Como calcular a área e volume de um prisma

Na geometria espacial, nosso foco, em geral, é calcular a área e volume dos sólidos. Entre os sólidos, destacam-se os prismas, e é este assunto que vamos estudar hoje: como calcular a área e volume de um prisma.

Depois, vamos nos aprofundar nos estudos de paralelepípedo e cubo. No final da aula vamos estudar ainda sobre o princípio de Cavalieri.

Como calcular a área de um prisma

O cálculo de área de um prisma pode ser de dois tipos:

• Área lateral do prisma (S_L ou A_L) é a soma das áreas das suas faces laterais;
• Área total (S_T ou A_T) do prisma é a área lateral somada com as áreas das duas bases do prisma.

Veja a imagem abaixo.Na imagem acima, temos um prisma reto com base sendo um polígono qualquer, de lados l₁, l₂, l₃ e l₄ e altura h coincidindo com a aresta lateral (a_L). Estamos interessados em encontrar a área lateral deste prisma.

Perceba que esta área lateral é a soma de cada uma das áreas das faces laterais. Chamando cada face lateral de F₁, F₂, F₃ e F₄ e suas respectivas áreas de SF₁, SF₂, SF₃ e SF₄, temos:

S_L = SF₁ + SF₂ + SF₃ + SF₄

Agora, como cada face lateral é um retângulo, temos:Representação das faces laterais do prisma com suas medidas e o valor da área de cada face.

E, assim,

S_L = SF₁ + SF₂ + SF₃ + SF₄

S_L – l₁ . a_L + l₂ . a_L + l₃ . a_L + l₄ . a_L

S_L = (l₁ + l₂ + l₃ + l₄) . a_L

Como l₁ + l₂ + l₃ + l₄ é o perímetro da base, o qual chamamos de 2p, temos:

S_L = 2p . a_L

Esta é a fórmula da área lateral de um prisma e pode ser generalizada para um prisma cuja base seja um polígono de n lados.

Ainda, fizemos a ilustração com um prisma reto, mas a mesma fórmula é válida para um prisma oblíquo.

Observação: no caso do prisma reto, como h = al, você também pode encontrar a fórmula acima como

S_L = 2p . h

E, com isso, podemos deduzir a área total de um prisma, sendo S_b a área da base do prisma, temos:

S_t = Sl + 2 . S_b

Consequentemente:

S_t = 2p . a_L + 2 . S_b

Perceba também que essa fórmula da área total do prisma vale também para o prisma oblíquo e para o prisma regular.

Observação: às vezes o exercício pode pedir a área do sólido desconsiderando a tampa. Neste caso, você somará a área lateral com apenas a área de uma base, já que a base de cima estará sendo desconsiderada.

Como calcular o volume de um prisma

O volume de um prisma é definido como o espaço que este prisma ocupa. Agora que já sabemos a sua definição, vamos ver como calcular o volume de um prisma.

Dado um prisma de base b e altura h, o volume do prisma é dado pelo produto da área de uma de suas bases pela sua altura. Chamando este volume de V e a área da base de Sb, temos:

V = S_b . h

Veja abaixo.

Em ambos os prismas da imagem acima, calculamos o volume pela mesma relação: S_b . h. O que vai variar de um prisma para o outro é o valor da altura – se ele for reto ou oblíquo – e, também, o valor da área de base, pois este valor dependerá de qual é o polígono que forma a sua base.

Ainda, esta fórmula também é válida para os prismas regulares.

Portanto, faz mais sentido você saber que o volume de um prisma é dado por S_b . h ao invés de decorar uma fórmula de volume para cada prisma, concorda?

Resumo sobre o cálculo de área e volume na geometria espacial

Agora que já sabemos como calcular a área e volume de um prisma qualquer, vamos focar nos cálculos para o cubo e o paralelepípedo, que são os mais comuns em provas.

Como calcular a área e volume de um cubo ou paralelepípedo

Considere um paralelepípedo e um cubo conforme a imagem abaixo.

Temos então que o paralelepípedo tem suas dimensões de medidas a,b e c e o cubo tem todas as suas dimensões medindo l.

