Veja só, nesse exemplo, está implícito quais são os elementos dos conjuntos. Você pode escrevê-los para poder visualizar melhor e não se atrapalhar. Então:

= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} e = {0,1,2,3, …}

Perceba que todos os elementos do conjunto pertencem também ao conjunto , logo, contém , ou  está contido em ( C ).

Subconjuntos

Qualquer conjunto grande o suficente pode conter subconjuntos menores, os quais estarão contidos em um conjunto maior, veja no exemplo:

Seja  A = {a, e, i}, os subconjuntos de A são:

  • subconjunto sem elementos: Ø (conjunto vazio);
  • subconjunto com um elemento: {a}, {e}, {i};
  • subconjunto com dois elemento: {a, e}, {a, i}, {e, i};
  • subconjunto com três elemento: {a, e, i};
Relação de igualdade em conjuntos

Até aqui você já entendeu todas as relações possíveis entre elementos e conjuntos bem como as relações entre um conjunto e outro. Agora, na relação de igualdade, dizemos que dois conjuntos são iguais, quando estes possuem os mesmos elementos. Para representar a igualdade ou desigualdade entre dois conjuntos, usamos os símbolos já conhecidos:

símbolo de igual e de diferente

Veja o exemplo:

Dados os conjuntos F = {0,1,1,2,3,5} e B = {5,3,2,1,1,0} .

Você pode observar que todos os elementos do conjunto F se apresentam no conjunto B, apesar de aparecerem desordenados, ainda são todos os elementos. Lembre-se que a ordem dos elementos não importa quando se trata de teoria dos conjuntos. Então podemos afirmar que os conjuntos são iguais, representando essa relação como F = B.

Conseguiu tenteder as relações de pertinência, inclusão e igualdade em conjuntos? Ficou com dúvida? Então, para finalizar sua revisão, veja aqui algumas dicas do professor Ferreto

Agora, vamos praticar?

Exercícios:

(IFAL) Considerando-se os conjuntos A = {1,2,4,5,7} e B = {0,1,2,3,4,5,7,8} assinale a alternativa correta.

a) B ⊃ A, logo A ∩ B = B.
b) A ∪ B = A, pois A ⊂ B.
c) A ∈ B.
d) 8 ⊂ B.
e) A ∪ B = B, pois A ⊂ B.

R: alternativa E.

(FEI 2006) Sejam os conjuntos numéricos A = {2,4,8,12,14}; B = {5,10,15,20,25} e C = {1,2,3,8,18,20} e ∅ o conjunto vazio. É correto afirmar que:

R: alternativa D.

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.