Fatoração

Veja como fatorar uma expressão algébrica. Venha revisar com a gente esse importante tema de Matemática para o Enem!

Nesta aula você vai revisar caso a caso como fatorar uma expressão algébrica. Para isso, estudaremos fator comum, fatoração por agrupamento, diferença entre dois quadrados e o trinômio quadrado perfeito.

Todos esses assuntos de álgebra aparecem muito no Enem e nos vestibulares. Vem com a gente!

fatoração - álgebra
Quadro branco com exercício de Álgebra. Fonte: Freepick – https://goo.gl/iVxTEt

Mas, o que é mesmo uma fatoração?

Fatoração é um novo modo de reescrever uma expressão em forma de produto.
Veja o exemplo a seguir para uma melhor compreensão sobre o assunto.

Se tivermos uma expressão algébrica desse tipo:

fatoração - expressão

Podemos afirmar que:

a variável  aparece nos dois termos da expressão.

podemos escrevê-la em forma de produto colocando a variável  em evidência.

Veja como fica: 

Veja que isso pode facilitar a resolução de uma expressão. Assim, quando podemos reescrever uma expressão algébrica em forma de produto estamos fatorando a expressão.

Tipos de fatoração

Fator comum:

Dizemos que colocamos o fator que se repete em todos os termos da expressão em evidência, como mostramos no exemplo anterior. Quer mais um exemplo? Vamos lá!

fatoração - exemplo

Temos mais que um termo que se repete aqui. Vamos reescrever a expressão para você entender:

fatoração - exemplo 2

Reescrevemos a expressão toda em forma de produto e deixamos em vermelho os termos que se repetem nos dois termos da expressão. Agora é só colocar em evidência:

fatoração - exemplo 3

Está pronto! Observe que em vermelho são os termos que repetem e em preto são os termos que sobraram.

Agrupamento:

Para fatorar um polinômio por agrupamento temos que:
Identificar os termos que têm variáveis e números em comum.

Agrupar esses termos

Usar o método do fator comum.
Agrupar os fatores em comum.
Escrever em forma de produto.

Complicou? Nada! É fácil. Vamos colocar em prática? Veja o seguinte polinômio:

fatoração - polinômio

Vamos descobrir os fatores comuns:

fatoração - fatores comuns

Agora vamos colocar os fatores comuns em evidência:

fatoração - fatores comuns em evidência

Precisamos agrupar os fatores em evidência:

fatoração

Ainda temos um fator comum, vamos fatorar:

fatoração - fator comum

Viu? Não é tão complicado quando parece. A fatoração rapidinho está completa.

Diferença entre dois quadrados:

Neste caso temos uma operação inversa aos produtos notáveis.
O produto notável em questão aqui é o produto da soma pela diferença e sua forma geral é: fatoração - produto da soma pela diferença

Um exemplo desse tipo de fatoração é fatoração - tipo

Para resolver esse tipo de fatoração basta extrair a raiz quadrada de cada termo:

fatoração - raiz quadrada

Agora é só colocar no formato inverso do produto notável:

fatoração - produto notável

E está pronta a fatoração dessa expressão.

Veja esta videoula da Khan Academy e revise o tema produtos notáveis:

Trinômio quadrado perfeito:

É o inverso do quadrado da soma ou o quadrado da diferença:

fatoração - trinômio

Como fazer:

Identifique o termo do meio como duas vezes o primeiro pelo segundo.
Identifique se é soma ou diferença.
Extraia a raiz quadrada do primeiro e último termo do polinômio.

Vamos para a prática?

fatoração - polinômio

O termo do meio é:

fatoração - termo do meio

O sinal do termo do meio é negativo, isso é quadrado da diferença.

A raiz quadrada do primeiro termo é:

fatoração - primeiro termo

A raiz quadrada do último termo é:

fatoração - raiz quadrada

Basta montar o produto notável:

fatoração - produto notável

Relembre o que é o quadrado da soma e o quadrado da diferença na Khan Academy:

Essas dicas são importantes para você! Nas provas do Enem e do vestibular esses temas são usados como ferramentas para a resolução de problemas envolvendo geometria, estatística entre outros.

Pratique para aprender mais!

1. (PUC MG) A expressão fatoração - exercício, fatorada, apresenta quatro fatores. A soma desses fatores é:

a) 4A
b) 4B
c) A + 2
d) B + 2
e) A + B

2. Uma indústria fabrica uma placa metálica no formato de um retângulo de lados (ax + by) e (bx + ay) .
Encontre, de forma fatorada, o perímetro deste retângulo.

a) 2(a + b)(x + y)
b) 4(a + b)(x + y)
c) 2(a – b)(x – y)
d) 4(a – b)(x – y)
e) (a + b)(x + y)

3. Determine o valor do produto (3x + 2y)2, sabendo que 9×2 + 4y2 = 25 e xy = 2.

a) 27
b) 31
c) 38
d) 49
e) 54

Gabarito:

1. a

2. a

3. d

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.