Como resolver inequação produto e inequação quociente

Nesta aula você vai aprender a resolver inequação produto e inequação quociente através de resoluções de exemplos e exercícios do Enem ou vestibular.

Essas resoluções envolvem alguns conceitos que você já aprendeu anteriormente, como função do 1°grau e seu estudo de sinal, a regra de sinais da multiplicação e divisão e a montagem de quadro de sinais para análise de intervalos. Você já está se descabelando?

Então pare! Ao longo dessa aula, vamos aprender um pouco mais sobre a linguagem matemática e o que é inequação produto e inequação quociente. Vamos lá?

O que é uma Inequação Produto?

Uma Inequação produto é uma Inequação representada pelo produto de dois fatores na forma: f(x) . g(x) > 0, por exemplo.

Nosso exemplo para a resolução da inequação produto acima é a seguinte:

(x – 1).(x+4) > 0

Essa inequação é uma inequação produto.

Linguagem matemática

Antes de continuarmos com a resolução da inequação produto, vamos revisar alguns conceitos:

• Produto: palavra que define o resultado de uma multiplicação.
• Fatores: são os números que estão sendo multiplicados.
• Multiplicação: operação que representamos pelo símbolo X (vezes) . Esse símbolo foi substituído pelo ponto em função da padronização científica.

Resolvendo a inequação

Agora que você já relembrou esses conceitos, estamos preparados(as) para continuar a resolução de nosso exemplo:

(x – 1). (x+4) > 0

1º passo: Separamos os termos da inequação produto em duas funções e cada uma delas é uma função Afim ou 1º grau:

f(x). g(x) > 0

(x – 1) . (x + 4) > 0

Comparando as duas expressões acima, podemos dizer que:

f(x) = x – 1           e   g(x) = x + 4

2º passo: É necessário que se faça o estudo do sinal de cada função.

Vamos começar por f(x):

f(x) = x – 1 

f(x) = ax + b     Forma geral da função de 1º grau ou Afim.

Relembrando:

a: coeficiente linear que dá o crescimento da reta da função.

a > 0: é uma função crescente.

a < 0: é uma função decrescente. 

Então f(x) é uma função crescente pois a = 1.     

Raiz da função

Para a continuidade do estudo do sinal dessa função é necessário que a gente calcule a raiz da função.

A raiz da função é o mesmo que o valor de x quando f(x) = 0.

f(x) = x – 1 

x – 1 = 0

x = 1

Esse valor nos dá o ponto onde a reta da função corta o eixo x.

Agora podemos representar graficamente f(x) com o estudo de seu sinal:

Com a representação gráfica da função f(x) apresentada acima, concluímos o estudo de sinais do primeiro fator da Inequação produto.

Função g(x)

Apesar de termos construído o gráfico da inequação,  não terminou ainda a procura de nossa resolução. Vamos fazer o mesmo estudo só que da função g(x):

g(x) = x + 4

Essa função é crescente porque a = 1, valor positivo.

A raiz dessa função é:

g(x) = x + 4

x + 4 = 0

x = – 4

Com essas informações vamos construir a análise de sinal gráfica:

Determinando a solução da Inequação produto:

Agora que temos a análise de sinal das duas funções f(x) e g (x), temos que construir o quadro de sinais:

O quadro de sinais consiste em colocar cada função em um eixo e após usar a regra de sinais da multiplicação. Lembra dela?

• Fatores com sinais iguais temos um produto positivo
• Fatores com sinais diferentes temos um produto negativo.

Veja como é fácil montar e analisar o quadro de sinais.

• Colocamos o estudo do sinal de cada função, aquela representação gráfica que fizemos acima, uma sobre a outra.
• Abaixo delas desenhamos um eixo que representará a solução.
• Analisamos os sinais pela regra de sinais da multiplicação: menos com mais é igual menos, mais com mais é igual a mais e menos com menos é igual a mais.
• Temos que definir também que tipo de intervalo será. Esse intervalo será aberto ou fechado dependendo da condição de desigualdade dada pela inequação produto. Nesse sentido teremos intervalos abertos pois a inequação é maior que zero, isto é, sua solução deverá ser positiva.

