Triângulos Retângulos e Teorema de Pitágoras

Os triângulos retângulos são os objetos centrais no estudo da trigonometria e suas aplicações são infinitas em áreas como a Física, a Engenharia e o Design. Por isso, devemos ser fluentes nesse assunto para detonar as questões de Matemática! Veja a nossa aula e resolva a lista de exercícios!

Os triângulos retângulos são polígonos de três lados e três vértices onde encontramos dois ângulos agudos e um ângulo reto (formando um ângulo de 90º).

O ângulo reto é a característica principal desse triângulo e é assim que o diferenciamos de outros triângulos. Aplicando o Teorema de Pitágoras e as relações métricas do triângulo retângulo podemos calcular várias grandezas. Saiba mais sobre os triângulos neste post de Matemática para o Enem e para os vestibulares!

Características do triângulo retângulo

Além do ângulo reto, outra característica interessante do triângulo retângulo é que seus lados têm nomes específicos que os outros triângulos não têm.

Os nomes dos lados do triângulo retângulo são:

Hipotenusa: lado com a medida maior e se localiza do lado oposto ao vértice onde está o ângulo reto. No triângulo da figura abaixo a hipotenusa é representada pelo lado a.

Catetos: os lados que ajudam a formar o ângulo reto do triângulo. NO triângulo da figura são representados por c e b.

Por ser um tipo especial de triângulo, a literatura especializada dedica capítulos inteiros a seu estudo, pois essa figura é o pilar dos estudos da trigonometria.

Na história, os povos antigos, já utilizavam o triângulo retângulo como referência para a construção de suas casas e cidades, para projetar suas lavouras e até controlar o tempo.

Os egípcios, por exemplo, já tinham o conhecimento de triângulos de lados 3,4,5 unidades e os utilizavam como instrumento de medida na engenharia. Seu ângulo reto dava o equilíbrio que precisavam nos projetos.

Hoje, usamos sua teoria para projetos de construção civil, naval, agrimensura, topografia e também para cálculos de astronomia, como a distância de dois planetas. Suas aplicações são infinitas e por isso é que devemos conhecer sua teoria a fundo!

Triângulos Retângulos - 2
A figura mostra três quadrados: um cor verde e pequeno, um azul e de tamanho médio e um de cor vermelha e grande. Estão arranjados de forma a criar no centro um triângulo retângulo de cor amarela. Fonte: Wikimédia < https://goo.gl/sojcg9>

Esse triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, da demonstração de Euclides, recebeu o nome de Pitagórico e o Teorema sobre essa demonstração surgiu como o Teorema de Pitágoras:

“Se um triângulo retângulo tem catetos de medidas b e c e a hipotenusa de medida a, então: a² = b² + c².”

Vamos a um exemplo de como usar esse teorema:

Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é:

A) 2,3m B) 3,0m C) 3,2m D) 3,8m E) 1,6m

Resolução:

Nesta situação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

Onde:
h = b = ?
c = 2,4m
a = 4m

Substituindo no Teorema de Pitágoras, temos:

a² = b² + c²
h2 + (2,4)2 = 42
h2 + 5,76 = 16
Isolamos h²:
h2 = 16 – 5,76

Subtraímos:

h2 = 10,24

E extraímos a raiz quadrada (que é a operação inversa da potenciação) de

10,24:
h = 3,2 m.

Logo, a altura do muro é de 3,2 m.

Vamos assistir a uma aula sobre triângulos retângulos? Veja o que o prof. Sarkis nos ensina!

Relações métricas dos triângulos retângulos:

Ao estudar os triângulos retângulos não podemos deixar de estudar suas relações.

Relações Métricas são operações que envolvem as medidas dos lados e altura de um triângulo, quando este tem seu ângulo de 90º partido ao meio por uma bissetriz, gerando dois triângulos menores.

Essas relações são obtidas através da teoria da semelhança entre triângulos.
Observe a figura abaixo:

Perceba que temos dois triângulos, onde o primeiro tem seus lados iguais a c, m e h. O outro triângulo tem seus lados iguais a b, n e h.

Dizemos que:

  • m é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa a do triângulo.
  • n é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa a do triângulo.
  • h é a altura do triângulo.
  • c e b são os catetos do triângulo.

As relações métricas em um triângulo retângulo são:

“O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.”

Triângulos Retângulos - 4

“O quadrado da medida de um cateto é o produto das medidas da hipotenusa e da projeção ortogonal desse cateto sobre a hipotenusa.”

Triângulos Retângulos - 9

“O produto das medidas dos catetos é igual ao produto das medidas da hipotenusa e da altura relativa a ela.”

Triângulos Retângulos - 6

Para você entender melhor vamos mostrar um exemplo do uso dessas relações. Vamos aplicar as relações métricas para descobrirmos os valores numéricos de a, b, c e h:

Nesse tipo de situação, temos que listar os dados que já temos que são:

m = 2
n = 4

Observe o triângulo e veja que a hipotenusa a é a soma de n com m, então:

a = n + m
a = 2 + 4
a = 6

O lado maior do triângulo é a hipotenusa e neste caso vale 6.

Com o valor da hipotenusa a e os valores das projeções m e n, podemos calcular facilmente os catetos b e c:

Triângulos Retângulos - 7

Após fatorarmos o número 24, temos:

Um dos catetos já está calculado, agora falta o outro:

Prontinho! Agora para calcular a altura do triângulo é só usar a expressão:

Triângulos Retângulos - 10

Fatorando o número 8, temos:

Então, concluímos que as relações métricas são utilizadas para descobrir uma ou mais medidas em um triângulo retângulo.

Com isso, terminamos essa aula, com certeza que você entendeu a importância de estudar sobre os triângulos retângulos. Pratique e detone na prova! Agora é com você!

Referências Bibliográficas:

MATSUBARA, Juliane B. Obra coletiva. Conexões com a Matemática. Vol1. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.

MORI, Iracema. Matemática: Ideias e desafios. 9º ano. 15ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.

Exercícios:

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.