Conjuntos Numéricos

Já parou para pensar sobre como os números que usamos são diferentes entre si? É por isso que eles são separados por conjuntos! Vamos conhecer mais sobre cada um deles?

Sabe aqueles grupinhos característicos que tem em todo ensino médio? Vamos pensar juntos: toda escola tem aquele grupo que é mais bagunceiro, a galera do fundão, o pessoal mais dedicado e estudioso, a galera mais ligada em rede social, os que tocam algum instrumento… Enfim, são muitos os grupinhos. Mas, sabe o que todos esses grupos tem em comum? Os membros de cada grupo têm características parecidas, por isso se identificam! Formam conjuntos e na matemática nós chamamos de conjuntos numéricos!

Cada parte desses conjuntos numéricos é chamada de elemento. E, assim como os alunos do ensino médio, cada conjunto numérico é composto por números (elementos) que possuem características semelhantes entre si. Vamos revisá-los para mandar bem em matemática no Enem e nos vestibulares?

conjuntos numericos diagrama de venn
Imagem 1: Diagrama de Venn representando os diversos tipos de conjuntos numéricos e sua respectiva ordem de pertencimento.

 

Um pouco da história dos conjuntos numéricos

É importante saber como surgiram os conjuntos numéricos. Os primeiros números surgiram da necessidade do homem primitivo de contabilizar as coisas, ou seja, de registrar quantidades. Mais tarde esses números foram chamados de números naturais.

Depois, na história, o homem começou a lidar com o comércio e os cálculos passaram a exigir numerais que representassem situações de lucro e de prejuízo. Então, você deve imaginar, que os numerais que passaram a representar o prejuízo foram os números negativos. Posteriormente esses números (negativos e positivos) foram chamados de números inteiros.

Sucessivamente ao longo da história cada conjunto numérico foi surgindo com a necessidade do ser humano em representar suas vivências. Para demonstrar partes de um inteiro, por exemplo, surgiram os números racionais, nome dado por representarem a razão de uma quantidade sobre outra.

Principalmente na geometria, surgiram também os números irracionais. Como exemplo de número irracional, podemos citar o número  que representa a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.

Quer se aventurar no incrível mundo de possibilidades que os números podem apresentar? Procure saber sobre o livro “O homem que calculava” de Malba Tahan. Saiba um pouco mais sobre o livro neste vídeo:

Bem, agora que você já sabe um pouco da história dos conjuntos numéricos, vamos aprender sobre propriedades de cada um deles e de como eles são representados matematicamente. Vamos nessa?

Conjunto dos números naturais

O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros e positivos, incluindo o número zero. O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo  .

= {0, 1, 2, 3, 4…}

Atenção! As reticências quando aparecem à esquerda do último número de um conjunto significam que os elementos daquele conjunto vão até o infinito positivo. Se as reticências aparecem à direita do conjunto, significam que os elementos vão até o infinito negativo.

Todos os conjuntos de numerais possuem subconjuntos que são subdivisões dentro daquele grupo de elementos que possuem características bem específicas.

Subconjunto dos números naturais

Representado por , esse conjunto representa os números naturais não nulos. Ou seja, sem a presença do elemento nulo. E qual é o elemento nulo? Isso mesmo, o número zero.

= {1, 2, 3, 4…}

Atenção: Lembre-se: sempre que houver a presença do asterisco (*) em qualquer conjunto numérico significa que o elemento zero não faz parte do conjunto.

Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros engloba todos os números positivos (números naturais) e também todos os números negativos. Os números inteiros são representados pela letra .

= {… -4, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…}

Perceba que o conjunto de inteiros engloba o conjunto dos naturais.

Subconjuntos dos números inteiros

  • Inteiros não negativos – todos os números positivos e o número zero.

ℤ+ = { 0, 1, 2, 3, 4…}

  • Inteiros positivos – todos os números positivos, sem o número zero.

ℤ*+ = { 1, 2, 3, 4…}

  • Inteiros não positivos – todos os números negativos e o número zero.

ℤ_ = {…-4, -3, -2, -1, 0}

  • Inteiros negativos – todos os números negativos, sem o número zero.

ℤ*_ = {… -4, -3, -2, -1}

  • Inteiros não nulos – todos os números, positivos e negativos, sem o número zero.

ℤ* = {… -4,-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4…}

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados em uma razão. Para isso, o numerador e o denominador dessa razão (fração) precisam ser inteiros e o denominador diferente de zero. Esse conjunto é representado pela letra .

conjuntos numéricos racionais

Perceba que o conjunto de racionais engloba o conjunto dos naturais e dos inteiros também.

Lembre-se que frações podem ser escritas sob a forma de decimais finitas ou dízima periódica.

Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais, são aqueles que, ao contrário dos racionais, não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros, eles são chamados de decimais não exatos. São representados pela letra

Exemplos

exemplos conjuntos numericos

O conjunto dos números irracionais possui essa característica bastante peculiar, portanto não engloba os conjuntos citados anteriormente (veja Imagem 1).

Conjunto dos números reais

Os conjuntos dos números irracionais e racionais não possuem nenhum elemento em comum, portanto foi necessária a criação de um conjunto que unisse os dois. Esse conjunto é representado pela letra  e engloba TODOS os números racionais e irracionais.

Além do diagrama de Venn (Imagem 1, lá no começo desta aula), os conjuntos podem ser representados pela notação de intervalos. Veja abaixo como escrever cada um deles.

Intervalos Reais

  • Intervalo aberto

intervalo aberto

Esse intervalo vai de 3 até 21, porém os números 3 e 21 não fazem parte do intervalo.

  • Intervalo fechado

intervalo fechado

O intervalo vai de – 4 até 5, ou seja, o intervalo é maior ou igual a – 4 e menor ou igual a 5 (os números – 4 e 5 fazem parte do intervalo).

  • Intervalo determinado por desigualdade

intervalo por desigualdade

O intervalo vai de 2 até 7, porém o 7 não faz parte do intervalo

  • Intervalo aberto infinito

intervalo aberto infinito

Esse intervalo contém todos os números maiores que menos 1 quarto .

Para finalizar sua revisão, veja nessa aula do professor Rodrigo algumas dicas e exemplos pra fixar esse conteúdo:
Agora, está na hora de fazer uns exercícios. Vamos lá?

.

Para fixar ainda melhor o conteúdo, salve o infográfico abaixo!

conjuntos numéricos

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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