Quadro de sinais

Pela regra de sinais da multiplicação podemos identificar que a solução positiva para a inequação produto:

• Todos os valores menores que – 4.
• E todos os valores maiores que 1.

Note que entre os valores – 4 e 1, o sinal é negativo e indica que números que pertencem a esse intervalo não satisfazem a condição.

E assim a solução de nossa Inequação produto é:

Ou podemos colocar a solução em forma de intervalos:

Como resolver uma Inequação Quociente?

Resolvemos uma Inequação Quociente da mesma forma que uma Inequação Produto.

Usaremos uma questão de vestibular da PUC (2016) para ilustrar essa resolução. Vamos a ela:

(PUC, RJ, 2016) Considere a inequação

$\frac{x + 1}{–x –5} \ge 0 X \in \mathrm{ℝ}$

. Qual é o conjunto solução da inequação?

$a (–\infty ,1] \cup [5,\infty )$$b) (–\infty , –5) \cup [–1,\infty )$$c) [0,\infty )$$d) [–5, \infty )$$e) (–1, \infty )$

Resolução da inequação:

Para resolvermos essa inequação, precisamos separar os termos do quociente em duas funções lineares:

A palavra quociente se refere ao resultado da divisão entre dois termos que são chamados de dividendo (o termo que vai ser dividido) e divisor (termo que divide).

f(x) = x + 1      e g(x) = – x – 5.

f(x) é crescente pois seu coeficiente a = 1.

Precisamos determinar a raiz de cada função, já que ambas são lineares.

f(x) = 0

x + 1 = 0

x = – 1

E o estudo de sinal de f(x) :

.

E agora vamos analisar g(x):

g(x) é decrescente porque a = – 1.

A raiz da função é:

g(x) = 0

– x – 5 = 0

portanto x = – 5

E, o estudo do sinal de g(x) é:

Pronto! Agora, basta montarmos o quadro de sinais conforme aprendemos na resolução da inequação produto:

A inequação quer solução com sinal menor ou igual a zero e por isso o intervalo é aberto em – 5, pois esse valor anula o divisor.

Sabemos que o conceito de divisão não admite divisor igual a zero.

Sendo assim, sabemos que a função f(x) admite qualquer solução real. Dessa maneira, o intervalo é fechado.

Consequentemente, a alternativa correta é a B.

Nesta aula você aprendeu a resolver uma inequação produto e uma inequação quociente. Mostramos que podemos resolver facilmente essas inequações se você souber a regra de sinais da função e montar o quadro de sinais.

Videoaula

Agora é hora de praticar.  Resolva os exercícios propostos e tenha um ótimo estudo!

Exercícios de inequação

1) (Wania, 2020) Qual a solução que satisfaz a desigualdade: (2x – 1) . (-x + 3) > 0?

A) ( -1, 0]

B) (-1/2, 3)
C) (-∞, 3]
D) (1/2, 3)
E) [-3, 1]

3) A única alternativa Correta que é solução da desigualdade abaixo é:

$\frac{2x + 1}{x + 2}> 0$

A) 0

B) (-∞, ½) U (-2,∞)

C) (-∞, -1) U (-2,∞)

D) (-2,∞)

E)[-3, 1]

Gabarito:

1 – A, 2 – D, 3 – D.

Referências bibliográficas:

Centro de Mídias do governo de Amazonas. Aula sobre funções. Disponível em <https://centrodemidias.am.gov.br/storage/lessons_content/19M1MAT004.2.pdf> Acesso 25/06/2020.

Centro de Mídias do Governo do Amazonas. Zero da Função Afim. Disponível em https://centrodemidias.am.gov.br/aulas/zero-de-uma-funcao-afim. Acesso em 26/06/2020.

Centro de Mídias do Governo do Amazonas. Estudo do sinal da função Afim. Disponível em < https://centrodemidias.am.gov.br/aulas/estudo-do-sinal-da-funcao-afim>. Acesso em 26/06/2020.

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