Como o cubo e o paralelepípedo são prismas, as fórmulas anteriores são válidas para eles. Considerando suas dimensões, então podemos concluir que:

• Volume do paralelepípedo:

V_p = S_b . h

V_p = a . b . c

Sendo S_b = a. b a área da sua base e altura h = c

• Área lateral do paralelepípedo:

S_L = 2p . h

S_L = (2a + 2b) . c

Sendo 2p = 2a + 2b o perímetro da base e altura h = c

• Área total do paralelepípedo:

S_T = S_L + 2S_b

S_T = (2a + 2b) . c + 2 . a . b

S_T = 2 (ab + bc + ac)

• Volume do cubo:

V_c = S_b . h

V_c = l . l . l

V_c = l³

Sendo S_b = l . l = l² a sua área da base e altura h = l.

• Área lateral do cubo:

S_L = 2p . h

S_L = (4h) . l

S_L = 4l²

Sendo 2p = l + l + l + l = 4l o perímetro da base e altura h = l.

• Área total do cubo:

S_T = Sl + 2S_b

S_T = 4l² + 2l²

S_T = 6l²

Observação: perceba que não é necessário você decorar essas fórmulas para o paralelepípedo e cubo, pois elas derivam das fórmulas para o caso dos prismas no geral.

Como calcular as diagonais de um cubo ou paralelepípedo

Além de calcular a área e o volume de um cubo ou paralelepípedo, podemos falar sobre suas diagonais. Veja abaixo.

As diagonais D na imagem acima representam a diagonal do paralelepípedo e do cubo, as quais estamos interessados em descobrir uma fórmula para seus cálculos.

Perceba que estas diagonais nada mais são do que um segmento de reta com uma extremidade em um vértice superior do paralelepípedo (ou cubo) de uma face e outra extremidade em um vértice inferior da face oposta do paralelepípedo (ou cubo).

Agora, como as bases do paralelepípedo (ou cubo) são retângulos (ou quadrado), podemos traçar a diagonal das suas bases, as quais chamaremos de d. Vamos traçar a diagonal da base inferior do paralelepípedo (ou cubo).

Perceba então que criamos um triângulo retângulo no paralelepípedo (ou cubo) com hipotenusa D e catetos c e d (ou no cubo, hipotenusa D e catetos d e l).

Com isso, pelo Teorema de Pitágoras temos:

D² = d² + c² (paralelepípedo)

D² = d² + l² (cubo)

E, perceba que podemos aplicar novamente o Teorema de Pitágoras na base do paralelepípedo (ou cubo) para encontrar o valor de d em função dos lados do paralelepípedo (ou cubo):

d² = a² + b² (diagonal do retângulo da base)

d² = l² + l² = 2l² = l√2 (diagonal do quadrado da base)

E, com isso:

D² = d² + c² ⇒ D² = a² + b² + c²

(diagonal do paralelepípedo)

D² = d² + l² ⇒ D² = 2l² + l² ⇒ D² = 3l²

D = l√3 (diagonal do cubo)

Agora que já aprendemos sobre o paralelepípedo e o cubo, vamos ao último assunto de hoje: o Princípio de Cavalieri.

O Princípio de Cavalieri

O Princípio de Cavalieri nos fala que “dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes)”. [1]

Em outras palavras, dois sólidos distintos e diferentes um do outro, mas que possuam mesma área da base e altura, possuem o mesmo volume. Veja imagem abaixo.

Sendo S₁ e S₂ as áreas das bases dos dois sólidos, do princípio de Cavalieri concluímos que V₁ = V_2.

Inclusive, este princípio nos ajuda a encontrar o volume de um sólido desconhecido a partir de informações de um sólido conhecido (não necessariamente prismas). E, como este princípio é mais geral, ele pode ser aplicado também para os prismas.

Exercícios de cálculo de área e volume de prismas

1 – (UECE/2019)

Em um prisma triangular reto, a base XYZ é um triângulo retângulo cuja medida dos catetos são respectivamente 3 m e 4 m. Se a medida do volume desse prisma é 18 m³, então, a medida, em metros quadrados, da superfície total desse prisma é

a) 36

b) 48

c) 31

d) 52

2 – (ENEM/2019)

Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando concreto usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a laje será fornecido por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 2 m³, 5 m³ e 10 m³ de concreto.

