Números binários: como converter para números decimais e operações

Você sabia que um computador só produz informações através de um tipo de sistema de numeração? Veja como resolver exercícios que envolvem números binários, como fazer operações com eles e como converter números binários em números decimais.

Nessa aula você vai aprender conhecer o sistema de numeração binário, os números binários como converter para números decimais. Vai ainda aprender a adição, a subtração e a multiplicação com números binários.

Você já imaginou como seria sua vida sem um gadget? Gadget é todo e qualquer aparelho eletrônico que utilizamos para facilitar nossa rotina. O mais usado é o smartphone. Mas existem também os tablets, computadores, notebooks entre outros.

Nossa vida não é mais nada sem eles, não é mesmo? Mas você já se perguntou, por exemplo, como o computador cria as informações?

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gadgets e numeros binarios
Figura 1 – Estudantes usando seus gadgets. Fonte: Freepik pt. Disponível em <https://br.freepik.com/fotos-vetores-gratis/escola”>

Pois é! A verdade é que o computador usa um sistema operacional. E esse sistema se comunica com a máquina através de um sistema numérico.

Esse sistema numérico é denominado de Sistema Binário e é formado por uma base de apenas dois algarismos: o zero e um (0 e 1).

Sistema binário = base 2.

Como são formados os números binários?

Imagine quantas combinações podemos fazer com esses dois algarismos:

0, 1, 10, 11

Agora com três algarismos:

100, 101, 110, 111

Com quatro algarismos:

1000, 1001, 1010, 1110

E assim por diante. Perceba que o sistema numérico binário é formado por números binários compostos por algarismos zero e 1.

Você pode agora testar seus conhecimentos formando números binários com 5 algarismos. Tente e depois dê uma olhadinha no final dessa aula a resposta correta.

Correspondência entre o sistema decimal e o sistema binário.

O número binário vale o mesmo que um número decimal? É uma dúvida bastante comum, então fizemos uma tabela para você entender quanto vale o nosso número decimal em binário:

tabela número decimal versus número binário
Tabela 1 – Relação entre o Sistema Numérico Decimal e o Sistema Numérico Binário. Fonte: Elaborado pela autora (2020).

Agora você pode comparar um número decimal e o número binário.

Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, sendo o seu sistema de numeração binário, a máquina entende 0 para tensão baixa e 1 para tensão alta.

Glossário: Tensão = voltagem.

Em computação, chamamos um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit.

E, um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term).

Toda a eletrônica e a lógica computacional tem base o sistema binário, baseado na Lógica chamada de Boleana em homenagem a George Boole.

A Álgebra Boleana facilita operações da lógica e da aritmética usando somente a base 2. Essa base dois pode ser analisada em:

  • Liga ou desliga;
  • Sim ou não
  • Falso ou Verdadeiro
  • 1 ou 0.

Nos anos 90, o uso de imagens com chuvas de números binários nas telas do computador foram moda em homenagem ao filme Matrix (1999). Nesse filme se falava de código binário, rede neural e outras tecnologias. Tudo no filme era sobre códigos e comunicação entre computadores e humanos.

No filme apareciam imagens que imitavam os códigos de uma programação. Na foto abaixo temos uma ilustração de um código binário em um computador atual.

codigo binario
Figura 2 – Código binário. Fonte: Freepick.com.

Como converter números binários para números decimais

Para convertermos um número binário em um número decimal temos que:

a) escrever cada algarismo que forma (bit) o número binário em questão, multiplicado pela base do sistema (base 2), elevado à posição que ocupa (1º, 2º 3º,….).

b) soma do produto de cada dígito binário pelo valor de suas potências resulta no número real representado.

Vamos passo a passo, para que fique mais claro:

O número que vamos transformar é o 1010. O algarismo da posição de:

a) milhar é o 1 e está na 1º posição, isto é, o expoente é 1: 1 x 2¹

b) centena é o 0 e está na 2ª posição, então, o expoente é o 2: 0 x 2²

c) dezena é o 1 e está na 3ª posição, então, o expoente é 3: 1 x 2³

d) unidade é o 0 e está na 4ª posição, então o expoente é 4: 0 x 24

Somando todos os termos temos:

1 x 2¹ + 0 x 2² + 1 x 2³ + 0 x 24 = Resolvendo as potências e os produtos temos:

2  +   0      +    8     +  0    =  10

Chegamos à conclusão de que o número decimal correspondente ao número binário 1010 é 10.

Dica de leitura:

Conheça o matemático George Boole através de sua biografia no site da e-USP e complemente seus estudos.

Conversão de um decimal em binário

Vimos que um sistema de numeração binário:

  • Tem base 2.
  • A base é formada por dois algarismos: 0 e 1.
  • Com o 0 e o 1 são formadas sequências.
  • E as sequências são compostas por letras, palavras, textos, cálculos.

