O que é permutação e como calcular

A permutação é uma maneira de sequenciar um conjunto de elementos de forma que, em cada sequência, a ordem desses elementos é diferente. Entenda com este resumo!

Vem conosco aprender aquilo que você precisa saber sobre fatorial e permutação para arrasar no Enem! Tem videoaula e questões de revisão para complementar seus estudos.

Análise combinatória, fatorial e permutação

Um dos temas abordados na análise combinatória é a diversidade na forma de agrupar os elementos de um conjunto.

Essa diversidade se dá pelo fato de que características diferentes do conjunto ou do problema em questão geram diferentes possibilidades de agrupamento.

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As seguintes perguntas podem te ajudar a pensar nas características que diferenciam esses tipos de agrupamentos:

  • A ordem dos elementos importa?
  • Estou agrupando todos os elementos do conjunto ou só uma parte?
  • Existem repetições? Elas importam?

Nesta aula, vamos estudar um tipo de agrupamento conhecido como permutação. Para isso, vamos aprender como calcular e quais são as principais propriedades dos números fatoriais, um tema que é necessário para o estudo de permutações e outras formas de agrupamento.

O que é fatorial

Fatorial é uma operação matemática representada por “!”, que aparece frequentemente quando trabalhamos com análise combinatória.

Diferente das operações básicas, a fatorial precisa de apenas uma entrada numérica para fazer sentido. Veja que quando falamos “2 + 5” estamos relacionando dois valores, 2 e 5. Já quando falamos de fatorial precisamos de apenas um valor, como por exemplo, “2!”.

Por esse motivo, é comum chamarmos o resultado da operação de “fatorial de um número”. No exemplo anterior poderíamos ler “2!” como “fatorial de 2” ou ainda “2 fatorial”.

Outra característica importante sobre essa operação é que só irá existir o fatorial de números naturais.

Dessa forma, quando calculamos o fatorial de um número, nosso objetivo é encontrar o resultado da multiplicação daquele número por todos seus antecessores naturais até o número 1. Por exemplo, ao calcular o fatorial de 5 temos como resultado:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

De forma similar, 4 fatorial será:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

Alternativamente, podemos escrever 5! como:

5! = 5 . 4! = 5 . 24 = 120

A fim de entender melhor, veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1

Sabendo que 9! = 362.880, calcule 10!

Para resolver esse exercício, podemos escrever 10! da seguinte maneira:

10! = 10 . 9!

Dessa forma, substituindo 9! por 362.880 (valor dado pelo exercício), obtemos:

10! = 10 . 362.880

10! = 3.628.880

Exemplo 2

Sabendo que 8! = 40.320, calcule 7!

De forma similar à resolução do exemplo anterior, podemos escrever 8! da seguinte maneira:

8! = 8 . 7

Assim, substituindo 8! por 40.320, obtemos:

40.320 = 8 . 7!

40.320/8 = 7!

7! = 5.040

Importante: a operação fatorial não possui propriedades especiais com a soma, subtração e multiplicação.

Isso significa que sempre que uma dessas operações envolver fatoriais você precisa primeiro resolver cada fatorial separadamente. Veja no exemplo a seguir:

4! + 5! = 24 + 120 = 144 ≠ 9!

5! – 3! = 120 – 6 = 114 ≠ 2!

4! . 4! = 24 . 24 = 576 ≠ 16!

Entretanto, com a divisão a situação é diferente. Quando dividirmos um fatorial por outro, podemos aplicar um processo conhecido como simplificação fatorial, se liga no exemplo:

Exemplo 3

Calcule 12! dividido por 10!

fatorial de 12 dividido por fatorial de 10

Simplificando, obtemos:

Simplificação de fatorial de 12 dividido por fatorial de 10

Exemplo 4

Calcule 6! dividido por 8!

fatorial de 6 dividido por fatorial de 8

Simplificando, obtemos:

Simplificação de fatorial de 6 dividido por fatorial de 8

Isto é, quando temos a divisão de dois fatoriais, podemos simplificar eles de forma que o maior seja substituído pela multiplicação dele e seus antecedentes até o sucessor do menor. O menor, por sua vez, é substituído por 1. Em 12! dividido por 10!, poderíamos ter substituído 12! por 12 . 11 e 10! por 1.

Atenção: é muito comum quando trabalhamos com fatoriais nos deparamos com o cálculo de 0! Mais comum ainda é encontrarmos alunos se confundindo com esse valor. Não se esqueça! Temos por definição que:

0! = 1

Outros problemas: É possível encontrar fatoriais em todo tipo de problema. Vejamos alguns exemplos envolvendo equações:

Exemplo 5

Resolva a equação x – 9 = 3! para x:

x – 9 = 3!

x – 9 = 6

x = 15

Exemplo 6

Resolva a equação (4x – 5)! – 4320 = 6!

(4x – 5)! – 4320 = 6!

(4x – 5)! – 4320 = 720

(4x – 5)! = 5040

(4x – 5)! = 7

Aqui, podemos “cortar” o fatorial de ambos os lados da equação:

4x – 5 = 7

4x = 12

x = 3

O que é permutação

Permutação é a forma de agrupar todos os elementos de um conjunto em que a ordem importa. Por exemplo, se considerarmos como nosso conjunto as letras A, M, O e R, as palavras AMOR e ROMA são permutações diferentes.

Assim, quando estudamos permutações, a nossa principal pergunta é: de quantas maneiras diferentes conseguimos permutar esse conjunto?

