Números primos e fatoração

Saiba o que são os números primos e para que servem. Estude esse assunto de Matemática Básica com o Curso Enem Gratuito!

O estudo dos números primos nos dá uma outra perspectiva do conceito de número. Vamos apresentar a você o que são os números primos e os números naturais. Além disso, você vai aprender a usar o conceito de números divisíveis, conjunto de divisores, os critérios de divisibilidade, como fazer uma fatoração de um número composto.

Conceito de número primo

Um número natural é denominado primo quando:

– for maior que 1,
– for divisível somente por 1 e por ele mesmo.

Números primos e fatoração
Números Primos. Fonte: https://goo.gl/rn6rEU

Então se tivermos um número P, ele será primo se, e somente se, o número de divisores de P, for igual a 2.
Para você compreender melhor, vamos analisar se o número 11 é ou não um número Primo. Em primeiro lugar temos que determinar o conjunto de números naturais divisíveis por ele:

D(11) = {1,11}

Podemos dizer que o número de divisores de 11 é: n[D(11)] = 2 . Pois esse número tem somente dois divisores: 1 e 11.

Está difícil de entender ainda? Vamos então fazer uma analogia: pense em uma pizza. Imagine que essa pizza tem um tamanho médio com 11 fatias e que você quer dividi-la com um grupo de amigos. A divisão não será exata independente da quantidade de pessoas. Uma amigo ficará com uma fatia a mais, não é mesmo?

As possibilidades de termos a divisão exata dessa pizza é se apenas uma pessoa ficar com todas as fatias ou se dividirmos essa pizza para 11 pessoas.

Por isso, 11 é um número primo.

A condição necessária para identificarmos um número primo é que a divisão entre os números considerados seja inexata.

Os números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…

Relembre os conceitos como Critérios de Divisibilidade!

Número composto

Se você dividir um número por outros números além de 1 e dele mesmo e o resultado for exato, você terá um número composto.

Sendo assim, “A” é um número composto, se e somente se, o número de divisores de A, ou seja
n[D(A)] > 4. (Maior que 4).

Para você entender melhor, vamos a um exemplo:

O número 12 é composto ou primo?

O conjunto dos divisores de 12 é: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Logo, temos n[D(A)] = 6 e o número 12 é composto pois é divisível por 6 números. E, 6 > 4.

Método de Erastóstenes

Os números primos ainda podem ser identificados pelo Método de Erastóstenes.

Erastóstenes de Cirene ( 276 a.C. – 194 d.C.) foi um astrônomo, matemático, geógrafo e filósofo (entre outras atividades) que viveu na Grécia Antiga, tendo também sido chefe bibliotecário na famosa Biblioteca de Alexandria.

Ele elaborou um passo a passo para descobrirmos os números primos:

1º) Escrevemos os números de 1 a 50 ou o limite que você quiser.

2º) Riscamos o número 1 que não é primo.

3º) Circulamos o número 2.

4º) Riscamos todos os números divisíveis por 2.

5º) Circule o próximo número: 3.

6º) Riscamos todos os números divisíveis por 3.

7º) Continuamos circulando o próximo número e riscando seus divisíveis até o final da tabela.

Números primos e fatoração - tabela
Tabela de Erastóstenes. Fonte: https://goo.gl/cMPVnQ
Para revisar assista ao vídeo “O que são números primos?” com nosso colega Rafael Procópio:

Fatoração ou decomposição em fatores primos

Todo número composto pode ser fatorado ou decomposto num produto de fatores primos.

Decompor um número em fatores primos é o mesmo que reescrever esse número em forma de produto (multiplicação), onde todos os fatores desse produtos são primos.

Um exemplo simples: 12 pode ser escrito de diversas formas:
12 = 2 x 6 ( O número seis é composto.)

Temos que reescrever o número 6 através de um produto de números primos também:
12 = 2 x 2 x 3.

Essa é a decomposição em fatores primos do número 12.
Ainda podemos escrever os fatores que se repetem em forma de potência:
12 = 2² x 3. Pronto! Fácil, não é mesmo?

A regra para fatoração é simples:
dividimos o número composto pelo seu menor divisor primo.

O resultado pelo menos número primo seguindo os critérios de divisibilidade.
Continue a dividir até chegarmos ao resultado igual a 1.
Os divisores usados são escritos em forma de produto e temos a fatoração.

Veja o exemplo abaixo:

Números primos e fatoração - 2

Nessa aula, você aprendeu que:

Um número primo é divisível somente por 1 e por ele mesmo.
Um número é primo se sua divisão for inexata.

Erastóstenes foi um matemático que determinou um método para identificar os números primos.
Só um número composto pode ser fatorado.

A fatoração de um número composto nada mais é que uma decomposição do número. Uma multiplicação de fatores primos.

Exercícios:

1) Quais dos números abaixo são compostos?

A) 81

B) 227

C) 463

D) 101

E) Nenhuma das respostas acima.

2) A fatoração que melhor representa o número 1386 é:

A) 2 . 3² . 7 . 11

B) 2³ . 3² . 5

C) 2² . 3 . 5 . 7

D) 2 . 5 . 7 . 41

E) 2 . 5 . 41

3) A forma fatorada 22 . 32 . 5 . 7 é do número:

A) 96

B) 324

C) 1024

D) 1260

E) 2870

Gabarito:

1 – A, 2 – A, 3 – D.

Referências:

GIOVANNI JR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. A Conquista da Matemática, 6º ano. São Paulo: FTD, 2009.

CENTURIÓN; Marília; JAKUBOVIC, José Rezende. Matemática Teoria e Contexto, 6º ano – São Paulo: Saraiva, 2015.

Imagens: Portal e- UNICAMP.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.