Neste momento queremos converter, transformar um número decimal em um número binário. Para que isso aconteça devemos seguir os seguintes passos:

  • Dividimos o número decimal sucessivamente por 2.
  • O número binário é formado pelo quociente seguido dos restos de todas as divisões anteriores.

Veja o exemplo abaixo:

Transforme o número 6 em um número binário:

numero 6 em binario

Veja que o último quociente é igual a 1. E os restos são todos zeros, isto é, três zeros. Então, podemos concluir que 2 corresponde ao número binário 1 000.

Operações com números binários

Adição com números binários

A adição com números binários deve seguir a representação com números binários.

Em casos de adições simples de 1 algarismo em cada parcela temos que lembrar em converter sempre que a soma der um número decimal. Observe os exemplos abaixo:

a) 0 + 0 = 0

b) 0 + 1 = 1

c) 1 + 1 = 2

Neste caso, trocamos o número decimal 2 pelo número binário correspondente:

1 + 1 = 10

d) 1 + 1 + 1 = 11

Em adições mais complexas, montamos os cálculos e operamos normalmente com o mesmo cuidado de converter os valores que não sejam binários.

Veja os exemplos a seguir:

adição número binários

 

 

 

Sabemos que o número decimal 2 é igual ao número binário 10, então precisamos converter esses dois números para termos o resultado:

exemplo adicao numero binario

 

 

 

 

Na terceira coluna somamos 1 + 1 = 2, que foi convertido para 10 e após somamos o algarismo 1 que foi transportado do resultado da coluna anterior a ele. Lembre que a soma é realizada de trás para a frente, isto é, da direita para a esquerda.

Usamos o processo de conversão entre números decimais e números binários, tanto a Adição como a Subtração entre números decimais.

Subtração com números binários

O método da Subtração com números binários é semelhante ao de subtração com números decimais. Temos uma exceção:

0 – 1 = 1 para o sistema de numeração binário.

Para subtrairmos números binários pelo método tradicional devemos organizar da seguinte forma:

a) Alinhar os números um abaixo do outro como uma subtração com número decimais.

b) Resolver como uma subtração normal.

c) Converter se for preciso.

Veja o exemplo: 1000b – 111b =

Lembramos que o b subscrito indica que é um número binário. Essas representações aparecem em enunciados de problemas envolvendo informática ou eletrônica.

a) Alinhamos os números:

subtracao numeros binarios

 

 

 

b) Resolvemos como uma subtração normal:

 

 

c) Lembramos aqui que “deve 1”. Assim, 0 – 1 = 1, lembrando que ele deve 1, 1 – 1 = 0, e fica devendo 1 “deve 1”.

exemplo de subtração com números binários

d) Não podemos nos esquecer que “deve 1” novamente para o próximo cálculo e que 1 – 1 = 0.exemplo de subtração com números binários 
e) Continua a dever 1, então 1 – 1 = 0

 E chegamos ao resultado esperado: 0 0 0 1.

Fácil, não é mesmo? Basta ficarmos atentos aos processos de conversão e a única regra da subtração que 0 – 1 = 1.

Vídeo sobre números binários

Para finalizar esta revisão, nada melhor do que aliar nossos estudos à uma mídia em vídeo, não é mesmo? Sendo assim, para complementar nossa aula, assista a videoaula do prof. Lucas:

Nesta aula vimos o conceito de números binários, sua relação com os números decimais. Você compreendeu como podemos converter os números decimais em números binários e também o inverso: números binários em decimais. Também aprendeu as operações de adição e subtração envolvendo esse sistema de numeração muito importante para o uso dos códigos binários e a linguagem de programação.

Exercícios sobre números binários

Agora é hora de praticar os números binários!

1) O número binário 101011012 pode ser convertido em um número decimal, isto é de base 10. A alternativa CORRETA que mostra o número decimal referente a essa conversão é:

A) 100

B) 152

C) 153

D) 173

E) 192

2) Para convertermos um número do sistema de numeração binário para um número de sistema de numeração decimal precisamos:

A) Decompor o número binário e escrevê-lo em forma de potência de base 10.

B) Decompor o número binário e escrevê-lo em uma soma que contém potência de base 2.

C) Dividir o número binário sucessivamente pela base 10.

D) Dividir o número binário sucessivamente pela base 2.

E) Multiplicar cada algarismo do número binário por 2.

3) A soma entre os dois números (100)10 e (45)10 e sua conversão em número binário é:

A) 145 e 10010101.

B) 245 e 11010001

C) 45 e 10010001

D) 245 e 10011001

E) 245 e 10010001

GABARITO:

1) D

2) B

3) E

 

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