Como fazer a fatoração de uma expressão algébrica
Aprenda o que é uma Expressão Algébrica. Fatoração é um novo modo de reescrever uma expressão em forma de produto. Aprenda agora no resumo com aula gratuita:
Nesta aula você vai revisar caso a caso como fatorar uma expressão algébrica. Para isso, estudaremos fator comum, fatoração por agrupamento, diferença entre dois quadrados e o trinômio quadrado perfeito.
O que é uma Expressão Algébrica
O nome assusta muita gente: Expressão Algébrica. Mas, é um conteúdo básico, que você aprendeu ainda lá no Ensino Fundamental. É a base da matemática. Você já sabe, sim, só precisa lembrar um pouco.
Confira agora com o professor Sérgio Sarkis, do canal do Curso Enem Gratuito, os fundamentos de Expressão Algébrica e de Produtos Notáveis. Em seguida você avança com a Fatoração, com o professor Lucas Borguezan.
O que é fatoração?
Fatoração é um novo modo de reescrever uma expressão em forma de produto. Complicou pra você esta defiição? Calma, que o Curso Enem Gratuito vai traduzir pra você aprender de uma vez por todas.
Confira uma introdução com o professor Lucas, do canal do Curso Enem Gratuito, e depois acompanhe a aula completa, com todas as dicas, exemplos e exercícios resolvidos.
Veja o exemplo a seguir para uma melhor compreensão sobre fatoração:
Se tivermos uma expressão algébrica desse tipo:
2a² + 3a
Podemos afirmar que:
- a variável a aparece nos dois termos da expressão.
- podemos escrevê-la em forma de produto colocando a variável a em evidência.
- Veja como fica: a.(2a + 3)
Veja que isso pode facilitar a resolução de uma expressão. Assim, quando podemos reescrever uma expressão algébrica em forma de produto estamos fatorando a expressão.
Tipos de fatoração
Em seguida, saiba como fazer a fatoração de um fator comum, por agrupamento e pela diferença entre dois quadrados.
Fator comum
Dizemos que colocamos o fator que se repete em todos os termos da expressão em evidência, como mostramos no exemplo anterior. Quer mais um exemplo? Vamos lá!
2c²d² + 4c³d =
Temos mais que um termo que se repete aqui. Vamos reescrever a expressão para você entender:
2c²d² + 4c³d = 2c² . d . d + 2 . 2 . c² . c . d =
Reescrevemos a expressão toda em forma de produto e deixamos em vermelho os termos que se repetem nos dois termos da expressão. Agora é só colocar em evidência:
2c²d² + 4c³d = 2c² d . (d + 2c)
Está pronto! Observe que em vermelho são os termos que repetem e em preto são os termos que sobraram.
Agrupamento
Para fatorar um polinômio por agrupamento temos que:
- Identificar os termos que têm variáveis e números em comum.
- Agrupar esses termos
- Usar o método do fator comum.
- Agrupar os fatores em comum.
- Escrever em forma de produto.
Complicou? Nada! É fácil. Vamos colocar em prática? Veja o seguinte polinômio:
4p²x + 8p²y – 8pzx – 2pzy =
Vamos descobrir os fatores comuns:
2.2p²x + 2.2.2p²y – 2.2.2pzx – 2pzy =
Agora vamos colocar os fatores comuns em evidência:
2.2p² . (x + 2y) – 2pz . (2x – y) =
4p² . (x + 2y) – 2pz . (2x – y) =
Precisamos agrupar os fatores em evidência:
(4p² – 2pz) . (x + 2y) . (2x – y) =
Ainda temos um fator comum, vamos fatorar:
2 . (2p² – pz) . (x + 2y) . (2x – y)
Viu? Não é tão complicado quando parece. A fatoração rapidinho está completa.
Diferença entre dois quadrados
Neste caso temos uma operação inversa aos produtos notáveis. O produto notável em questão aqui é o produto da soma pela diferença e sua forma geral é:
(a + b)(a – b) = (a² – b²)
Um exemplo desse tipo de fatoração é
49 . c4 – 81 . d² . b6 =
Para resolver esse tipo de fatoração basta extrair a raiz quadrada de cada termo:
Agora é só colocar no formato inverso do produto notável:
(a² – b²) = (a + b)(a – b)
49 . c4 – 81 . d² . b6 = (7c² + 9db³)(7c² – 9db³)
E está pronta a fatoração dessa expressão.
Trinômio quadrado perfeito
É o inverso do quadrado da soma ou o quadrado da diferença:
(a ± b)² = a² ± 2 . a. b + b²
Veja como fazer:
- Identifique o termo do meio como duas vezes o primeiro pelo segundo.
- Identifique se é soma ou diferença.
- Extraia a raiz quadrada do primeiro e último termo do polinômio.
Vamos para a prática:
4z² – 8zk + k² =
O termo do meio é:
8zk = 2 . 4z . 1k
O sinal do termo do meio é negativo, isso é quadrado da diferença.
A raiz quadrada do primeiro termo é:
A raiz quadrada do último termo é:
Basta montar o produto notável:
4z² – 8zk + k² = (2z – k)²
Essas dicas são importantes para você! Nas provas do Enem e do vestibular esses temas são usados como ferramentas para a resolução de problemas envolvendo geometria, estatística entre outros.
Veja mais sobre os produtos notáveis com a videoaula do nosso canal:
Simulado de Fatoração
.
para x = 0,8 e y = 0,3 é igual a:
, obtém-se:
, 
e 
, a expressão 
tem como resultado:
Sobre o(a) autor(a):
Wania Maria de A. Pereira - A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.
