Operações com Polinômios

A base do cálculo algébrico é fundamental na resolução da maioria dos problemas envolvendo Matemática apresentados em vestibulares e no Enem. Venha revisar com a gente!

A linguagem matemática e a álgebra fazem parte da maioria dos temas das ciências exatas que estudamos para a prova do Enem. Seja na Matemática, na Física ou na Química, quase sempre nos deparamos com problemas envolvendo polinômios. Portanto, saber os conceitos básicos dessas operações matemáticas é fundamental para mandar bem no Enem e nos vestibulares. Vem com a gente revisar Matemática nesta aula sobre operações com polinômios!

operações com polinômios - cálculos
A figura mostra um quadro verde cheio de fórmulas, uma mesa com um copo cheio de lápis de cor e um relógio.
Fonte: Freepik < https://goo.gl/wfjUZp >

As expressões algébricas são aquelas expressões em que números e variáveis coexistem. Essas expressões podem ser nomeadas pelo número de termos algébricos:

  • Monômio: um termo algébrico, como 5x².
  • Binômio: possui dois termos algébricos, como ax² + 3.
  • Trinômio: três termos algébricos, como 4a² +3b³ – 2.
  • Polinômios: mais de três termos algébricos, como 7c – 2b + 3t² + 5ª.

Os polinômios são as expressões mais utilizadas. Seu grau é dado pelo valor do maior expoente de uma de suas variáveis(letras). Veja alguns exemplos:

a) 2d2 + 7a²c³ + 2tk – x3, o expoente maior aqui é o 3, então o polinômio é de 3º grau.
b) 5at3 + 27a²b³ – 12 t + 3k5 , nesse caso grau 5.

Acesse a aula sobre Expressões numéricas e algébricas – Matemática Enem para lembrar o que são expressões algébricas!

Adição e Subtração com Polinômios

Para resolver uma adição ou subtração de polinômios, você precisa fazer os seguintes procedimentos:

1º) Elimine os sinais de associação, se tiver.
2º) Reúna os termos semelhantes (aqueles que têm a mesma letra e o mesmo expoente) e reduza-os. E pronto!

Observe o exemplo abaixo:

operações com polinômios

Em primeiro lugar, tiramos os parênteses. Cuidado com o sinal negativo, ele indica que ao tirarmos os parênteses temos que trocar os sinais de todas os termos que estão dentro deles:

operações com polinômios

Agora vamos separar os termos que são semelhantes. Nesse caso, separei por cores. Veja:

operações com polinômios

Agora é só resolver:

operações com polinômios

Não esqueça que:

Somamos números com o mesmo sinal e o sinal permanece no resultado, como, operações com polinômios

Subtraímos números com sinais diferentes e o resultado fica o sinal do algarismo maior, como fizemos na expressão: 

Multiplicação

Nesta operação, multiplicamos termo a termo e temos que ter cuidado com os expoentes.

Na multiplicação aplicamos a Propriedade de Potências de mesma Base onde conservamos a base e somamos os expoentes. Esse princípio é representado pela seguinte expressão: 

Vamos aprender a multiplicar passo a passo:

a) Monômio por Polinômio

Vejamos essa operação através de um exemplo:
Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio que está fora dos parênteses, coeficiente com coeficiente:

Aplicamos a propriedade de Potências de mesma Base:

E está pronto!

b) Polinômio por Polinômio:
Usamos ou método acima para esse tipo de multiplicação também! Veja:

Multiplicamos termos a termo:

Aplicamos a propriedade de potências de mesma base:

Juntamos os termos semelhantes:

Os termos em azul se anulam pois tem sinais opostos e tem mesmo coeficiente (número) e parte literal. Já os outros termos fizemos as operações normalmente e está resolvido.

operações com polinômios

Divisão

Na divisão com polinômios precisamos também aplicar uma propriedade de potência: Quociente de potências de mesma base, onde “conservamos a base e subtraímos os expoentes”. Veja como fica a expressão na linguagem matemática:

operações com polinômios

Agora, que você já sabe o que tem que fazer, vamos ilustrar as divisões com exemplos práticos.

Divisão de monômio por monômio:

Essa divisão é simples pois dividimos os coeficientes e aplicamos a propriedade de quociente de potências de mesma base. Veja exemplo:

Divisão polinômios por monômios

Dividimos termo a termo do polinômio pelo monômio, usando a propriedade de quociente de mesma base:

Para melhor compreensão representamos a divisão através da fração.

Dividimos os coeficientes que estão coloridos em primeiro lugar:

Agora, subtraímos os expoentes das bases iguais:

No resultado ainda surgiu uma outra propriedade da Potência que é “toda base elevada ao expoente zero tem a sua potência igual a 1”:

Então temos o resultado da divisão:

operações com polinômios

Nosso objetivo em escrever esse artigo foi mostrar as principais operações utilizando Polinômios. Espero que com esta aula você fortaleça sua base matemática para desvendar as situações-problema apresentadas em provas de vestibular e Enem.

Para finalizar sua revisão, veja nossas videoaulas do nosso canal:

Exercícios:

1) (Uel) O polinômio p tem grau 4n+2 e o polinômio q tem grau 3n-1, sendo n inteiro e positivo. O grau do polinômio p.q é sempre

a) igual ao máximo divisor comum entre 4n + 2 e 3n -1.

b) igual a 7n + 1.

c) inferior a 7n + 1.

d) igual a 12n² + 2n + 2.

e) inferior a 12n² + 2n + 2.

2)(ENEM – 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:

em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.

A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.

Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

a) 5
b) 11
c) 13
d) 23
e) 33

3) (Enem 2012) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é:

a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado.
b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para (1 – 0,2)a².
c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para (0,8a)3.
d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.
e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

GABARITO:

1 – b; 2 – b; 3 – c.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.