Cone: definição, elementos e como calcular a área e o volume

O cone é um sólido geométrico formado pela união entre todos os segmentos de reta com uma extremidade no círculo que forma sua base e outra extremidade em um ponto fora do plano onde se encontra o círculo (vértice).

Na geometria espacial estudamos diversos sólidos geométricos. Dentre eles, o cone circular, ou, simplesmente, cone.

Quando você pensa em cone, vem qual imagem à sua cabeça? Eu imagino uma casquinha de sorvete. O nosso objetivo hoje é estudar os cones: sua definição, elementos, classificação e cálculo de áreas e volume. Vamos começar?

Definição

Considere um plano qualquer no espaço, um círculo contido nesse plano e um ponto P qualquer fora do plano. Ao sólido formado pela união entre todos os segmentos de reta com uma extremidade no círculo e outra extremidade no ponto fora do plano, damos o nome de cone.

O ponto fora do plano é chamado de vértice do cone e o círculo é chamado de base do cone. Veja abaixo.

Representação de um cone
Representação de um cone. Fonte: https://bit.ly/3esFBPY

Elementos do cone

Agora que já vimos a sua definição matemática, é importante que você saiba identificar os diferentes elementos do cone. São eles:

  • Base: como vimos acima, a base de um cone é um círculo contido em um plano;
  • Vértice: é o ponto fora do plano;
  • Geratriz: por sua vez, é um segmento de reta com uma extremidade na circunferência que delimita o círculo da base e outra extremidade no vértice do cone;
  • Eixo: o eixo desse sólido geométrico corresponde a uma reta que passa pelo centro do círculo da sua base e pelo seu vértice;
  • Altura (h): a altura de um cone é a distância entre o vértice e o plano que contém a base do cone;
  • Raio da base: por fim, temos o raio da base, que corresponde ao raio do círculo que compõe a base do cone.

Veja os elementos do cone na imagem a seguir:

Elementos do cone
Representação de um cone e seus elementos: círculo da base contido em um plano α, elementos base, eixo, geratriz, altura e vértice representados. Fonte: https://bit.ly/3k1jHob

Classificação dos cones

Nem todos os cones têm formato semelhante à casquinha de sorvete que mencionei no início da aula. A posição de seu eixo permite que um cone seja classificado em:

  • Cone reto: quando o eixo do cone é ortogonal ao plano que contém a sua base;
  • Cone oblíquo: quando o eixo do cone forma um ângulo diferente de 90° com o plano que contém a sua base.

Para compreender melhor essa classificação, observe a imagem abaixo:

cones reto e oblíquo
À esquerda, representação de um cone oblíquo e à direita, representação de cone reto. Foco nas diferenças entre os ângulos que o eixo do cone forma com a base e elementos raios da base, geratriz e vértice representados. Fonte: https://bit.ly/3l0uEaM

Cone de revolução

O cone circular reto também pode ser chamado de cone de revolução. Isso porque tal cone é gerado pela rotação de 360° de um triângulo retângulo em torno de um eixo que está sobre um dos seus catetos. Repare na imagem acima tal fato.

Por conta disso, no cone reto a geratriz do cone também é chamada de apótema do cone.

Outro nome que o cone reto pode receber é “cone circular reto”. O mesmo ocorre com o cone circular oblíquo. Geralmente omitimos a palavra circular quando tratamos de cone.

Por fim, a título de curiosidade, também existe o cone elíptico. Este cone possui como base uma elipse, ao invés de um círculo.

Já temos bastante informação a respeito do cone, mas precisamos aprender mais dois conceitos antes de definirmos as superfícies do cone e partirmos para as fórmulas de cálculo de áreas e volume: a seção meridiana do cone e a definição de cone equilátero.

Seção meridiana do cone

Para entender o que é uma seção meridiana do cone, imagine que você vá seccionar o cone através de um plano que contém o seu eixo, como na imagem abaixo.

