Métodos de MMC

Aprenda a resolver problemas matemáticos usando métodos rápidos como o MMC (Mínimo Múltiplo Comum)! Estude com o Curso Enem Gratuito!

O mínimo múltiplo comum tem inúmeras aplicações. Mas, geralmente utilizamos o MMC para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, não é mesmo? Só que não é só para isso que o MMC serve.

Podemos resolver inúmeros problemas usando somente o processo de fatoração ou de múltiplos de um número. E é isso que vamos mostrar para você! Vem com a gente revisar mais este conteúdo de Matemática Básica para mandar bem no Enem!

Métodos de MMC - relógio
O Relógio. Fonte: https://goo.gl/wprtCT

Atualmente parecemos viver em função do tempo. O relógio, às vezes, aparenta trabalhar rápido demais. Mas, não. Ele trabalha de hora em hora, minuto a minuto, segundo a segundo. E horas, minutos e segundos são múltiplos de 60.

E mais, os minutos do relógio são representados em intervalos de 5 em 5 minutos. Como podemos ver, ao vivermos sob o comando do relógio, vivemos em função dos múltiplos. Então, porque não estudar sobre eles?

Para entendermos como são os múltiplos, como a divisão de uma hora em um relógio, vamos começar pelo conceito de Mínimo Múltiplo Comum. Bello ( 2007, p.9) diz que:

“Para dois ou mais números existirão infinitos múltiplos comuns a esses dois números . O M.M.C será o menor desses infinitos múltiplos comuns.”

Para entendermos melhor o que isso quer dizer, vamos pensar em um exemplo. Determine o MMC entre 15 e 20:

O MMC entre dois números a e b é representado por MMC(a,b).
M(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, …}

Compare os dois conjuntos e procure o primeiro e menor múltiplo comum aos dois. Vamos marcar de vermelho nos próprios conjuntos

M(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, …}

Esse é o MMC (15, 20) = 60.

Como você pode ver, a comparação entre os conjuntos de múltiplos de dois números é um dos métodos de resolução com o MMC. Vamos estudar outros?

Você sabe o que é um múltiplo? O que é um divisor? Acesse a aula sobre Múltiplos e Divisores de um número.

Propriedades do MMC

a) Múltiplos entre si:

Se dois números a e b forem múltiplos entre si ( são da mesma tabuada), o MMC entre esses números será igual ao maior deles.
MMC(a,b) = b

Exemplo: Calcule o MMC entre 4 e 12:
MMC(4,12) = 12

b) Números primos entre si:

Se dois números a e b forem primos entre si, o MMC entre eles será igual ao produto entre eles.
MMC(a,b) = a x b

Exemplo: Qual é o MMC entre 7 e 23?
MMC(7,23) = 7 . 23 = 161

c) Consecutivos:

Se dois números a e b forem consecutivos, o MMC entre eles será igual ao produto entre eles.
MMC(a,b) = a x b

Exemplo:
MMC (11,12) = 11 . 12 = 132

Métodos de calcular o MMC

a) Fatoração em separado:

Para o cálculo do MMC entre a e b, fatoramos os números em separado.
O MMC será o produto de todos os fatores primos, tomando sempre os maiores expoentes dos fatores comuns.

Exemplo: Qual é o MMC entre 12 e 34?

Métodos de MMC - exemplo 1

b) Fatoração simultânea:

Fatoramos todos os números ao mesmo tempo. O resultado da fatoração será o MMC entre eles.
Exemplo: Qual o MMC entre 12 e 34?

Métodos de MMC - exemplo 2

Neste caso, dividimos 12 e 34 por 2.

Escrevemos os resultados abaixo deles. Como 6 é par dividimos por 2 e 17 ficou na espera. Foi reescrito na terceira linha.

Na terceira linha ficamos com 3 e 17 e então dividimos pelo número primo menor que é 3 e 17 ficou na espera novamente.

Na quarta linha dividimos 17 e o resultado na quinta linha foi 1 e 1. Que indica que acabou a fatoração.
Aplicação:

Agora que você já aprendeu os métodos de MMC, vamos apresentar exemplos de problemas onde aplicamos os conceitos de múltiplos e MMC:

1) (Enem 2014) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina?

A) 80

B) 800

C) 8.000

D) 80.000

Resolução:

A resolução desse problema está no conceito de múltiplos de um número.

Sabemos que 1hm² = 10.000 m²
e o enunciado informa que 1 há = 1 hm²
Com isso podemos dizer que: 8ha = 8hm²

Substituindo a primeira informação na relação acima, chegamos a:
8 . 10000 = 80.000 m²

A alternativa correta é a D.

2) (UFMG – adaptado) Num determinado país, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nesse país, houve eleição para os três cargos em 2012. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

A) 2016

B) 2015

C) 2024

D) 2022

E) 2019

Resolução:

Para determinar daqui a quantos anos teremos nova eleição simultânea entre os três poderes, precisamos fatorar 3 , 4 e 6 simultaneamente.

Métodos de MMC - resolução

MMC (3 , 4 , 6) = 12.

Para determinarmos a data da próxima eleição simultânea basta somar o valor do MMC com o ano da última eleição:

2012 + 12 = 2024.
Alternativa C.

Para finalizar sua revisão e tirar todas as sua dúvidas sobre Mínimo Múltiplo Comum, veja esta aula sobre “MMC e MDC” com o colega Rafael Procópio. Você pode assistir aqui:

Exercícios:

1) (Unicamp-SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B a cada 4 dias e na máquina C a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, a próxima vez em que a manutenção das três ocorreu no mesmo dia foi:

A) 5 de dezembro.

B) 6 de dezembro.

C) 8 de dezembro.

D) 14 de dezembro.

E) 26 de dezembro

2) (UFPE) Um ônibus chega a um terminal rodoviários a cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7 dias. Numa ocasião, os três ônibus chegaram ao terminal no mesmo dia. A próxima vez em que chegarão juntos novamente, ao terminal ocorrerá depois de:

A) 60 dias

B) 35 dias

C) 124 dias

D) 84 dias

E) 168 dias

3) (Enem 2013) Uma dona de casa faz um comparativo de custos para decidir se irá adquirir uma máquina lavadora de louças para substituir a lavagem manual. Decide calcular o custo com a lavagem de louças por um período de 30 dias, com duas lavagens por dia.

Ela constatou que não precisa considerar os custos do detergente e do sabão, pois, na máquina lavadora e na lavagem manual, são equivalentes. Verificou que gasta em média 90 litros de água em cada lavagem manual. Cada lavagem na máquina gasta 16 litros de água e 0,9 kWh de energia.

Sabe-se que a companhia de distribuição de água cobra R$ 6,25 por metro cúbico (pelo consumo de água e dispersão e tratamento de esgoto) e a companhia elétrica cobra R$ 0,45 por kWh consumido.

De acordo com essas informações, num período de 30 dias, a lavagem manual ficará mais cara que a da máquina lavadora em quantos reais?

A) 1,72

B) 3,45

C) 4,72

D) 9,45

E) 27,75

Gabarito:

1 – D

2 – D

3 – B

Referências:

BELLO, Pedro. Matemática Básica para Concursos v.1.Rio de Janeiro: ED. Ferreira, 2007.

Imagens: Portal e- UNICAMP e Wikimedia Commons.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.