Qual a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje?

a) Dez caminhões com capacidade máxima de 10 m³.

b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 10 m³.

c) Um caminhão com capacidade máxima de 5 m³.

d) Dez caminhões com capacidade máxima de 2 m³.

e) Um caminhão com capacidade máxima de 2 m³.

3- (UNIFOR CE/2018)

O telhado de uma casa tem o formato de um prisma triangular reto, conforme mostrado na figura abaixo. Um quarto da área do telhado ficará coberta por painéis fotovoltaicos que irão captar energia solar.

Usando √ = 1,7 , podemos afirmar que a área total do telhado coberta pelos painéis é, em m², aproximadamente igual a

a) 48,2.

b) 45,3.

c) 42,7.

d) 39,1.

e) 35,2.

4 – (UPE/2018)

Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna que tem a forma da figura abaixo?

a) 3,2×10⁴

b) 5,2×10³

c) 6,4×10³

d) 9,6×10⁴

e) 10,5×10⁴

5 – (UEPG PR/2017)

Uma caixa A tem a forma de um prisma regular triangular e uma caixa B tem a forma de um prisma hexagonal regular. Se o lado da base da caixa A tem o dobro da medida do lado da base da caixa B, assinale o que for correto.

01 A razão entre as áreas da base de A e B é 2/3.

02 Se a altura de A for a metade da altura de B, então, o volume de B é igual ao triplo do volume de A.

04 Para que os volumes sejam iguais, a altura de B deve ser o dobro da altura de A.

08 Se as alturas das caixas são iguais, a área lateral de B é o dobro da de A.

6 – (UECE/2019)

A medida, em metros, de qualquer diagonal de um cubo cuja medida da aresta é 5 m é

a) 5√2

b) 7√2

c) 5√3

d) 7√3

7 – (Universidade Municipal de São Caetano do Sul SP/2019)

Um bloco de madeira na forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de aresta da base e 20 cm de altura, foi cortado em dois prismas, A e B, ambos retos, de mesma base que o original e de alturas H e h, conforme mostram as figuras.

Desprezando-se as possíveis perdas e sabendo que h/H = 2/3, o volume do prisma B é

a) 326 cm³.

b) 364 cm³.

c) 288 cm³.

d) 414 cm³.

e) 382 cm³.

8 – (ENEM/2019)

Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura. Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 cm³ cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso. O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta. A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.

Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi

a) 140

b) 280

c) 350

d) 420

e) 700

9 – (Faculdade Cesgranrio RJ/2019)    

Considere um recipiente que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, de arestas medindo 25 cm, 25 cm e 90 cm, ilustrado na Figura I. Ele está apoiado em uma de suas faces quadradas, sobre uma mesa horizontal, e encontra-se totalmente vazio.

Um segundo recipiente tem a forma de um cubo de aresta 30 cm e encontra-se totalmente cheio de água (Figura II). O conteúdo do cubo é despejado no paralelepípedo enchendo-o até uma altura x.

Nessas circunstâncias, desprezando a espessura dos recipientes, o valor de x, em centímetros, é

a) 25,2

b) 27

c) 30

d) 43,2

e) 45

10 – (IFMT/2019)

As quatro paredes do salão abaixo foram pintadas externamente com a mesma tinta azul. Sabendo-se que esse salão possui uma porta de vidro e dez janelas também de vidro e, se para cada 5 metros quadrados de área, são gastos 10 litros dessa tinta, então o total dessa mesma tinta azul gastos para pintar as quatro paredes é igual a:

a) 160 litros

b) 180 litros

c) 240 litros

d) 320 litros

e) 360 litros

GABARITO

1. B
2. C
3. B
4. D
5. 03
6. C
7. C
8. B
9. D
10. D

[1]  Definição retirada de Dolce, O., & Pompeo, J. N. (2013). Fundamentos da Matemática Elementar: Goemetria Espacial (Vol. 10). São Paulo – SP: Atual.

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