Tronco de cone: veja os elementos e cálculos de área e volume

Na geometria espacial estudamos diversos sólidos geométricos de bases paralelas, por exemplo, é uma forma obtida após a secção transversal do cone.

Portanto, se um cone for dividido paralelamente ao meio por uma reta então teremos uma nova medida que é chamada de tronco de cone. Vamos então aprender mais sobre como identificar e calcular este sólido geométrico na aula de hoje.

O que é o tronco de cone

Imagine um cone qualquer. Vamos seccioná-lo a partir de um plano que seja paralelo e distinto do plano da base – ou seja, vamos seccionar um cone a partir de um plano que seja paralelo à sua base, conforme imagem abaixo.

Um plano seccionando um cone de forma paralela a base do cone.

Esse plano vai cortar o cone original em duas partes: um cone menor e um outro sólido, o qual chamamos de tronco de cone.

Um plano seccionando um cone de forma paralela a base do cone e os dois sólidos gerados a partir da secção: um cone menor e um tronco.

Abaixo, vemos uma imagem que o destaca.

Na figura mais à esquerda, representação de um cone seccionado por um plano paralelo a sua base gerando um cone menor do que o cone original. Representação dos elementos do cone original e do cone menor. Na figura mais à direita, representação do tronco isoladamente.

Como calcular o Tronco de Cone

Veja agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, uma introdução básica aos conceitos, fórmulas, e como fazer os cálculos do Tronco de Cone.

Assim como acontece no tronco de pirâmide, o cone original e o cone menor são sólidos semelhantes. Considerando então a secção de um cone reto (como na imagem acima), as relações abaixo são válidas:

Em que:

• r,g,h, e  se referem ao cone pequeno gerado pela secção;
• R,G,H, e  se referem ao cone original.

Elementos do tronco de cone

Agora que já analisamos as relações entre os cones semelhantes, podemos focar nosso estudo . Vamos analisar melhor o tronco de um cone reto. Tomemos como ponto de partida o tronco representado abaixo.

Representação isoladamente do tronco de cone com seus elementos.

Perceba, com o auxílio da imagem acima que o tronco de cone possui os seguintes elementos:

• Duas bases paralelas e circulares, porém, não congruentes;
• Raios das bases;
• Altura;
• Geratriz

Temos então que:

• A letra r (erre minúsculo) representa o raio do cone menor gerado pela secção do cone original;
• Já a letra R (erre maiúsculo) é raio do cone original;
• A letra h, por sua vez, é a altura do tronco de cone – encontrada através da relação: H=h+h’ em que h’ representa a altura do cone menor e H representa a altura do cone original.
• A letra g, por fim, representa a geratriz do tronco de cone – encontrada através da relação: G=g+g’ em que g’ representa a geratriz do cone menor e G representa a geratriz do cone original.

Superfície lateral e total do tronco de cone

Agora que você já conhece os elementos que encontramos um tronco, é importante que você saiba calcular as suas superfícies lateral e total. Veja os conceitos e cálculos:

• Superfície lateral: Consiste na união de todas as geratrizes (retas que ligam as laterais da base menor com a base maior). Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área lateral do tronco – denotada por A_l ou S_l.
• Superfície total: Corresponde a união da superfície lateral com as bases do tronco. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área total do tronco de cone – denotada por A_t ou S_t.
• Volume: espaço ocupado – denotado por V.

Fórmula do cálculo da superfície lateral do tronco de cone

Agora que já estudamos os elementos do tronco do cone reto e identificamos suas superfícies e volume, vamos às formulas para as contas.

Usaremos a imagem abaixo como guia.

Representação do tronco do cone com seus elementos e planificação da sua superfície lateral.