Cone reto
Representação de um plano seccionando um cone reto passando pelo seu eixo. Fonte: https://bit.ly/2TZ6SQO

Agora, imagine que estamos interessados em analisar apenas a figura plana formada pela intersecção do plano com o cone. Essa figura é justamente um triângulo e é chamada de seção meridiana do cone. Veja abaixo.

Cone reto
Representação de um plano seccionando um cone reto passando pelo seu eixo e representação da seção meridiana formada com seus elementos: altura h, lado g e base 2r. Fonte: https://bit.ly/2TZ6SQO

Perceba que a altura do triângulo gerado coincide com a altura do cone e, como o cone possui base com raio medindo r, a base do triângulo terá medida 2r.

Na imagem acima exemplificamos a seção meridiana de um cone reto. Perceba que neste tipo de cone a seção meridiana é um triângulo isósceles de base 2r e lados medindo g. Veja abaixo.

seção meridiana
Representação de um cone reto com elementos h,g e r representados e também sua seção meridiana, com triângulo de base 2r e lados g. Fonte: https://bit.ly/3p11yKU

No caso do cone oblíquo temos apenas um triângulo qualquer como seção meridiana.

Cone equilátero

Cone equilátero é um cone reto cuja medida da geratriz coincide com a medida do diâmetro (dobro do raio). Veja abaixo.

Cone equilátero
Representação de um cone reto com elementos h,g e r representados e também sua seção meridiana, com triângulo de base medindo 2r e lados medindo 2r. Fonte: https://bit.ly/2TYf5EM

Note então que a seção meridiana de um cone equilátero é um triângulo equilátero.

Consequentemente, em um cone equilátero temos:

  • g = 2r
  • h = r√3

Superfícies do cone

Comecemos pelas definições das superfícies do cone:

  • Superfície lateral: união de todas as geratrizes. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área lateral do cone – denotada por Al ou Sl .
  • Superfície total: união da superfície lateral com a base do cone. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área total do cone – denotada por At ou St.
  • Volume: espaço ocupado pelo cone – denotado por V.

Ok, até aqui sabemos as definições, mas e os cálculos? As fórmulas para os cálculos de área e volume serão referentes apenas aos cones retos.

Como calcular a área do cone

Repare a imagem abaixo, que representa a planificação do cone.

planificação de um cone
Representação de um cone reto com elementos h,g e r representados e também sua planificação: superfície lateral como sendo um setor circular de lado g e comprimento 2πr e base sendo um círculo de raio r. Fonte: https://bit.ly/3k1KLDF

Com o auxílio da imagem acima note que a superfície lateral de um cone é um setor circular de raio g e comprimento de arco dado por 2πr, enquanto que a sua base é um círculo.

Área da base

A fórmula da área da base do cone é:

Sb = πr²

Área lateral

A fórmula da área lateral do cone é:

Sl = πrg

Área total

A área total do cone é dada por:

St = Sl + Sb

St = πrg + πr²

St = πr ( g + r )

Como calcular o volume do cone

Por fim, o volume do cone é dado por:

V = 1/3 Sb . h

V = 1/3 πr²h

Ainda, é importante você saber também que a seguinte relação é válida no cone circular reto: g² = h² + r².

Assista à nossa videoaula sobre o assunto:

Questões sobre cones

Questão 01 – (ITA SP/2019)    

A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216º, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10 cm, então a medida de sua altura, em cm, é igual a

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Questão 02 – (UEPG PR/2019)    

A área total de um cone circular reto mede 144cm2 e o seu diâmetro da base mede 16 cm. Sendo g a geratriz do cone reto, h a altura do cone e r o raio da base do cone, assinale o que for correto.

