Os triângulos retângulos são os objetos centrais no estudo da trigonometria e suas aplicações são infinitas em áreas como a Física, a Engenharia e o Design. Por isso, devemos ser fluentes nesse assunto para detonar as questões de Matemática! Veja a nossa aula e resolva a lista de exercícios!
Os triângulos retângulos são polígonos de três lados e três vértices onde encontramos dois ângulos agudos e um ângulo reto (formando um ângulo de 90º).
O ângulo reto é a característica principal desse triângulo e é assim que o diferenciamos de outros triângulos. Aplicando o Teorema de Pitágoras e as relações métricas do triângulo retângulo podemos calcular várias grandezas. Saiba mais sobre os triângulos neste post de Matemática para o Enem e para os vestibulares!
Características do triângulo retângulo
Além do ângulo reto, outra característica interessante do triângulo retângulo é que seus lados têm nomes específicos que os outros triângulos não têm.
Os nomes dos lados do triângulo retângulo são:
Hipotenusa: lado com a medida maior e se localiza do lado oposto ao vértice onde está o ângulo reto. No triângulo da figura abaixo a hipotenusa é representada pelo lado a.
Catetos: os lados que ajudam a formar o ângulo reto do triângulo. NO triângulo da figura são representados por c e b.
Por ser um tipo especial de triângulo, a literatura especializada dedica capítulos inteiros a seu estudo, pois essa figura é o pilar dos estudos da trigonometria.
Na história, os povos antigos, já utilizavam o triângulo retângulo como referência para a construção de suas casas e cidades, para projetar suas lavouras e até controlar o tempo.
Os egípcios, por exemplo, já tinham o conhecimento de triângulos de lados 3,4,5 unidades e os utilizavam como instrumento de medida na engenharia. Seu ângulo reto dava o equilíbrio que precisavam nos projetos.
Hoje, usamos sua teoria para projetos de construção civil, naval, agrimensura, topografia e também para cálculos de astronomia, como a distância de dois planetas. Suas aplicações são infinitas e por isso é que devemos conhecer sua teoria a fundo!

Esse triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, da demonstração de Euclides, recebeu o nome de Pitagórico e o Teorema sobre essa demonstração surgiu como o Teorema de Pitágoras:
“Se um triângulo retângulo tem catetos de medidas b e c e a hipotenusa de medida a, então: a² = b² + c².”
Vamos a um exemplo de como usar esse teorema:
Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é:
A) 2,3m B) 3,0m C) 3,2m D) 3,8m E) 1,6m
Resolução:
Nesta situação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
Onde:
h = b = ?
c = 2,4m
a = 4m
Substituindo no Teorema de Pitágoras, temos:
a² = b² + c²
h2 + (2,4)2 = 42
h2 + 5,76 = 16
Isolamos h²:
h2 = 16 – 5,76
Subtraímos:
h2 = 10,24
E extraímos a raiz quadrada (que é a operação inversa da potenciação) de
10,24:
h = 3,2 m.
Logo, a altura do muro é de 3,2 m.
Vamos assistir a uma aula sobre triângulos retângulos? Veja o que o prof. Sarkis nos ensina!
Relações métricas dos triângulos retângulos:
Ao estudar os triângulos retângulos não podemos deixar de estudar suas relações.
Relações Métricas são operações que envolvem as medidas dos lados e altura de um triângulo, quando este tem seu ângulo de 90º partido ao meio por uma bissetriz, gerando dois triângulos menores.
Essas relações são obtidas através da teoria da semelhança entre triângulos.
Observe a figura abaixo:
Perceba que temos dois triângulos, onde o primeiro tem seus lados iguais a c, m e h. O outro triângulo tem seus lados iguais a b, n e h.
Dizemos que:
- m é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa a do triângulo.
- n é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa a do triângulo.
- h é a altura do triângulo.
- c e b são os catetos do triângulo.
As relações métricas em um triângulo retângulo são:
“O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.”
“O quadrado da medida de um cateto é o produto das medidas da hipotenusa e da projeção ortogonal desse cateto sobre a hipotenusa.”
“O produto das medidas dos catetos é igual ao produto das medidas da hipotenusa e da altura relativa a ela.”
Para você entender melhor vamos mostrar um exemplo do uso dessas relações. Vamos aplicar as relações métricas para descobrirmos os valores numéricos de a, b, c e h:
Nesse tipo de situação, temos que listar os dados que já temos que são:
m = 2
n = 4
Observe o triângulo e veja que a hipotenusa a é a soma de n com m, então:
a = n + m
a = 2 + 4
a = 6
O lado maior do triângulo é a hipotenusa e neste caso vale 6.
Com o valor da hipotenusa a e os valores das projeções m e n, podemos calcular facilmente os catetos b e c:
Após fatorarmos o número 24, temos:
Um dos catetos já está calculado, agora falta o outro:
Prontinho! Agora para calcular a altura do triângulo é só usar a expressão:
Fatorando o número 8, temos:
Então, concluímos que as relações métricas são utilizadas para descobrir uma ou mais medidas em um triângulo retângulo.
Com isso, terminamos essa aula, com certeza que você entendeu a importância de estudar sobre os triângulos retângulos. Pratique e detone na prova! Agora é com você!
Referências Bibliográficas:
MATSUBARA, Juliane B. Obra coletiva. Conexões com a Matemática. Vol1. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.
MORI, Iracema. Matemática: Ideias e desafios. 9º ano. 15ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
Exercícios:
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Pergunta 1 de 10
1. Pergunta
Estou fazendo uma estrutura que terá o formato de um triângulo retângulo com dois dos seus maiores lados medindo 8 m e 10 m. O perímetro dessa estrutura é de quantos metros?
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
A resposta está incorreta. Veja uma revisão nesta aula e continue se preparando para o Enem e vestibulares!
-
Pergunta 2 de 10
2. Pergunta
Um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 3 de 10
3. Pergunta
(UERJ)
Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
………………………………………………………………………..
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 4 de 10
4. Pergunta
Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
A resposta está incorreta. Veja uma revisão nesta aula e continue se preparando para o Enem e vestibulares!
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Pergunta 5 de 10
5. Pergunta
(OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício. Se o topo da escada escorregar 4m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
A resposta está incorreta. Veja uma revisão nesta aula e continue se preparando para o Enem e vestibulares!
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Pergunta 6 de 10
6. Pergunta
Calcule a medida da projeção ortogonal de um cateto sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, sabendo que o referido cateto mede 12 e a hipotenusa mede 20.
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 7 de 10
7. Pergunta
(VUVESP)
As medidas em centímetros dos lados de um triângulo retângulo são expressas por números inteiros. Sabendo que um dos catetos e a hipotenusa são números consecutivos e que a hipotenusa mede mais do que 38 cm e menos do que 44 cm, então o perímetro desse triângulo mede, em cm,
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 8 de 10
8. Pergunta
Se a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 5 cm, então a medida do cateto desse triângulo cuja medida da sua projeção sobre a hipotenusa mede 16/5 cm, é igual a:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 9 de 10
9. Pergunta
A alternativa que corresponde a área de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 1,5m e um dos lados mede 90 cm, é:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 10 de 10
10. Pergunta
A medida da altura de um triângulo retângulo, cujas medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa são 9 / 5 e 16/5, é igual a :
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
A resposta está incorreta. Veja uma revisão nesta aula e continue se preparando para o Enem e vestibulares!
Sobre o(a) autor(a):
A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.