Perceba então que a área lateral do tronco de um cone é uma porção de uma coroa circular delimitada por um círculo de raio r e outro círculo de raio R. Com isso, a área lateral do tronco de cone reto é dada por:

S_l = π . (r + R) . g

A área de cada base do tronco de cone é dada pela área do círculo correspondente. Sendo  e  á área da base menor e maior, respectivamente, temos:

S_b = πr²

S_B = πr²

E, com isso, a área total do tronco do cone reto é dada por:

S_t = S_l + S_b +S_B

S_t = π(r + R)g + πr² + πR²

E, em relação ao volume do tronco, temos que este é dado por:

V = (πr/3)(R² + rR + r²)

A expressão acima é deduzida a partir do seguinte: calcula-se o volume do cone original e do cone menor gerado pela secção e, depois, subtrai-se estes dois valores:

V _tronco = V _{cone original} – V _{cone menor}

Resumo sobre os sólidos geométricos

Sólidos de revolução são formados a partir do movimento de rotação de outras figuras.

O cilindro, por exemplo, é um sólido obtido através da rotação de um retângulo sobre um eixo. Além da esfera, veremos na aula de hoje como são formados a esfera e o cone. Veja na aula acima que o prof Sarkis te explica \o/

O movimento de rotação ocorre quando o objeto gira em torno de um eixo. Sólidos formados a partir desse movimento são chamados sólidos de revolução.

 Quais são esses sólidos? Temos 3 exemplos clássicos: o cilindro, o cone e a esfera.

1. O cilindro se forma a partir da rotação de um retângulo. Confira a demonstração no vídeo com o professor Sarkis.
2.  O cone se forma a partir da rotação de um triângulo. Confira a demonstração também.
3. A esfera se forma a partir da rotação de um círculo ou semi-círculo. Confira demonstração!

 Outra situação que você vai encontrar no vídeo: e quando a figura plana for um trapézio? Veja como funciona!

Exercícios

1 – (UEG GO/2020)

Na figura a seguir, AD mede 12 cm, BD mede 4 cm, BC mede 12 cm, o ângulo B mede 90º e DE é paralelo a BC.

Ao rotacionarmos o trapézio BCED em torno do lado BD, produzimos um tronco de cone cujo volume é

2 – (UEM PR/2019)

Um copo de plástico sem tampa possui o formato de um tronco de cone circular reto; o círculo que constitui sua base possui raio 2cm, e o círculo que constitui a sua boca possui raio 5cm. Considere que o copo possui 7,2cm de altura e despreze a espessura dele. Assinale o que for correto.

01 – Enchendo-se o copo até a metade da sua altura, ocupa-se a metade da sua capacidade.

02 – A área total da parte de plástico do copo é menor do que 150cm².

04 – O volume de água colocado dentro desse copo é diretamente proporcional à altura do tronco formado pela água dentro dele.

08 – A capacidade total desse copo é maior do que a de um copo cilíndrico, com 8cm de altura, cujo raio da base mede 3cm.

16 – A capacidade total do copo é superior a 270mL.

3 – (UFMS/2019)

Em uma padaria são produzidos bombons em formato de tronco do cone, conforme a figura a seguir:

Considerando R₁ = 2 cm, R₂ = 3 cm e H = 4 cm, qual o volume de cada bombom?

4 – (UFGD MS/2018)

Um reservatório da UFGD foi construído em forma de cone circular regular com as dimensões indicadas na seguinte figura. Uma empresa de manutenção realizará a pintura das paredes externas com uma tinta de alta impermeabilidade, com uma composição específica para pinturas de cisternas e caixas d’água. A tinta escolhida pela empresa responsável por essa pintura tem um rendimento de 36 m² por lata.

Considere  e a pintura da área total da superfície da figura.

Assinale, nas alternativas a seguir, o número mínimo de latas de tinta que devem ser adquiridas para tal serviço.

a) 3.

b) 4.

c) 5.

d) 6.

e) 7.

5 – (UniRV GO/2017)

Um cone foi cortado por um plano  paralelo a sua base e um dos sólidos obtidos depois dessa secção está representado pela figura abaixo.

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas.

a) A distância entre as bases paralelas é de 24 cm.

b) O volume do sólido representado pela figura é 1832ml .

c) A área total do sólido representado pela figura é 5,94dm².

d) A altura do cone antes de ser seccionado era de 10 cm.

GABARITO

1 – D
2 – 24
3 – C
4 – D
5 – VVFF

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