Estude os cinco teoremas mais importantes da Matemática Básica com nossa nova trilha de Recomposição de Aprendizagem. Entenda os conceitos e aplicações, com resumos e videoaulas!
Durante o estudo da matemática, fala-se muito sobre os teoremas. Mas o que são teoremas? Na matemática, e na lógica, um teorema não é nada mais nada menos que uma afirmação que pode ser provada como verdadeira.
Em resumo, isso quer dizer que teoremas são resultados, ou seja, uma ferramenta que podemos usar para resolver problemas e sabemos que ela irá funcionar, se usada da maneira correta.
Nessa trilha, vamos estudar cinco dos teoremas mais importantes para a matemática do ensino básico. Para que sua experiência de aprendizado seja completa, providenciamos explicações por vídeo e por texto. Vamos lá!
Videoaula sobre o Teorema de Pitágoras
No primeiro vídeo dessa trilha sobre teoremas, o professor Lucas Borguezan vai te ensinar como utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar os lados de um triângulo retângulo. Assista!
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é talvez um dos mais conhecidos pelos estudantes do ensino básico. Ele relaciona as medidas de um triângulo retângulo.
Para entendermos o Teorema de Pitágoras, precisamos primeiro conhecer os lados de um triângulo retângulo.
Um triângulo retângulo tem três lados, já que ele é um triângulo. Neste tipo de triângulo, um de seus lados sempre será maior que os outros dois. Chamamos este lado de hipotenusa, enquanto o par de lados menos são chamados de catetos.
O Teorema de Pitágoras cria uma relação entre o tamanho dos dois catetos e o tamanho da hipotenusa com a seguinte afirmação: “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.
De forma algébrica, podemos escrever o seguinte, sendo a hipotenusa dada pela variável “a” e os catetos dados pelas variáveis “b” e “c”: a2=b2+c2.
Observe o seguinte triângulo retângulo, vamos verificar como o Teorema de Pitágoras relaciona a medida de seus lados:
Legenda: Triângulo retângulo com catetos 3 e 4 e hipotenusa 5.
A primeira pergunta que podemos fazer é: quais são os catetos deste triângulo?
A resposta são os lados 3 e 4, já que eles são os menores, deixando assim o lado 5 para ser definido como a nossa hipotenusa.
Dessa forma, o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado de 5 deve ser igual a soma do quadrado de 3 somado ao quadrado de 4. Vamos ver isso na prática:
5²=3²+4²
25=9+16
25=25
Em questões, é comum que um desses lados não seja conhecido, e o objetivo é descobrir este lado. Por exemplo, poderíamos não saber o valor de 5, e o colocaríamos como x, da seguinte maneira:
x²=3²+4²
x²=9+16
x²=25
x=√25
x=5
Videoaula sobre o Teorema de Tales
Vamos seguir pela Geometria, com próxima aula da nossa trilha, para estudar Teorema de Tales.
Teorema de Tales
O Teorema de Tales estuda a relação entre segmentos de pares, ou mais, retas transversais cortadas por três ou mais retas paralelas. Em suma, é uma aplicação geométrica da lei fundamental das proporções. Isto é, ele nos garante que os segmentos de duas retas transversais formados por três ou mais retas paralelas são proporcionais.
Vamos ver uma aplicação:
Legenda: par de retas transversais cortados por três retas paralelas formando os segmentos 21, x, 7 e 5 respectivamente coloridos de vermelho, roxo, verde e azul.
Nesta imagem, os segmentos vermelho, roxo, verde e azul são partes de duas retas transversais e são formados pela intersecção dessas retas com três retas paralelas. Dessa forma, sabemos que eles segmentos são proporcionais dois a dois, isso significa que podemos montar a seguinte igualdade entre frações:
Essa igualdade de frações representa de forma algébrica a proporcionalidade entre esses segmentos. De maneira aplicada, ela pode ser utilizada para encontrar o valor de x, bastando resolver a equação associada, multiplicando ambos os lados por 5x obtemos:
De maneira menos algébrica, note que os segmentos superiores têm valores 21 e 7. Qual a relação entre esses números? Ora, veja que 21=7 . 3. Então sabemos que x=5 . 3=15.
