Como resolver inequação produto e inequação quociente

Inequação produto é toda inequação onde exista um produto de termos, ou seja, uma multiplicação.

Nesta aula você vai aprender a resolver inequação produto e inequação quociente através de resoluções de exemplos e exercícios do Enem ou vestibular.

Essas resoluções envolvem alguns conceitos que você já aprendeu anteriormente, como função do 1°grau e seu estudo de sinal, a regra de sinais da multiplicação e divisão e a montagem de quadro de sinais para análise de intervalos. Você já está se descabelando?

Placa de pare em inglês (stop!). Fonte: Pexels < https://www.pexels.com/photo/red-and-yellow-stop-sticker-1749900/>

Então pare! Ao longo dessa aula, vamos aprender um pouco mais sobre a linguagem matemática e o que é inequação produto e inequação quociente. Vamos lá?

O que é uma Inequação Produto?

Uma Inequação produto é uma Inequação representada pelo produto de dois fatores na forma: f(x) . g(x) > 0, por exemplo.

Nosso exemplo para a resolução da inequação produto acima é a seguinte:

(x – 1).(x+4) > 0

Essa inequação é uma inequação produto.

Linguagem matemática

Antes de continuarmos com a resolução da inequação produto, vamos revisar alguns conceitos:

  • Produto: palavra que define o resultado de uma multiplicação.
  • Fatores: são os números que estão sendo multiplicados.
  • Multiplicação: operação que representamos pelo símbolo X (vezes) . Esse símbolo foi substituído pelo ponto em função da padronização científica.

Resolvendo a inequação

Agora que você já relembrou esses conceitos, estamos preparados(as) para continuar a resolução de nosso exemplo:

(x – 1). (x+4) > 0

1º passo: Separamos os termos da inequação produto em duas funções e cada uma delas é uma função Afim ou 1º grau:

f(x). g(x) > 0

(x – 1) . (x + 4) > 0

Comparando as duas expressões acima, podemos dizer que:

f(x) = x – 1           e   g(x) = x + 4

2º passo: É necessário que se faça o estudo do sinal de cada função.

Vamos começar por f(x):

f(x) = x – 1 

f(x) = ax + b     Forma geral da função de 1º grau ou Afim.

Relembrando:

a: coeficiente linear que dá o crescimento da reta da função.

a > 0: é uma função crescente.

a < 0: é uma função decrescente. 

Então f(x) é uma função crescente pois a = 1.     

Raiz da função

Para a continuidade do estudo do sinal dessa função é necessário que a gente calcule a raiz da função.

A raiz da função é o mesmo que o valor de x quando f(x) = 0.

f(x) = x – 1 

x – 1 = 0

x = 1

Esse valor nos dá o ponto onde a reta da função corta o eixo x.

Agora podemos representar graficamente f(x) com o estudo de seu sinal:

inequação produto gráfico
Imagem 1: gráfico representando onde a função corta o eixo.

Com a representação gráfica da função f(x) apresentada acima, concluímos o estudo de sinais do primeiro fator da Inequação produto.

Assista essa aula para compreender mais o tema:

Função g(x)

Apesar de termos construído o gráfico da inequação,  não terminou ainda a procura de nossa resolução. Vamos fazer o mesmo estudo só que da função g(x):

g(x) = x + 4

Essa função é crescente porque a = 1, valor positivo.

A raiz dessa função é:

g(x) = x + 4

x + 4 = 0

x = – 4

Com essas informações vamos construir a análise de sinal gráfica:

gráfico função g(x)

Determinando a solução da Inequação produto:

Agora que temos a análise de sinal das duas funções f(x) e g (x), temos que construir o quadro de sinais:

O quadro de sinais consiste em colocar cada função em um eixo e após usar a regra de sinais da multiplicação. Lembra dela?

  • Fatores com sinais iguais temos um produto positivo
  • Fatores com sinais diferentes temos um produto negativo.

Veja como é fácil montar e analisar o quadro de sinais.

  • Colocamos o estudo do sinal de cada função, aquela representação gráfica que fizemos acima, uma sobre a outra.
  • Abaixo delas desenhamos um eixo que representará a solução.
  • Analisamos os sinais pela regra de sinais da multiplicação: menos com mais é igual menos, mais com mais é igual a mais e menos com menos é igual a mais.
  • Temos que definir também que tipo de intervalo será. Esse intervalo será aberto ou fechado dependendo da condição de desigualdade dada pela inequação produto. Nesse sentido teremos intervalos abertos pois a inequação é maior que zero, isto é, sua solução deverá ser positiva.

