Múltiplos e divisores de um número

Relembre os conceitos básicos como múltiplos e divisores de um número. Estude Matemática com o Curso Enem Gratuito!

Nesta aula vamos revisar os conceitos de multiplicação, múltiplos, conjunto do múltiplos de um número, divisão, divisores de um número e conjunto dos divisores de um número. Esses conceitos são os alicerces da matemática e vão te ajudar a otimizar seu tempo na hora de resolver questões de Matemática no Enem e nos vestibulares!

múltiplos e divisores - ilustração
Quatro é múltiplo de dois

Para começar, é importante você lembrar que entendemos a multiplicação como uma adição repetida de um mesmo número. Veja:

múltiplos e divisores - adição

Como você pode observar o número 5 indica quantas vezes o número 4 está sendo somado por ele mesmo. E o resultado dessa soma é igual a 20.

O número 4 aparece 5 vezes, então podemos escrever da forma de produto:

múltiplos e divisores - multiplicação

O termos 5 e 4 são chamados de fatores.
O resultado 20 é denominado de produto.

Uma das mais famosas propriedades da multiplicação é a Propriedade Comutativa que diz:

múltiplos e divisores - ordem

Mas, essa não é a única propriedade da multiplicação! É claro que temos mais duas propriedades:

a) O elemento neutro da multiplicação: o produto desse termo multiplicado por um número é o próprio número.

Exemplo: 27 X 1 = 27

múltiplos e divisores - neutro

b) Elemento nulo: o produto de um número pelo elemento nulo é igual a zero.

Exemplo: 0 X 7 = 0

múltiplos e divisores - nulo

O que são então múltiplos? Qual a relação deles com a multiplicação?

Os múltiplos de um número são os produtos desse número por 0, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, enfim, quantas vezes quisermos multiplicar.

Veja que representamos o conjuntos dos múltiplos de um número pela letra M(a), onde a é o número considerado.

Ficará mais fácil de entender com exemplos, não é mesmo?
a) O conjunto dos múltiplos de 4 é: M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …}

b) O conjunto dos múltiplos de 10 é: M (10) = { 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …}

c) O conjunto dos múltiplos de p é: M(p) = { 0, p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p, 7p, 8p, 9p,…}

Divisão

O conceito básico de uma divisão é a operação inversa à multiplicação.

A palavra inversa quer dizer que existe uma relação de ida e volta, assim como

múltiplos e divisores - operação inversa

As divisões:

múltiplos e divisores - divisões

São as operações inversas das multiplicações apresentadas e 3 e 4 são divisores de 12.

Para realizar a operação inversa basta multiplicar os resultados dessas divisões, 4 x 3 = 12.

O divisor é um número que divide um número. Indicamos por D(a), todos os divisores naturais do números a.

Exemplos:

D(6) = {1,2,3,6}

D(24) = {1,2,3,4,6,8,1, 12,24}

D(8) = {1,2,4,8}

Dicas importantes sobre os divisores:

a) O zero nunca será um divisor. Não tem lógica dividirmos algo por zero, não é mesmo?

b) O primeiro divisor de um número é 1.

c) O último divisor de um número é ele mesmo.

Quer aprofundar seus conhecimentos? Assista ao vídeo Divisores e Quantidade de divisores de um número com nosso colega Rafael Procópio:

Neste post você aprendeu o que é um múltiplo e um divisor. Também aprendeu como indicar o conjunto dos múltiplos e o conjuntos dos divisores de um número.

Exercícios:

1) Esmeralda está organizando sua festa de aniversário e por um erro na distribuição dos convites, ela não sabe se a festa terá 4 ou 6 pessoas. Entretanto, ela planeja já deixar o bolo cortado em alguns pedaços iguais de tal forma que se vierem 4 ou 6 pessoas, cada uma delas receberá a mesma quantidade de bolo (o bolo inteiro deve ser distribuído igualmente entre os convidados em qualquer uma das duas situações). Qual o número mínimo de pedaços para ela atingir esse objetivo?

A) 24

B) 12

C) 8

D) 7

E) 6

2) (UERJ) Três grandes cidades A, B e C fazem festas de 6 em 6 meses, 9 em 9 meses e 20 em 20 meses respectivamente. Sabendo-se que em abril de 1980 as festas coincidiram, quando as festas voltarão a coincidir?

A) 1989

B) 1991

C) 1995

D) 2001

E) 2005

3) (Fatec) Se D(24) é o conjunto dos divisores positivos de 24 e M(3) é o conjunto
dos múltiplos de 3, então D(24) − M(3) tem:

A) 7 elementos

B) 3 elementos

C) 5 elementos

D) 4 elementos

E) 8 elementos

Gabarito:

1 – B, 2 – C, 3 – D.

Referências:

GIOVANNI JR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. A Conquista da Matemática, 6º ano. São Paulo: FTD, 2009.

BELLO, Pedro. Matemática Básica para Concursos V1. Rio de Janeiro: Ed. Ferreira, 2007.

Imagens: Freepick.com e Wikimedia Commons.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.