Usando o exemplo anterior, de quantas formas eu consigo permutar a palavra AMOR? Em outras palavras, quantos anagramas diferentes existem para a palavra AMOR?

Para responder a essa pergunta, primeiramente vamos fazer uma análise de quem são nossas permutações. Veja que todas as nossas permutações vão ser palavras de quatro letras contendo A, M, O e R em ordens diferentes.

Vamos, então, calcular quantas existem:

  1. Começando pela primeira letra, você terá 4 opções de escolha. Suponha que você escolhe uma qualquer entre as 4.
  2. Agora, você terá que escolher a segunda entre as 3 letras restantes. Suponha que você escolheu uma qualquer entre as 3. Veja que até agora você teve um total de 12 opções de escolha: para as 4 primeiras escolhas 3 outras foram possíveis na segunda letra.
  3. Para a terceira letra sobram apenas duas opções. Suponha que você escolha uma qualquer entre as 2. Note como seu total de opções soma 24, já que para cada uma das 12 opções diferentes tivemos duas novas.
  4. Para a quarta e última letra você não tem mais opções de escolha e termina a palavra com a letra restante, sem novas opções.

Concluímos que no total tivemos 24 formas de permutar a palavra amor. Como chegamos nisso?

Primeiro multiplicamos as 4 primeiras opções pelas 3 opções seguintes. Em seguida multiplicamos o resultado pelas duas opções de terceira letra. Por fim, multiplicamos esse resultado por 1, a única opção da quarta letra.

Fórmula da permutação

Isso parece familiar? É porque calcular o número de permutações simples – aquelas que não têm repetição de elementos –  é exatamente encontrar o valor do número de elementos. A fórmula fica assim:

Pn = n!

Onde n é o número de elementos do conjunto e todos eles são distintos entre si.

Para entender melhor, veja o exemplo a seguir.

Exemplo 7

Quantas são as permutações possíveis do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}?

Como o conjunto possui 4 elementos distintos, o número de permutações será:

P5 = 5!

P5 = 120

Permutação com repetição

Imagine agora que você queria calcular o número de permutações da palavra ENEM.

Embora pareça intuitivo repetir o procedimento, a repetição da letra E causará problemas na contagem. Perceba que a palavra ENEM se repetirá, pois temos duas vezes a letra E.

Para solucionar o problema, precisamos dividir a fórmula original pelo número de repetições de cada palavra, para isso, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Fórmula de permutação com repetição

Onde “n” é o número de elementos, e “a” o número de vezes que o elemento se repete. No nosso exemplo, a nossa palavra possui 4 letras e uma delas se repete duas vezes, portanto:

Cálculo de permutação

Agora, se mais de um elemento se repete, podemos sofisticar a fórmula considerando o número de vezes que cada elemento se repete:

Fórmula de permutação com mais de uma repetição

Onde “n” é o número de elementos, “a1” é o número de vezes que o primeiro elemento se repete, “a2” é o número de vezes que o segundo elemento se repete, e assim sucessivamente.

Conseguiu entender? Veja mais um exemplo em seguida.

Exemplo 8

Calcule o número de anagramas da palavra matemática.

Matemática é uma palavra com 10 letras, sendo que:

  • a letra “m” se repete duas vezes;
  • a letra “a” se repete três vezes;
  • e a letra “t” se repete duas vezes.

Assim:

Cálculo de permutações da palavra matemática

Portanto, a palavra matemática possui 151.200 anagramas.

Permutação circular

Por fim, imagine que você queira distribuir 5 crianças em um círculo. Embora a posição relativa delas às outras crianças importe, não é relevante pensar na ordem de começo e fim, já que podemos rodar as crianças sem mudar a sua configuração.

Portanto, quando vamos calcular uma permutação de elementos dispostos em um círculo, precisamos dividir total de permutações pelo número de formas que conseguimos rodar o círculo sem mudar a ordem dos seus elementos. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:

PCn = (n – 1)!

Onde n é o número de elementos.

Videoaula sobre permutação

Aproveite para assistir nossa aula sobre permutações e revisar seus conhecimentos com as questões logo abaixo.

Exercícios

1- (ENEM/2020)

Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @. O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.

Ele sabe que o e-mail [email protected] já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.

De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?

a) 59

b) 60

c) 118

d) 119

e) 120

2- (UEG GO/2018)

O número de anagramas que se pode formar com a palavra ARRANJO é igual a

a) 21

b) 42

c) 040

d) 520

e) 260

3- (Unicamp SP/2021)

O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é

a) 9!.

b) 9!/2!.

c) 9!/(2! 2!).

d) 9!/(2! 2! 2!).

4- (UNITAU SP/2015)

O valor de 8!/6! é

a) 48

b) 56

c) 4/3

d) 8

e) 6

5- (UNITAU SP/2014)

Sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais, o conjunto solução da equação n! = 12(n – 1)! é

a) S = {1; –1}

b) S = {12}

c) S = {1}

d) S = {–1}

e) S = {–1;12}

6- (UFPel RS/2007)

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. Esses arranjos são chamados permutações simples e número de permutações é dado pelo produto  n(n-1)(n-2) . … . 3 . 2 . 1

Utilizando essa teoria, o valor de n! na expressão (n + 1)! – 2n! = 6(n – 1)! é

a) 2.

b) 3.

c) 6.

d) 1.

e) 24.

GABARITO:

  1. D
  2. E
  3. C
  4. B
  5. B
  6. C

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

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