Quadro de sinais

Quadro de sinais da inequação produto
Quadro de sinais da inequação produto.

Pela regra de sinais da multiplicação podemos identificar que a solução positiva para a inequação produto:

  • Todos os valores menores que – 4.
  • E todos os valores maiores que 1.

Note que entre os valores – 4 e 1, o sinal é negativo e indica que números que pertencem a esse intervalo não satisfazem a condição.

E assim a solução de nossa Inequação produto é:

intervalo da inequação

Ou podemos colocar a solução em forma de intervalos:

resolução inequação

Como resolver uma Inequação Quociente?

Resolvemos uma Inequação Quociente da mesma forma que uma Inequação Produto.

Usaremos uma questão de vestibular da PUC (2016) para ilustrar essa resolução. Vamos a ela:

(PUC, RJ, 2016) Considere a inequação

x + 1x 5  0 X  

. Qual é o conjunto solução da inequação?

a (,1]  [5,) b) (, 5)  [1,) c) [0,) d) [5, ) e) (1, )

Resolução da inequação:

Para resolvermos essa inequação, precisamos separar os termos do quociente em duas funções lineares:

A palavra quociente se refere ao resultado da divisão entre dois termos que são chamados de dividendo (o termo que vai ser dividido) e divisor (termo que divide).

f(x) = x + 1      e g(x) = – x – 5.

f(x) é crescente pois seu coeficiente a = 1.

Precisamos determinar a raiz de cada função, já que ambas são lineares.

f(x) = 0

x + 1 = 0

x = – 1

E o estudo de sinal de f(x) :

função crescente.

E agora vamos analisar g(x):

g(x) é decrescente porque a = – 1.

A raiz da função é:

g(x) = 0

– x – 5 = 0

portanto x = – 5

E, o estudo do sinal de g(x) é:
função g(x)
Imagem: Gráfico para o estudo de sinais da função g(x).

Pronto! Agora, basta montarmos o quadro de sinais conforme aprendemos na resolução da inequação produto:

quadro de sinais inequação produto
Quadro de estudo dos sinais.

A inequação quer solução com sinal menor ou igual a zero e por isso o intervalo é aberto em – 5, pois esse valor anula o divisor.

Sabemos que o conceito de divisão não admite divisor igual a zero.

Sendo assim, sabemos que a função f(x) admite qualquer solução real. Dessa maneira, o intervalo é fechado.

Consequentemente, a alternativa correta é a B.

Nesta aula você aprendeu a resolver uma inequação produto e uma inequação quociente. Mostramos que podemos resolver facilmente essas inequações se você souber a regra de sinais da função e montar o quadro de sinais.

Por fim, veja as aulas abaixo e revise todo o conteúdo:

Agora é hora de praticar.  Resolva os exercícios propostos e tenha um ótimo estudo!

Exercícios de inequação

1) (Wania, 2020) Qual a solução que satisfaz a desigualdade: (2x – 1) . (-x + 3) > 0?

A) ( -1, 0]

B) (-1/2, 3)
C) (-∞, 3]
D) (1/2, 3)
E) [-3, 1]

3) A única alternativa Correta que é solução da desigualdade abaixo é:

2x + 1x + 2> 0

A) 0

B) (-∞, ½) U (-2,∞)

C) (-∞, -1) U (-2,∞)

D) (-2,∞)

E)[-3, 1]

Gabarito:

1 – A, 2 – D, 3 – D.

Referências bibliográficas:

Centro de Mídias do governo de Amazonas. Aula sobre funções. Disponível em <https://centrodemidias.am.gov.br/storage/lessons_content/19M1MAT004.2.pdf> Acesso 25/06/2020.

Centro de Mídias do Governo do Amazonas. Zero da Função Afim. Disponível em https://centrodemidias.am.gov.br/aulas/zero-de-uma-funcao-afim. Acesso em 26/06/2020.

Centro de Mídias do Governo do Amazonas. Estudo do sinal da função Afim. Disponível em < https://centrodemidias.am.gov.br/aulas/estudo-do-sinal-da-funcao-afim>. Acesso em 26/06/2020.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.