Fatoração

Veja como fatorar uma expressão algébrica. Venha revisar com a gente esse importante tema de Matemática para o Enem!

Nesta aula você vai revisar caso a caso como fatorar uma expressão algébrica. Para isso, estudaremos fator comum, fatoração por agrupamento, diferença entre dois quadrados e o trinômio quadrado perfeito.

Todos esses assuntos de álgebra aparecem muito no Enem e nos vestibulares. Vem com a gente!

Mas, o que é mesmo uma fatoração?

Fatoração é um novo modo de reescrever uma expressão em forma de produto.
Veja o exemplo a seguir para uma melhor compreensão sobre o assunto.

Se tivermos uma expressão algébrica desse tipo:

Podemos afirmar que:

a variável  aparece nos dois termos da expressão.

podemos escrevê-la em forma de produto colocando a variável  em evidência.

Veja como fica: 

Veja que isso pode facilitar a resolução de uma expressão. Assim, quando podemos reescrever uma expressão algébrica em forma de produto estamos fatorando a expressão.

Tipos de fatoração

Fator comum:

Dizemos que colocamos o fator que se repete em todos os termos da expressão em evidência, como mostramos no exemplo anterior. Quer mais um exemplo? Vamos lá!

Temos mais que um termo que se repete aqui. Vamos reescrever a expressão para você entender:

Reescrevemos a expressão toda em forma de produto e deixamos em vermelho os termos que se repetem nos dois termos da expressão. Agora é só colocar em evidência:

Está pronto! Observe que em vermelho são os termos que repetem e em preto são os termos que sobraram.

Agrupamento:

Para fatorar um polinômio por agrupamento temos que:
Identificar os termos que têm variáveis e números em comum.

Agrupar esses termos

Usar o método do fator comum.
Agrupar os fatores em comum.
Escrever em forma de produto.

Complicou? Nada! É fácil. Vamos colocar em prática? Veja o seguinte polinômio:

Vamos descobrir os fatores comuns:

Agora vamos colocar os fatores comuns em evidência:

Precisamos agrupar os fatores em evidência:

Ainda temos um fator comum, vamos fatorar:

Viu? Não é tão complicado quando parece. A fatoração rapidinho está completa.

Diferença entre dois quadrados:

Neste caso temos uma operação inversa aos produtos notáveis.
O produto notável em questão aqui é o produto da soma pela diferença e sua forma geral é: 

Um exemplo desse tipo de fatoração é 

Para resolver esse tipo de fatoração basta extrair a raiz quadrada de cada termo:

Agora é só colocar no formato inverso do produto notável:

E está pronta a fatoração dessa expressão.

Veja esta videoula da Khan Academy e revise o tema produtos notáveis:

Trinômio quadrado perfeito:

É o inverso do quadrado da soma ou o quadrado da diferença:

Como fazer:

Identifique o termo do meio como duas vezes o primeiro pelo segundo.
Identifique se é soma ou diferença.
Extraia a raiz quadrada do primeiro e último termo do polinômio.

Vamos para a prática?

O termo do meio é:

O sinal do termo do meio é negativo, isso é quadrado da diferença.

A raiz quadrada do primeiro termo é:

A raiz quadrada do último termo é:

Basta montar o produto notável:

Relembre o que é o quadrado da soma e o quadrado da diferença na Khan Academy:

Essas dicas são importantes para você! Nas provas do Enem e do vestibular esses temas são usados como ferramentas para a resolução de problemas envolvendo geometria, estatística entre outros.

Pratique para aprender mais!

1. (PUC MG) A expressão , fatorada, apresenta quatro fatores. A soma desses fatores é:

a) 4A
b) 4B
c) A + 2
d) B + 2
e) A + B

2. Uma indústria fabrica uma placa metálica no formato de um retângulo de lados (ax + by) e (bx + ay) .
Encontre, de forma fatorada, o perímetro deste retângulo.

a) 2(a + b)(x + y)
b) 4(a + b)(x + y)
c) 2(a – b)(x – y)
d) 4(a – b)(x – y)
e) (a + b)(x + y)

3. Determine o valor do produto (3x + 2y)2, sabendo que 9×2 + 4y2 = 25 e xy = 2.

a) 27
b) 31
c) 38
d) 49
e) 54

Gabarito:

1. a

2. a

3. d