Vetores

O que são vetores? Porque é importante aprender sobre eles? Como eles podem te ajudar na física? Faça agora uma viagem na matemática para compreender tudo sobre vetores! Entender as famosas “setas” é essencial para resolver alguns exercícios de física. Vem com a gente e revise Física para o Enem e para os vestibulares.

Nesta aula você vai entender o que são os vetores e para que servem. Compreenderá também os significados de vetor oposto, bem como a multiplicação de um número por um vetor e as operações de adição e subtração vetorial.

Vetores são entes matemáticos caracterizados pelo que há de comum ao conjunto dos segmentos orientados, isto é, possuem comprimento, direção e sentido.  Porém, em se tratando de vetor, o comprimento passa a se chamar módulo. Dessa forma, temos que todo vetor possui módulo, direção e sentido. Observe o desenho ao lado: vetor da aula

Neste esquema você pode ver que temos um segmento de reta orientado, com origem no ponto A e extremidade em B, sendo representado pelo vetor . Observe que a representação é feita por uma letra minúscula qualquer com um segmento de reta pequeno orientado sobre ela. Não esqueça que essa “setinha” no símbolo que representa o vetor sempre tem sentido para a direita.

Você acabou de ver que o “módulo” de um vetor é seu comprimento e, no caso de uma grandeza, seu valor. Mas, o que é a sua direção? A direção pode ser horizontal ou vertical, e cada direção pode ter dois sentidos.

aula de vetores

Como você pode observar na imagem acima, a direção horizontal pode ter sentido para esquerda ou para direita. Já a direção vertical, sentido para baixo ou para cima.

Vetores na Física

Para se estudar e compreender perfeitamente grandezas físicas vetoriais recorremos ao vetor. Imagine por exemplo, aplicar duas forças em um corpo. Qual será o resultado da adição dessas duas forças? Certamente, não podemos simplesmente somar os módulos! Afinal, de onde vêm essas forças? Estão agindo no mesmo sentido? Ou em sentidos contrários? Nesses casos, teríamos resultados diferentes em relação à força resultante.

Sendo assim, utilizando-se a representação de vetores, conseguiremos definir e efetuar a soma, a subtração e as multiplicações de grandezas vetoriais. Tudo isso considerando as peculiaridades das grandezas vetoriais envolvidas.

Operações com vetores
  • Adição:

Temos duas formas de somar vetores: uma chamada de regra do poligonal e outra, a regra do paralelogramo. Vamos conhecê-las:

Regra do Poligonal:

Considere os vetores vetor v1 e vetor v2representado abaixo. O vetor soma vetor soma é o resultado de vetor v1 + vetor v2. Acompanhe no desenho:

soma de vetores

A regra do poligonal, como o próprio nome já diz, forma-se um polígono. E o que é um polígono?

Um polígono é todo figura plana fechada, compreendida por segmentos de retas ligados entre si, por exemplo, triângulos, quadrados, hexágonos, etc.

Bom, voltando a regra, o vetor soma vetor soma tem sua origem ligada ao início do vetor vetor v1 e seu término ligada ao final do vetor vetor v2. Sempre o vetor soma terá sua origem no início do primeiro vetor e terminará no final do último vetor envolvido. Observe os vetores vetores a e b e vetor soma.

vetores em letras

Regra do Paralelogramo:

A regra do paralelogramo é melhor compreendida quando utilizada na soma de dois vetores, isso porque os dois vetores se tornarão dois lados do paralelogramo a se formar. Então, ela é melhor indicada para soma de apenas dois vetores.

Vamos utilizar os mesmos dois vetores do primeiro exemplo dado na rega do poligonal:

exemplo de vetores

Observe que surgem dois lados fantasmas para formar o paralelogramo. Esses lados fantasmas nada mais são do que os próprios vetores deslocados. O vetor soma é a diagonal desse paralelogramo. Perceba que é exatamente igual ao vetor soma do primeiro método.

Atenção: Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um polígono fechado, o vetor soma é chamado de vetor nulo e é indicado por vetor zero

diferentes somas de vetores

Caso particular: Quando os vetores estão alinhados, com mesma direção e sentido, você pode apenas soma-los. Veja na imagem:

vetores soma

  • Opostos:

Denomina-se vetor oposto ao vetor vetor v, o vetor vetor v negativo. Ou seja, são vetores contrários, que possuem mesmo módulo e mesma direção, porém sentido oposto. Veja os exemplos:

vetores opostos

Subtração:

Podemos dizer que a subtração de dois vetores é a soma do primeiro com o oposto do segundo. Como vimos, o oposto de um vetor, é o mesmo vetor, mesmo comprimento, porém o sentido que é trocado. Vamos ver então como fica a subtração. Observe os exemplos abaixo:

subtracao de vetores

  • Produto de um número por um vetor

Temos duas situações para um número multiplicando um vetor: Ele sendo positivo ou negativo.

