Análise Combinatória e Cálculo Fatorial: fórmulas e exemplos

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Análise combinatória é um conjunto de métodos utilizados para contar possibilidades. Entenda o que é princípio aditivo e multiplicativo, e aprenda a utilizar fatoriais!

Análise combinatória é um tema que possui uma fama ruim nas escolas devido ao nome que carrega, já que, se você parar para pensar, se deparar com as palavras “análise” e “combinatória” realmente causa um estranhamento. O que é algo bastante contraditório, pois análise combinatória nada mais é do que um compilado de métodos para contar – mais precisamente, para contar possibilidades.

E, aprender a contar, é uma das coisas que primeiro nos ocorrem na vida, desde lá no período sensório-motor aos dois ou três anos de idade. Assim, é só colocar a cabeça para funcionar na hora de resolver exercícios desse tipo. Bora revisar Matemática para o Enem?

Cálculo fatorial

Para começar bem este resumo veja um resumo rápido sobre o Cálculo Fatorial, com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito.

Princípio Aditivo na Análise Combinatória

Suponha que um evento X possa ocorrer de x maneiras possíveis e um evento distinto Y possa ocorrer de y maneiras possíveis. Então (X ou Y) pode ocorrer de maneiras diferentes.

Exemplo: Imagine que na sua cidade tem 2 praças e 3 praias, e você só tem R$ 4,20, que é o preço da passagem para ir até um dos lugares. Caso você escolha ir à praia, terá 3 opções. Caso escolha ir à praça, terá duas opções. Logo, o número total de possibilidades dentre as quais você pode escolher uma é

2 + 3 = 5

O princípio aditivo é utilizado para contagem de eventos mais simples, mas é preciso prestar atenção no conectivo ou: você escolhe uma das praias ou você escolhe uma das praças.

Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem

Um exemplo clássico no estudo da análise combinatória é o da combinação de roupas.

Exemplo: Suponha que Júlia tenha 3 calças, uma verde, uma preta e uma azul, e 2 blusas, uma branca e uma laranja. De quantas maneiras diferentes Júlia pode se vestir?

Bem, pelo diagrama da árvore temos que:

análise combinatória - diagrama de árvore

Assim, Júlia tem, no total, 6 combinações diferentes de cores de calças e blusas. Contudo, o diagrama da árvore não é o método mais eficaz para esse tipo de contagem.

Aqui, utilizamos uma pequena quantidade de dados, mas imagine se Julia tivesse 30 calças, e 55 blusas. Ia ser um trabalho e tanto para a contagem de todas as combinações, não é mesmo?

É da necessidade de contabilizar grandes quantidades e possibilidades de combinações que surge o princípio fundamental da contagem, ou também chamado de princípio multiplicativo. Ele nos diz que:

“Se uma decisão x pode ser tomada de n maneiras sucessivas e independentes e, em seguida, outra decisão y puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras de tomarmos as decisões x e y será dado por n . m .”

Resumo sobre Análise Combinatória

Agora que você já dominou os fundamentos da Análise Combinatória, confira um exercício resolvido.

Exemplos de exercícios sobre análise combinatória

Vejamos através de um exemplo o que esse enunciado quer dizer na prática:

Exemplo 1: Um restaurante serve 3 pratos quentes: frango, peixe e carne; 4 tipos de saladas: salada verde, maionese, tomates e picles; e duas sobremesas: sorvete e brownie. De quantas maneiras diferentes Cláudia pode se servir, consumindo apenas um prato quente, uma sobremesa e uma salada?

Solução: veja que nesse problema temos 3 tipos diferentes de tomada de decisão

x: escolher entre frango, peixe ou carne

y: escolher entre salada verde, maionese, tomates ou picles

z: escolher entre sorvete ou brownie.

A tomada de decisão x, nos dá 3 possibilidades, a tomada de decisão y nos dá 4 possibilidades e a tomada de decisão z nos dá 2 possibilidades, sendo assim, de acordo com o enunciado temos que:

3 x 4 x 2 = 24

Cláudia tem 24 maneiras diferentes de se servir nesse restaurante.

Veja também um exemplo com possibilidades de combinações entre números naturais:

Exemplo 2: Um número de 3 algarismos distintos (centenas, dezenas, unidades) é formado por três ordens. Nesse caso, a ordem das centenas não pode levar o número zero. Vamos desenhar um esquema para melhor compreensão.

análise combinatória

No esquema acima, temos 3 tomadas de decisão:

Escolher o algarismo das centenas diferente de zero (são 9 números do 1 ao 9, portanto, 9 opções):

análise combinatória

Em seguida, escolher o algarismo das dezenas diferente do que já foi escolhido para ocupar a centena (10 números do 0 ao 9, menos o que já foi escolhido, portanto, 9 opções):

análise combinatória

Por fim, escolher o algarismo das unidades, diferente dos que já foram utilizados para ocupar a centena e a dezena (restaram apenas 8 opções):

Portanto, o total de números formados por 3 algarismos é igual a 9 . 9 . 8 = 648 números.

Cálculo Fatorial

Uma ferramenta bastante utilizada em problemas de contagem é o fatorial de um número. O fatorial de um número natural nada mais é do que o produto desse número por todos os seus antecessores. O símbolo ! (exclamação) é utilizado para indicar o fatorial de um número. Veja o exemplo.

Exemplos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2! = 2 x 1 = 2

O fatorial do número zero é definido por 0! = 1.

Pode-se utilizar simplificações para trabalhar com fatorial, como:

Exemplo:

O uso do fatorial na análise combinatória facilita muito alguns cálculos. Guarde essas informações para os estudos posteriores de tipos de ferramentas utilizadas na análise combinatória.

Videoaula

Para mais estudar mais sobre análise combinatória, veja o vídeo do canal do Curso Enem Gratuito e, em seguida, resolva os exercícios:

Exercícios sobre análise combinatória

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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