Números primos e fatoração

Saiba o que são os números primos e para que servem. Estude esse assunto de Matemática Básica com o Curso Enem Gratuito!

O estudo dos números primos nos dá uma outra perspectiva do conceito de número. Vamos apresentar a você o que são os números primos e os números naturais. Além disso, você vai aprender a usar o conceito de números divisíveis, conjunto de divisores, os critérios de divisibilidade, como fazer uma fatoração de um número composto.

Conceito de número primo

Um número natural é denominado primo quando:

– for maior que 1,
– for divisível somente por 1 e por ele mesmo.

Números primos e fatoração
Números Primos. Fonte: https://goo.gl/rn6rEU

Então se tivermos um número P, ele será primo se, e somente se, o número de divisores de P, for igual a 2.
Para você compreender melhor, vamos analisar se o número 11 é ou não um número Primo. Em primeiro lugar temos que determinar o conjunto de números naturais divisíveis por ele:

D(11) = {1,11}

Podemos dizer que o número de divisores de 11 é: n[D(11)] = 2 . Pois esse número tem somente dois divisores: 1 e 11.

Está difícil de entender ainda? Vamos então fazer uma analogia: pense em uma pizza. Imagine que essa pizza tem um tamanho médio com 11 fatias e que você quer dividi-la com um grupo de amigos. A divisão não será exata independente da quantidade de pessoas. Uma amigo ficará com uma fatia a mais, não é mesmo?

As possibilidades de termos a divisão exata dessa pizza é se apenas uma pessoa ficar com todas as fatias ou se dividirmos essa pizza para 11 pessoas.

Por isso, 11 é um número primo.

A condição necessária para identificarmos um número primo é que a divisão entre os números considerados seja inexata.

Os números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…

Veja a videoaula do prof. Lucas para entender melhor os números primos!

Número composto

Se você dividir um número por outros números além de 1 e dele mesmo e o resultado for exato, você terá um número composto.

Sendo assim, “A” é um número composto, se e somente se, o número de divisores de A, ou seja
n[D(A)] > 4. (Maior que 4).

Para você entender melhor, vamos a um exemplo:

O número 12 é composto ou primo?

O conjunto dos divisores de 12 é: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Logo, temos n[D(A)] = 6 e o número 12 é composto pois é divisível por 6 números. E, 6 > 4.

Método de Erastóstenes

Os números primos ainda podem ser identificados pelo Método de Erastóstenes.

Erastóstenes de Cirene ( 276 a.C. – 194 d.C.) foi um astrônomo, matemático, geógrafo e filósofo (entre outras atividades) que viveu na Grécia Antiga, tendo também sido chefe bibliotecário na famosa Biblioteca de Alexandria.

Ele elaborou um passo a passo para descobrirmos os números primos:

1º) Escrevemos os números de 1 a 50 ou o limite que você quiser.

2º) Riscamos o número 1 que não é primo.

3º) Circulamos o número 2.

4º) Riscamos todos os números divisíveis por 2.

5º) Circule o próximo número: 3.

6º) Riscamos todos os números divisíveis por 3.

7º) Continuamos circulando o próximo número e riscando seus divisíveis até o final da tabela.

Números primos e fatoração - tabela
Tabela de Erastóstenes. Fonte: https://goo.gl/cMPVnQ

Fatoração ou decomposição em fatores primos

Todo número composto pode ser fatorado ou decomposto num produto de fatores primos.

Decompor um número em fatores primos é o mesmo que reescrever esse número em forma de produto (multiplicação), onde todos os fatores desse produtos são primos.

Um exemplo simples: 12 pode ser escrito de diversas formas:
12 = 2 x 6 ( O número seis é composto.)

Temos que reescrever o número 6 através de um produto de números primos também:
12 = 2 x 2 x 3.

Essa é a decomposição em fatores primos do número 12.
Ainda podemos escrever os fatores que se repetem em forma de potência:
12 = 2² x 3. Pronto! Fácil, não é mesmo?

A regra para fatoração é simples:
dividimos o número composto pelo seu menor divisor primo.

O resultado pelo menos número primo seguindo os critérios de divisibilidade.
Continue a dividir até chegarmos ao resultado igual a 1.
Os divisores usados são escritos em forma de produto e temos a fatoração.

Veja o exemplo abaixo:

Números primos e fatoração - 2

Nessa aula, você aprendeu que:

Um número primo é divisível somente por 1 e por ele mesmo.
Um número é primo se sua divisão for inexata.

Erastóstenes foi um matemático que determinou um método para identificar os números primos.
Só um número composto pode ser fatorado.

A fatoração de um número composto nada mais é que uma decomposição do número. Uma multiplicação de fatores primos.

Exercícios:

1) Quais dos números abaixo são compostos?

A) 81

B) 227

C) 463

D) 101

E) Nenhuma das respostas acima.

2) A fatoração que melhor representa o número 1386 é:

A) 2 . 3² . 7 . 11

B) 2³ . 3² . 5

C) 2² . 3 . 5 . 7

D) 2 . 5 . 7 . 41

E) 2 . 5 . 41

3) A forma fatorada 22 . 32 . 5 . 7 é do número:

A) 96

B) 324

C) 1024

D) 1260

E) 2870

Gabarito:

1 – A, 2 – A, 3 – D.

Referências:

GIOVANNI JR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. A Conquista da Matemática, 6º ano. São Paulo: FTD, 2009.

CENTURIÓN; Marília; JAKUBOVIC, José Rezende. Matemática Teoria e Contexto, 6º ano – São Paulo: Saraiva, 2015.

Imagens: Portal e- UNICAMP.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.