01 O valor de g + h + r é um número ímpar.

02 Os valores da altura, raio e geratriz formam nesta ordem, uma progressão geométrica decrescente.

04 O produto de r, g e h é um número real.

08 Os valores da altura, do raio e da geratriz, nessa ordem, formam uma progressão aritmética de razão positiva.

Questão 03 – (IBMEC SP Insper/2019)    

Uma companhia de abastecimento de água gerencia o fornecimento de água de uma represa, cujo formato é de um cone circular reto. Após 112 dias de estiagem, aliados ao abastecimento normal de água aos usuários, o nível de água dessa represa baixou de 6,0 m para 3,6 m. Sabe-se que, devido à quantidade excessiva de lodo no fundo da represa, o fornecimento de água é interrompido se o nível baixar para 1,8 m.

A seguir é apresentada uma ilustração da situação:

imagem questão cone

Como medida preventiva, a companhia de abastecimento decidiu reduzir o fornecimento para um terço do normal. Nessas condições, o abastecimento será interrompido se o período de estiagem se estender por mais

a) 252 dias.

b) 81 dias.

c) 28 dias.

d) 27 dias.

e) 84 dias.

Questão 04 – (FAMEMA SP/2019)    

A área lateral de um cilindro circular reto é  e seu volume é 6 vezes o volume de um cone circular reto que tem 18 cm de altura. Sabendo que a medida do raio da base do cilindro é o dobro da medida do raio da base do cone, então a medida do raio da base do cone é

a) 8 cm.

b) 2 cm.

c) 4 cm.

d) 10 cm.

e) 6 cm.

Questão 05 – (IFAL/2019)    

A vela de uma jangada da praia de Pajuçara em Maceió, tem um formato de um triângulo retângulo de catetos 2 m e 5 m, de acordo com a figura abaixo:

questão cone

Se a vela fizer um giro de 360º em torno do eixo vertical que a segura, qual o volume do sólido de revolução imaginário formado pela vela?

a) 5 m3.

b) 10 π m³.

c) 20 π m³.

d) 20 π/3 m³.

e) 20 π²/3 m³.

TEXTO: 1 – Comuns às questões: 6, 7    

questão sobre cones

Um feixe cônico de radiação, emitido por uma fonte a 1cm de distância da pele de um paciente, atinge uma área circular plana de π cm², como na figura.

Questão 06 – (UNIT AL/2019)    

O volume, em cm3, da região cônica coberta pelo feixe mede

a) π/4

b) π/3

c) π/2

d) 2π/3

e) π

Questão 07 – (UNIT AL/2019)    

Se o ângulo  de abertura do feixe for reduzido em 1/3, a área atingida ficará cerca de

a) 25% menor.

b) 33% menor.

c) 44% menor.

d) 56% menor.

e) 67% menor.

Questão 08 – (PUC RS/2018)    

Dados os triângulos nos gráficos das figuras 1 e 2 abaixo, consideremos os sólidos de volumes V1 e V2 obtidos pela rotação completa dos triângulos das figuras 1 e 2, respectivamente, em torno do eixo y.

A razão entre os volumes V1 e V2 é igual a

a) 1/8

b) 1/2

c) 2

d) 8

Questão 09 – (UNICESUMAR PR/2018)    

Sobre uma mesa, estão dispostos dois sólidos geométricos: o primeiro sólido é um cilindro, cujo raio da base e altura medem, respectivamente, 6 cm e 48 cm, e o segundo sólido é um cone, cujo raio da base e altura medem, respectivamente, r cm e 12 cm, sendo que o volume do cilindro é o triplo do volume do cone. Dessa forma, a medida r do raio do cone é igual a

a) 6 cm.

b) 8 cm.

c) 10 cm.

d) 12 cm.

e) 14 cm.

Questão 10 – (Mackenzie SP/2018)

Se um cone reto tem altura igual a 12 cm e seu volume é 64 π cm3, então sua geratriz, em cm, mede

a) 20

b) 10√2

c) 4√ 10

d) 4√2

e) 2√10

GABARITO

1 D

2 12

3 B

4 B

5 D

6 B

7 E

8 A

9 D

10 C

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

Compartilhe: