Tronco de Cone: Definição elementos e cálculos de área e volume

tronco de cone, da mesma maneira que podemos estudar os troncos das pirâmides, também podemos fazer o estudo a respeito deles.

O tronco de cone é uma área reservada da forma geométrica do cone que utilizamos para medir a área e volume de um cone. Na geometria espacial estudamos diversos sólidos geométricos de bases paralelas, por exemplo, é uma forma obtida após a secção transversal do cone.

Portanto, se um cone for dividido paralelamente ao meio por uma reta então teremos uma nova medida que é chamada de tronco de cone. Vamos então aprender mais sobre como identificar e calcular este sólido geométrico na aula de hoje.

O que é o tronco de cone

Imagine um cone qualquer. Vamos seccioná-lo a partir de um plano que seja paralelo e distinto do plano da base – ou seja, vamos seccionar um cone a partir de um plano que seja paralelo à sua base, conforme imagem abaixo.

Um plano seccionando um cone de forma paralela a base do cone.Um plano seccionando um cone de forma paralela a base do cone.

Esse plano vai cortar o cone original em duas partes: um cone menor e um outro sólido, o qual chamamos de tronco de cone.

Um plano seccionando um tronco de cone de forma paralela a base do cone e os dois sólidos gerados a partir da secção: um cone menor e um tronco.Um plano seccionando um cone de forma paralela a base do cone e os dois sólidos gerados a partir da secção: um cone menor e um tronco.

Abaixo, vemos uma imagem que o destaca.

Na figura mais à esquerda, representação de um cone seccionado por um plano paralelo a sua base gerando um cone menor do que o cone original.Na figura mais à esquerda, representação de um cone seccionado por um plano paralelo a sua base gerando um cone menor do que o cone original. Representação dos elementos do cone original e do cone menor. Na figura mais à direita, representação do tronco isoladamente.

Assim como acontece no tronco de pirâmide, o cone original e o cone menor são sólidos semelhantes. Considerando então a secção de um cone reto (como na imagem acima), as relações abaixo são válidas:

equaçãoEm que:

  • r,g,h, e  se referem ao cone pequeno gerado pela secção;
  • R,G,H, e  se referem ao cone original.

Elementos do tronco de cone

Agora que já analisamos as relações entre os cones semelhantes, podemos focar nosso estudo . Vamos analisar melhor o tronco de um cone reto. Tomemos como ponto de partida o tronco representado abaixo.

Representação isoladamente do tronco de cone com seus elementos. Representação isoladamente do tronco de cone com seus elementos.

Perceba, com o auxílio da imagem acima que o tronco de cone possui:

  • Duas bases paralelas e circulares, porém, não congruentes;
  • Raios das bases;
  • Altura;
  • Geratriz

Temos então que:

  • A letra r (erre minúsculo) representa o raio do cone menor gerado pela secção do cone original;
  • Já a letra R (erre maiúsculo) é raio do cone original;
  • A letra h, por sua vez, é a altura do tronco de cone – encontrada através da relação: H=h+h’ em que h’ representa a altura do cone menor e H representa a altura do cone original.
  • A letra g, por fim, representa a geratriz do tronco de cone – encontrada através da relação: G=g+g’ em que g’ representa a geratriz do cone menor e G representa a geratriz do cone original.

Superfície lateral e total do tronco de cone

Agora que você já conhece os elementos que encontramos um tronco, é importante que você saiba calcular as suas superfícies lateral e total. Veja os conceitos e cálculos:

  • Superfície lateral: Consiste na união de todas as geratrizes (retas que ligam as laterais da base menor com a base maior). Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área lateral do tronco – denotada por Al ou Sl.
  • Superfície total: Corresponde a união da superfície lateral com as bases do tronco. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área total do tronco de cone – denotada por At ou St.
  • Volume: espaço ocupado – denotado por V.

Fórmula do cálculo da superfície lateral do tronco de cone

Agora que já estudamos os elementos do tronco do cone reto e identificamos suas superfícies e volume, vamos às formulas para as contas.

Usaremos a imagem abaixo como guia.

Representação do tronco de cone com seus elementos e planificação da sua superfície lateral.Representação do tronco do cone com seus elementos e planificação da sua superfície lateral.

Perceba então que a área lateral do tronco de um cone é uma porção de uma coroa circular delimitada por um círculo de raio r e outro círculo de raio R. Com isso, a área lateral do tronco de cone reto é dada por:

A área de cada base do tronco de cone é dada pela área do círculo correspondente. Sendo  e  á área da base menor e maior, respectivamente, temos:

tronco de coneE, com isso, a área total do tronco do cone reto é dada por:

E, em relação ao volume do tronco, temos que este é dado por:

A expressão acima é deduzida a partir do seguinte: calcula-se o volume do cone original e do cone menor gerado pela secção e, depois, subtrai-se estes dois valores:

V tronco = V cone original – V cone menor

 

Video-aula

Gostou do conteúdo e quer ver mais detalhes sobre o assunto? Então acesse a videoaula do professor Paulo do canal Equaciona com Paulo Pereira sobre o assunto:

Exercícios

1 – (UEG GO/2020)    

Na figura a seguir, AD mede 12 cm, BD mede 4 cm, BC mede 12 cm, o ângulo B mede 90º e DE é paralelo a BC.

Ao rotacionarmos o trapézio BCED em torno do lado BD, produzimos um tronco de cone cujo volume é

2 – (UEM PR/2019)    

Um copo de plástico sem tampa possui o formato de um tronco de cone circular reto; o círculo que constitui sua base possui raio 2cm, e o círculo que constitui a sua boca possui raio 5cm. Considere que o copo possui 7,2cm de altura e despreze a espessura dele. Assinale o que for correto.

01 – Enchendo-se o copo até a metade da sua altura, ocupa-se a metade da sua capacidade.

02 – A área total da parte de plástico do copo é menor do que 150cm2.

04 – O volume de água colocado dentro desse copo é diretamente proporcional à altura do tronco formado pela água dentro dele.

08 – A capacidade total desse copo é maior do que a de um copo cilíndrico, com 8cm de altura, cujo raio da base mede 3cm.

16 – A capacidade total do copo é superior a 270mL.

3 – (UFMS/2019)    

Em uma padaria são produzidos bombons em formato de tronco do cone, conforme a figura a seguir:

Considerando R1 = 2 cm, R2 = 3 cm e H = 4 cm, qual o volume de cada bombom?

4 – (UFGD MS/2018)    

Um reservatório da UFGD foi construído em forma de cone circular regular com as dimensões indicadas na seguinte figura. Uma empresa de manutenção realizará a pintura das paredes externas com uma tinta de alta impermeabilidade, com uma composição específica para pinturas de cisternas e caixas d’água. A tinta escolhida pela empresa responsável por essa pintura tem um rendimento de 36 m2 por lata.

Considere  e a pintura da área total da superfície da figura.

Assinale, nas alternativas a seguir, o número mínimo de latas de tinta que devem ser adquiridas para tal serviço.

a) 3.

b) 4.

c) 5.

d) 6.

e) 7.

5 – (UniRV GO/2017)    

Um cone foi cortado por um plano  paralelo a sua base e um dos sólidos obtidos depois dessa secção está representado pela figura abaixo.

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas.

a) A distância entre as bases paralelas é de 24 cm.

b) O volume do sólido representado pela figura é 1832ml .

c) A área total do sólido representado pela figura é 5,94dm2.

d) A altura do cone antes de ser seccionado era de 10 cm.

GABARITO

1 – D
2 – 24
3 – C
4 – D
5 – VVFF

 

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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