Videoaula sobre diferença de dois quadrados
No próximo vídeo desta trilha, saímos um pouco do assunto de Geometria para tratar produtos notáveis, a partir do Teorema da Diferença de Dois Quadrados.
Teorema da Diferença de Dois Quadrados
Para entender de forma completa o teorema da diferença de dois quadrados, precisamos entender separadamente as suas duas possibilidades de aplicação e como elas se conectam.
Produto notável
A primeira forma de utilizar a diferença de dois quadrados, é quando temos um produto notável, algébrico ou não, com a forma (x+y) . (x-y), com x e y sendo número, variáveis simples ou até termos algébricos.
Neste caso, geralmente a questão quer que você desenvolve este produto notável, para fazer isso basta elevar os x e y ao quadrado e subtrair estes fatores. Exemplo:
Para desenvolver (2x+5) . (2x-5), fazemos: (2x)² – (5)²= 4x² – 25.
Fatoração
Na segunda maneira, a diferença de dois quadrados aparece desenvolvida, como o nome sugere, como uma diferença entre dois quadrados. Neste caso, nosso objetivo é reescrever a expressão como um produto notável.
Por exemplo, a expressão algébrica x² – y² é a diferença de dois quadrados. Podemos reescrevê-la como o produto notável visto anteriormente. Para isso, vamos tirar a raiz de ambos os números (para x² sua raiz é x, para y² sua raiz é y) e escrever a expressão através do produto notável da seguinte maneira:
x² – y² = (x+y) . (x-y).
Videoaula sobre o Teorema do Trinômio quadrado perfeito
O próximo vídeo da trilha continua com o tema de produtos notáveis, e o professor Lucas vai te ensinar sobre o Trinômio do Quadrado Perfeito.
Teorema do Trinômio do Quadrado Perfeito
Da mesma forma que na diferença de quadrados, é muito importante entendermos as duas aplicações para trinômios do quadrado perfeito.
Produto notável
O produto notável do trinômio pode aparecer de duas maneiras:
- Como uma soma, na forma de (x+y)² = (x+y) . (x+y)
- Como uma diferença, na forma de (x-y)² = (x-y) . (x-y)
Em ambos os casos, o desenvolvimento é bem parecido, mudando apenas o sinal do termo do meio. Uma frase que ajuda a lembrar o desenvolvimento é: “o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo, mais o quadrado do segundo”.
Na prática fica assim: (x+y)² = x² + 2xy + y².
No caso do quadrado da diferença, temos: (x-y)² = x² – 2xy + y².
Um exemplo prático é desenvolver o termo (x+5)². O quadrado do primeiro termo é x². Duas vezes o primeiro, vezes o segundo fica como 2 . x . 5=10x. O quadrado do segundo é 25. Juntando todos esses termos, temos: x² + 10x + 25.
Fatoração
No caso da faturação, vamos encontrar um termo desenvolvido e devemos escrevê-lo como um produto notável. Para isso, precisamos ter a habilidade de olhar para uma expressão algébrica e entender se ela é ou não um trinômio quadrado perfeito. E por vezes, precisamos fazer pequenas transformações nela para podermos aplicar o trinômio.
Por exemplo, a expressão algébrica x² + 6x + 4. A princípio não é um trinômio quadrado perfeito, mas podemos reescrevê-la como x² + 4x + 4 + 2x.
A partir desta expressão reescrita, podemos aplicar o trinômio quadrado perfeito nos três primeiros termos: x² + 4x + 4 + 2x = (x+2)² + 2x.
Videoaula sobre o Teorema de Bhaskara
No último vídeo desta trilha, vamos àquele que talvez seja o teorema mais conhecido dos anos finais do ensino básico: a fórmula de Bhaskara.
Fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara é um método de resolução de equações de segundo grau. Embora não seja sempre o teorema mais rápido, ele é preferido por muitos, por ser determinístico. Diferente de outros modos como fatoração, radiciação ou soma e produto, Bhaskara sempre funciona de maneira eficiente.
Para aprendermos Bhaskara, primeiro precisamos nos familiarizar com a forma geral de uma equação de segundo grau: ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0.
Nessa expressão, os termos a, b e c são coeficientes, isto é, eles são são incógnitas, não queremos resolver eles. Eles apenas aparecem como ‘substitutos’ para os números que aparecerão em questões de verdades.
Enquanto isso, o x² e o x são as partes literais contendo a variável x que queremos encontrar. Inclusive, a potência 2 que acompanha o x² é a parte de toda essa equação que a define como uma equação de segundo grau. Sem ela, nossa equação poderia ser outra coisa completamente diferente.
Por exemplo, na equação 2x² – 8x + 6 = 0, o número 2 está no lugar do coeficiente a, o número -8 está no lugar do coeficiente b, enquanto o número 6 está no lugar do coeficiente c.
Saber identificar esses coeficientes é de extrema importância, já que a fórmula de Bhaskara trará eles na hora de fazermos os cálculos, da seguinte maneira.
Para resolvermos uma equação de segundo grau da forma ax² + bx + c = 0, com a,b,c número reais e a ≠ 0, podemos utilizar a fórmula: 
Ela também pode ser encontrada em materiais didáticos como 
. Esse formato separa o cálculo em duas partes, e pode por vezes facilitar a organização.
Dessa forma, se você deseja resolver uma equação de segundo grau usando a fórmula de Bhaskara, você precisa identificar os coeficientes em sua equação original e substituí-los na fórmula por a, b e c em suas posições específicas. Depois de fazer isso, basta fazer os cálculos na ordem correta. Vamos ver na prática.
Para resolver a equação de segundo grau 2×2-8x+6=0, os coeficientes podem ser identificados como a=2, b=-8 e c=6. Com eles, vamos substituir na fórmula de Bhaskara:
Podemos desenvolver os cálculos:
Aqui, o próximo passo é desenvolver o sinal , para fazê-lo vamos separar a equação em duas partes, em uma delas vamos utilizar o sinal positivo, em outra, vamos utilizar o sinal negativo.
A partir daqui, desenvolvemos separadamente:
Nesta trilha, você aprendeu os principais teoremas estudados durante todo o ensino básico. Eles serão de extrema utilidade na sua caminhada matemática, e é por esse motivo que recomendamos que você pratique com os exercícios abaixo.
Para estudar outras trilhas, acesse Recomposição de Aprendizagem e escolha uma das disciplinas disponíveis!
EXERCÍCIOS:
Questão 1:
Um triângulo retângulo possui catetos medindo 8 e 15. Utilizando o teorema de Pitágoras, qual a medida de sua hipotenusa?
Questão 2:
Desenvolva os produtos notáveis a seguir:
a) (x + 4)²
b) (y – 2x)²
c) (100 – x) . (100 + x)
Questão 3:
Resolva as equações a seguir:
a) x² – 3x + 4=0
b) x² + 5x + 6 = 0
c) 2x² – 16x + 30 = 0
Questão 4:
Considerando a imagem a seguir, sabendo que as retas horizontais são paralelas, encontre o valor de x:
Gabarito:
Questão 1:
8² + 15² = x²
x² = 64 + 225 = 289
x = √289 = 17
Questão 2:
a) x² + 8x + 16
b) y² – 4xy – 4x²
c) 100² – x² = 10000 -x²
Questão 3:
a) 1 e 3;
b) -2 e -3
c) 5 e 3
Questão 4:
x = 6
