Radiciação na Matemática

A radiciação tem origem geométrica e aritmética. Saiba mais sobre o tema nessa revisão de Matemática do Curso Enem Gratuito!

Nesta aula vamos revisar uma operação matemática que tem origem tanto na geometria como na aritmética: a radiciação. Estude com a gente, pois no Enem não dá pra perder tempo quebrando a cabeça com operações de matemática básica!

O estudo e operações com raízes surgem em nossas vidas de estudante quando começamos a resolver problemas mais complexos envolvendo a aritmética e a geometria, certo? Quando falamos em radiciação não tem como fugirmos dos termos raiz quadrada, raiz cúbica, índice da raiz, símbolo da raiz, radicando, operações e propriedades das raízes. E nessa aula vamos estudar tudo isso e mais.

Na Aritmética aprendemos o conceito de Radiciação como sendo a operação inversa da Potenciação. Os seguintes exemplo geralmente são apresentados pelos professores de matemática:

radiciação - 1

E assim apresentamos a raiz quadrada de um número, onde o índice da raiz quadrada é 2, mas o costume é não aparecer no sinal de raiz.

Mas a definição geral da Radiciação é:

radiciação - 2

Quando estudamos as primeiras raízes, usamos o que chamamos de quadrados perfeitos. Esses números independente de seu sinal tem uma raiz quadrada exata e em módulo, isto é, uma raiz de valor positivo. Veja os exemplos:

radiciação - 3

Existe uma propriedade que diz que um número elevado ao mesmo índice da raiz, o valor da raiz é o próprio módulo do número. Por isso os exemplos dos quadrados perfeitos são válidos.

Antes de ver como realizar operações envolvendo raízes, relembre como calcular a raiz quadrada com a videoaula do prof. Lucas:

Operações envolvendo raízes:

I. Adição e Subtração:

As raízes devem ter o mesmo índice e mesmo radicando, isto é, essas raízes devem ser idênticas.
Assim podemos adicionar ou subtrair seus coeficientes (números que vem a frente do sinal de raiz). Observe os seguintes exemplos:

Subtração: Diminuímos os coeficientes e conservamos a raiz quadrada de 5.

radiciação - 4

Observe que operamos somente com os coeficientes e as raízes continuam as mesmas.

II. Multiplicação e Divisão:

As raízes devem ter somente o mesmo índice para que possamos multiplicar ou dividir seus radicandos. Veja o exemplo a seguir:

Multiplicação:

radiciação - 5

Multiplicamos os coeficientes, permanece o sinal de raiz e multiplicamos também dentro do sinal de raiz os radicandos.

Divisão:

radiciação - 6

Dividimos os coeficientes. Dentro do sinal de raiz dividimos os radicandos e pronto!

III. Potência de um expoente:

Esse caso é aquele que o radicando está elevado a um expoente, ou seja, em forma de potência. Nesse caso a raiz pode ser escrita em forma de potência com expoente fracionário. Exemplificando:

radiciação - 7

Note que o expoente da raiz tem o numerador como o expoente do radicando e o denominador é o índice da raiz. Essa propriedade é válida somente para radicandos positivos.

Além das operações entre radicais/raízes temos ainda algumas propriedades importantes. Vamos conhecê-las?

1ª propriedade: Simplificação de radicais

Se multiplicarmos ou dividirmos o índice da raiz e o expoente do radicando por um mesmo número Natural e diferente de zero, o resultado da raiz não se altera.

Vamos dar um exemplo usando a multiplicação:

radiciação - 8

2ª propriedade: Produto de radicais de mesmo índice

Nesta multiplicação quando temos dois radicandos sendo multiplicados dentro de uma mesma raiz, podemos separá-los em duas raízes com o mesmo índice.

Olhe o exemplo:

radiciação - 9

3º propriedade: Divisão de radicais de mesmo índice

Na divisão, podemos colocar os dois radicando sendo divididos no mesmo sinal de raiz se tiverem o mesmo índice. Veja nosso exemplo:

radiciação - 10

4ª propriedade: Potência de uma raiz

Para elevarmos uma raiz a um expoente, basta elevar o radicando a esse expoente. Observe o exemplo:

radiciação - 11

Se você não lembra do assunto Potências, acesse a aula sobre Potências de Dez, que têm uma revisão geral sobre a Potenciação e propriedades das potências em geral.

5ª propriedade: Raiz de outra raiz

Para obtermos a raiz de outra raiz basta multiplicarmos os índices dessas raízes.

O exemplo mostra esse procedimento:

radiciação - 12

Conceito Geométrico da Radiciação:

Como afirmamos no início dessa aula, a Radiciação tem sua origem da geometria. O símbolo da raiz quadrada surgiu para representar o cálculo do lado de um quadrado a partir de sua área.
O conceito da área de um quadrado é o produto do lado pelo lado, isto é lado ao quadrado:

radiciação - 13

O quadrado com lado l tem área:

radiciação - 14

Com um exemplo vai ficar tudo mais claro. Vamos a ele:

radiciação - 15

Agora você deve estar se perguntando se a raiz cúbica tem um significado geométrico também. É claro que sim!

O símbolo de raiz cúbica foi criado para calcular a aresta de um cubo a partir de seu volume. Observe onde é a aresta do cubo na figura abaixo:

radiciação - 16

Como gosto de exemplificar, vamos a uma aplicação sobre esse assunto:

radiciação - 17

Referências:

MORAES, J. L. de. Matemática e Lógica para Concursos. São Paulo: Saraiva, 2013

Quer saber mais? Assista ao nosso vídeo sobre o assunto:

Exercícios sobre radiciação:

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.