Como fazer a fatoração de uma expressão algébrica

Veja como fatorar uma expressão algébrica. Fatoração é um novo modo de reescrever uma expressão em forma de produto. Aprenda agora no resumo com aula gratuita:

Nesta aula você vai revisar caso a caso como fatorar uma expressão algébrica. Para isso, estudaremos fator comum, fatoração por agrupamento, diferença entre dois quadrados e o trinômio quadrado perfeito.

O que é fatoração?

Fatoração é um novo modo de reescrever uma expressão em forma de produto. Confira uma introdução com o professor Lucas, do canal do Curso Enem Gratuito, e depois acompanhe a aula completa, com todas as dicas, exemplos e exercícios resolvidos.

Veja o exemplo a seguir para uma melhor compreensão sobre fatoração:

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Se tivermos uma expressão algébrica desse tipo:

2a² + 3a

Podemos afirmar que:

  1. a variável a aparece nos dois termos da expressão.
  2. podemos escrevê-la em forma de produto colocando a variável a em evidência.
  3. Veja como fica: a.(2a + 3)

Veja que isso pode facilitar a resolução de uma expressão. Assim, quando podemos reescrever uma expressão algébrica em forma de produto estamos fatorando a expressão.

Tipos de fatoração

Em seguida, saiba como fazer a fatoração de um fator comum, por agrupamento e pela diferença entre dois quadrados.

Fator comum

Dizemos que colocamos o fator que se repete em todos os termos da expressão em evidência, como mostramos no exemplo anterior. Quer mais um exemplo? Vamos lá!

2c²d² + 4c³d =

Temos mais que um termo que se repete aqui. Vamos reescrever a expressão para você entender:

2c²d² + 4c³d = 2c² . d . d + 2 . 2 . c² . c . d =

Reescrevemos a expressão toda em forma de produto e deixamos em vermelho os termos que se repetem nos dois termos da expressão. Agora é só colocar em evidência:

2c²d² + 4c³d = 2c² d . (d + 2c)

Está pronto! Observe que em vermelho são os termos que repetem e em preto são os termos que sobraram.

Agrupamento

Para fatorar um polinômio por agrupamento temos que:

  1. Identificar os termos que têm variáveis e números em comum.
  2. Agrupar esses termos
  3. Usar o método do fator comum.
  4. Agrupar os fatores em comum.
  5. Escrever em forma de produto.

Complicou? Nada! É fácil. Vamos colocar em prática? Veja o seguinte polinômio:

4p²x + 8p²y – 8pzx – 2pzy = 

Vamos descobrir os fatores comuns:

2.2p²x + 2.2.2p²y – 2.2.2pzx – 2pzy =

Agora vamos colocar os fatores comuns em evidência:

2.2p² . (x + 2y) – 2pz . (2x – y) =

4p² . (x + 2y) – 2pz . (2x – y) =

Precisamos agrupar os fatores em evidência:

(4p² – 2pz) . (x + 2y) . (2x – y) =

Ainda temos um fator comum, vamos fatorar:

2 . (2p² – pz) . (x + 2y) . (2x – y)

Viu? Não é tão complicado quando parece. A fatoração rapidinho está completa.

Diferença entre dois quadrados

Neste caso temos uma operação inversa aos produtos notáveis. O produto notável em questão aqui é o produto da soma pela diferença e sua forma geral é:

(a + b)(a – b) = (a² – b²)

Um exemplo desse tipo de fatoração é

49 . c4 – 81 . d² . b6 =

Para resolver esse tipo de fatoração basta extrair a raiz quadrada de cada termo:fatoração - raiz quadrada

Agora é só colocar no formato inverso do produto notável:

(a² – b²) = (a + b)(a – b)

49 . c4 – 81 . d² . b6 = (7c² + 9db³)(7c² – 9db³)

E está pronta a fatoração dessa expressão.

Trinômio quadrado perfeito

É o inverso do quadrado da soma ou o quadrado da diferença:

(a ± b)² = a² ± 2 . a. b + b²

Veja como fazer:

  1. Identifique o termo do meio como duas vezes o primeiro pelo segundo.
  2. Identifique se é soma ou diferença.
  3. Extraia a raiz quadrada do primeiro e último termo do polinômio.

Vamos para a prática:

4z² – 8zk + k² =

O termo do meio é:

8zk = 2 . 4z . 1k

O sinal do termo do meio é negativo, isso é quadrado da diferença.

A raiz quadrada do primeiro termo é:fatoração - primeiro termo

A raiz quadrada do último termo é:fatoração - raiz quadrada

Basta montar o produto notável:

4z² – 8zk + k² = (2z – k)²

Essas dicas são importantes para você! Nas provas do Enem e do vestibular esses temas são usados como ferramentas para a resolução de problemas envolvendo geometria, estatística entre outros.

Veja mais sobre os produtos notáveis com a videoaula do nosso canal:

Simulado de Fatoração

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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