Considere o vetor vetor a, de módulo 3, direção horizontal e sentido para esquerda sendo multiplicado pelo algarismo 2:

aula de vetores

Características dos vetores resultantes:

– Quando multiplicado por 2:

Módulo de 2vetor a é 6, direção a mesma e sentido o mesmo.

– Quando multiplicado por -2:

Módulo de -2vetor a é 6, mesma direção, porém sentido oposto.

Vetores no dia a dia

A sua aplicação no cotidiano é muito comum. Separei abaixo algumas situações. Veja:

  • Quando você tem que empurrar um carro. Neste caso, geralmente é necessário a ajuda de várias pessoas. Para que o carro ande, todos empurram na mesma direção! Estão somando forças com a mesma direção e sentido. Poderíamos representar a força que as pessoas estão fazendo com vetores no mesmo sentido e direção;
  • Quando você vai viajar de uma cidade a outra de automóvel é necessário seguir por rodovias, ruas e estradas com orientações variadas até chegar ao destino final. Os vetores até aprecem como sinalização para o trânsito pintados nas ruas e placas;
  • Quando deseja carregar uma caixa pesada em duas pessoas o que fazemos é compor forças, fazendo com que o peso da caixa seja igual ou inferior a soma da força realizadas pelas duas pessoas;
  • E, ao fazer uma curva, evitando que o carro derrape, você estará controlando a velocidade e aceleração do veículo. Estas duas grandezas vetoriais você estudará em movimento circular.
Conseguiu entender melhor os vetores e sua aplicação na física? Beleza! Agora, que tal ver estas videoaulas do nosso canal para fechar seus estudos?

Agora, que tal testar seus conhecimentos?

Questão 01)    UEM-PR-2018

Considere um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas de origem O = (0, 0). Um ponto neste sistema é representado na forma (x, y), sendo x sua abscissa e y sua ordenada. Neste sistema, considere os pontos A = (3, 4), B = (6, 4) e C = (6, 1). Assinale o que for correto.

01) Os vetores representados pelos segmentos orientados vetor AB e vetor CB têm o mesmo módulo.

02) O vetor vetor AC pode ser decomposto nos vetores vetor u, paralelo ao eixo das abscissas, de comprimento 3 e com o mesmo sentido do eixo, e vetor v, paralelo ao eixo das ordenadas, de comprimento 3 e com sentido oposto ao eixo.

04) Os vetores representados pelos segmentos orientados vetor AB e vetor BC são ortogonais.

08) É possível determinar o módulo de um vetor conhecendo apenas os módulos de suas componentes ortogonais.

16) O vetor vetor BC é paralelo ao eixo das abscissas.

Gabarito da soma: 15

 

Questão 02) UEPG PR 2018

As grandezas físicas classificadas como vetoriais são representadas por um vetor. Sobre os vetores e os respectivos cálculos, assinale o que for correto.

01) Um vetor é representado graficamente por um segmento de reta orientado, onde a direção é dada pela reta suporte e o comprimento do segmento é o seu módulo.

02) O produto de um número real n por um vetor vetor v é também um vetor, de mesma direção e sentido devetor v, se n for positivo, e de sentido contrário, se n for negativo.

04) A soma de dois vetores colineares é igual à soma de seus módulos, e a diferença é a subtração entre seus módulos.

08) É impossível obter o valor do vetor resultante da soma de três vetores não colineares pelo método do paralelogramo.

16) Graficamente, a diferença entre dois vetores sobre um plano é um terceiro vetor representado pela diagonal maior do paralelogramo formado entre eles.

Gabarito da soma: 03

 

Questão 03)    UDESC 2018

Considere os vetores vetor f1 e vetor f2 que representam deslocamentos e são perpendiculares entre si. Sabendo-se que vetor f1 tem módulo igual a 8 cm e que o vetor resultante da soma vetor f1+vetor f2  tem módulo igual a 10 cm, então o vetor vetor f2 possui módulo igual a:

a) 6 cm

b) 36 cm

c) 2 cm

d) 4 cm

e) 18 cm

Gab: A

Sobre o(a) autor(a):

Rodinei Pachani é mestre em Geofísica pela USP-SP, com licenciatura plena em matemática, possui pós-graduação em Gerência Financeira e especialização em Estatística Aplicada. Possui experiência de mais de 28 anos em sala de aula, tendo trabalhado com ensino médio, cursinhos e Faculdades. É autor do livro “Ciência ao alcance de todos” e possui um canal no YouTube onde realiza experimentos, explica conteúdos e resolve exercícios de física.