Estudo dos triângulos: classificações, características e propriedades

Nesta aula você vai aprofundar o estudo sobre triângulos, seus elementos, classificações quanto a seus lados e quanto a seus ângulos e sua condição de existência. Vai aprender ainda o que são triângulos congruentes e suas principais congruências.

E você sabe porque você precisa revisar tudo isso? Porque já caiu várias vezes no Enem e com certeza vão aparecer questões nas provas de vestibulares das principais Universidades!

A Matemática é uma ciência cheia de surpresas e aplicações, não é mesmo? A estabilidade é a palavra de ordem nos estudos da Geometria. E existem muitas aplicações no uso de triângulos.

Os engenheiros, por exemplo, devem entender como aplicar esses conhecimentos matemáticos para que se construam alicerces estáveis para que a construção fique rígida, isto é, sem rupturas e nem deformações.

Como podemos perceber, tudo envolve profundo conhecimento da Geometria, principalmente de quadriláteros, triângulos e suas relações métricas e trigonométricas.

Triângulos

Os triângulos são figuras geométricas que possuem uma característica essencial: a rigidez. Com esta forma geométrica, é difícil ocorrer ruptura e deformações.

Os engenheiros e projetistas fazem uso dessa característica para projetar as estruturas triangulares quando querem ter estabilidade e durabilidade em nossos projetos de construções.

Características dos triângulos

Para compreendermos as características dos triângulos, vou descrever para você, em linguagem matemática, essa figura geométrica. A principal característica do triângulo é possuir três ângulos internos e três ângulos externos. Além disso, ele é um polígono que possui três vértices A, B e C, e também possui três lados: AB, AC e BC.

Confira as características dos triângulos na imagem a seguir:

Viu que temos sempre TRÊS ÂNGULOS? Por isso o nome TRIÂNGULO = TRI ( três) + ÂNGULO.

Elementos do triângulo

Como você pode ver no esquema, os principais elementos de um triângulo são os lados, vértices e ângulos (internos e externos).

Ângulos de um triângulo

Quanto aos ângulos, devemos saber que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Isso significa que cada ângulo externo é suplementar ao ângulo interno adjacente e, sendo assim, a soma de suas medidas também é 180°.

Mediana, bissetriz e altura

A mediana, a bissetriz e a altura também são elementos de um triângulo.

Mediana

É o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado contrário a ele. Uma aplicação desse conceito é o baricentro, que é o centro de equilíbrio do triângulo.

Bissetriz

A bissetriz é o segmento de reta que divide ao meio um dos ângulos internos do triângulo.

Altura

Por sua vez, a altura do triângulo é segmento de reta que une perpendicularmente (formando 90°) um dos vértices ao seu lado contrário.

Classificação dos triângulos

Os triângulos são classificados quanto as medidas de seus lados e também quanto à medida de seus ângulos.

Quanto à medida de seus lados

A classificação dos triângulos quanto à medida dos seus lados é feita em triângulos isósceles, equilátero e escaleno.

Triângulo isósceles

São triângulos que tem dois lados com medidas idênticas e o outro com medida distinta.

Triângulo equilátero

Triângulo equilátero é aquele que tem todos os lados com mesma medida. Ou seja, AB = BC = CA.

Triângulo escaleno

Por fim, o triângulo escaleno é aquele que tem todos os lados com medidas diferentes.

Quanto à medida de seus ângulos

Também podemos fazer a classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos. Aqui, os triângulos podem ser acutângulos, obtusângulos ou retângulos.

Acutângulo

Esse triângulo tem todos seus ângulos internos agudos, ou seja, são ângulos fechados e menores que 90°. No triângulo abaixo os ângulos formados por BAC e BCA são agudos.

Obtusângulo

Esse triângulo tem um ângulo interno Obtuso, ou seja, tem ângulo mais aberto e maior que 90°.

Observe que o ângulo maior é formado por ABC.

Triângulo retângulo

Esse triângulo tem um de seus ângulos internos igual a 90°.

Condição de existência de um triângulo

Para que um triângulo exista, a medida de um dos lados deve ser menor que a soma entre seus outros dois lados.
Por exemplo, se tivermos um triângulo que possua as medidas 10, 7 e 5. Para verificar se ele é um triângulo basta somar dois lados e comparar com o outro que sobrou.

Observe que se somarmos os lados 7 e 5 termos o valor 13. Esse valor é maior que o lado que sobrou: 10. Então esse triângulo existe.

Congruência de triângulos

Usamos a palavra congruência para dizer que duas medidas são iguais. No caso do estudo de triângulos são congruentes quando têm medidas dos lados iguais ou medidas de ângulos iguais.

Caso de congruência lado-lado-lado (LLL)

No caso lado-lado-lado, dois triângulos são congruentes quando possuem todos os lados com mesma medida.

Caso de congruência lado-ângulo-lado (LAL)

Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados iguais e o ângulo formado entre eles são iguais.

Caso de congruência ângulo-lado-ângulo (ALA)

Dois triângulos são congruentes quando têm dois ângulos e o lado adjacente a eles são iguais.

Como você pode perceber, nós trouxemos aqui a teoria sobre os triângulos e, principalmente, suas características e propriedades. Essas informações darão uma base sólida para a resolução de vários exercícios envolvendo essas figuras planas rígidas que são tão importantes em nossos estudos. Agora é com você!

Videoaula sobre triângulos

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1. Respondido
2. Revisão

1. Pergunta 1 de 10

   1. Pergunta

   (FUVEST-SP) Um triângulo ABC tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo?

   • 30º
   • 45º
   • 60º
   • 90º
   • 120º
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
2. Pergunta 2 de 10

   2. Pergunta

   (UFES) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?

   • 20°
   • 40°
   • 60°
   • 80°
   • 140°
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

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3. Pergunta 3 de 10

   3. Pergunta

   (ITA) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a:

   • 23°
   • 32°
   • 36°
   • 40°
   • 45°
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
4. Pergunta 4 de 10

   4. Pergunta

   (FATEC) A altura de um triângulo equilátero e a diagonal de um quadrado têm medidas iguais. Se a área do triângulo equilátero é 163 m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, é

   • 6
   • 24
   • 54
   • 96
   • 150
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
5. Pergunta 5 de 10

   5. Pergunta

   (Cesgranrio) A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. A superfície desse retângulo mede:

   • 40 cm²
   • 48 cm²
   • 60 cm²
   • 70 cm²
   • 80 cm²
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
6. Pergunta 6 de 10

   6. Pergunta

   (Cesgranrio) Considere as seguintes definições:

   1 – Um triângulo é chamado de escaleno quando os seus lados possuem comprimentos diferentes.
   2 – Um triângulo é chamado de isósceles quando há dois de seus lados com o mesmo comprimento.
   3 – Um triângulo é chamado de equilátero quando todos os seus lados possuem o mesmo comprimento.
   De acordo com as definições apresentadas, um triângulo não é escaleno quando, e apenas quando, ele

   • é isósceles.
   • é isósceles, mas não é equilátero.
   • não é isósceles.
   • não é equilátero, nem é isósceles.
   • não é equilátero.
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
7. Pergunta 7 de 10

   7. Pergunta

   (Unb – adaptado) Julgue os itens seguintes, relativos a propriedades de triângulos e equiláteros.
   (1) É possível traçar um triângulo com lados medindo 15 cm, 7 cm e 5 cm.
   (2) Um triângulo fica inteiramente determinado, conhecendo-se os seus três ângulos.
   (3) Um triângulo fica inteiramente determinado, conhecendo-se os seus três lados.
   (4) Um quadrilátero fica inteiramente determinado, conhecendo-se os quatro lados.
   De acordo com as afirmações, qual das alternativas abaixo está CORRETA?

   • V – V – V – F.
   • F – F – V – F.
   • V – V – F – F.
   • F – V – V – F.
   • F – V - F – V.
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
8. Pergunta 8 de 10

   8. Pergunta

   (Questão própria) O número de valores inteiros de x, para os quais existe um triângulo acutângulo de lados 10,24 e x, no qual 24 é a medida do maior lado, é igual a:

   • 2
   • 3
   • 7
   • 5
   • 6
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
9. Pergunta 9 de 10

   9. Pergunta

   (FUVEST) Os pontos A, B, e C são colineares, AB = 5, BC = 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se P a interseção de r com AD. Então AP+BP vale

   • 4
   • 5
   • 6
   • 7
   • 8
   Correto
   

   Resposta correta!

   Incorreto
   

   Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.
10. Pergunta 10 de 10

    10. Pergunta

    (Questão própria) Como se classifica um triângulo quanto aos lados?

    • Acutângulo, Retângulo e obtusângulo.
    • Acutângulo, reto, obtuso.
    • Agudo. obtuso, equilátero.
    • Equilátero, Isósceles, Escaleno.
    • Agudo, reto, equilátero.
    Correto
    

    Resposta correta!

    Incorreto
    

    Resposta incorreta. Revise o conteúdo desta aula para acertar na hora da prova.

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