Equação geral e equação reduzida da circunferência

O objetivo da geometria analítica é descrever e trabalhar com objetos geométricos através da álgebra. Por exemplo: podemos utilizar equações para descrever e trabalhar com retas, circunferências, elipses, parábolas e tantas outras figuras. Nesta aula, vamos aprender a equação geral da circunferência.

Durante nosso estudo, trabalharemos com dois tipos de equação de circunferência: a equação reduzida e a equação geral. Veremos que elas são equivalentes, isto é, podemos encontrar uma a partir da outra utilizando procedimentos algébricos.

Equação reduzida da circunferência

A circunferência tem dois elementos principais: o centro e o raio. Usaremos ambos para encontrar a equação reduzida de uma circunferência qualquer. Para isso, basta usar o seguinte modelo: a circunferência de centro (x_c, y_c) e raio r será dada por:

(x – x_c)² + ( y – y_c)² = r²

Exemplo

Encontre a equação reduzida da circunferência de centro (1, 2) e raio r = 3.

Para resolver esse exemplo, basta substituir os valores dados nas variáveis do modelo, ou seja, fazer x_c = 1, y_c = 2 e r = 3:

(x – 1)² + (y – 2)² = 3²

(x – 1)² + (y – 2)² = 9

Essa é a equação reduzida da circunferência com o centro e o raio dado. Observe que a equação reduzida é muito útil, já que podemos identificar facilmente quem é seu centro e quem é o seu raio.

Introdução às equações da Circunferência

Confira agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, a parte introdutória dos ângulos e cálculos da Circunferência. Logo depois tem a parte 2.

Exemplo

Encontre o centro e o raio da circunferência dada pela equação reduzida (x – 3)² + (x + 3)² = 16.

Aqui faremos o processo inverso. Precisamos prestar atenção no sinal, já que usamos o inverso das coordenadas do centro no modelo. Assim, como na expressão referente à coordenada x da equação aparece um -3 sabemos que a coordenada x do centro será x_c = 3.

Da mesma forma, como na expressão de y aparece um +3, a coordenada y do centro será y_c = -3. Temos, então, que o centro é dado pelas coordenadas C = (3, -3). Portanto, basta inverter o sinal dos números que aparecem na equação e colocá-los nas coordenadas do centro.

Para o raio, vamos analisar o valor numérico que aparece isolado. Note que no modelo temos o raio elevado ao quadrado. Por isso iremos fazer a operação inversa e tirar a raiz quadrada deste valor. Como no nosso exemplo temos o valor 16, faremos r = √16 = 4.

Assim, temos que a circunferência dada pela equação (x – 3)² + (x + 3)² = 16 tem centro C = (3, -3) e raio r = 4.

Equação geral da circunferência

A equação geral da circunferência não nos dá muitas informações sobre o objeto geométrico logo de cara como a equação reduzida. Entretanto, ela é tópico de muitas questões de exames e vestibulares.

Perceba que a equação geral é uma versão desenvolvida da equação reduzida. Isto é, para encontrarmos a equação geral basta desenvolvermos e isolarmos a equação reduzida a um dos lados da equação. Veja só com o modelo:

(x – x_c)² + (y – y_c) = r²

x² – 2.x_c.x + x_c² + y² – 2.y_c.y + y_c² = r²

x² – 2.x_c.x + x_c² + y² – 2.y_c.y + y_c² – r² = 0

Essa equação já poderia ser chamada de equação geral da circunferência, a forma desenvolvida da equação reduzida. Mas, vamos organizá-la um pouco mais:

x² + y² – 2.x_c.x – 2.y_c.y + x_c + y_c – r² = 0

Agora vamos substituir as constantes por variáveis reais mais simples, faremos:

• -2x_c = a
• -2y_c = b
• x_c + y_c – r² = c

Esse processo serve apenas para renomear as variáveis e deixar a equação mais simples. Assim, podemos ver a equação geral da circunferência como:

x² + y² + a.x + b.y + c = 0

Dessa forma, sabemos que equações que têm essa forma são, na maioria dos casos, equações de circunferências. Veja alguns exemplos:

• x² + y² – 4 = 0
• x² + y² + 2x +2y – 3 =
• x² + y² – 3x + 5y + 1 = 0

Exemplo

Encontre a equação geral da circunferência dada pela equação reduzida (x – 1)² + (y – 1)² = 4.

Como visto anteriormente, para achar a solução, basta desenvolver a equação:

x² – 2.1.x + 1² + y² – 2.1.y + 1² = 4

x² + y² -2x – 2y + 1 + 1 -4 = 0

x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0

Essa é a forma geral da equação reduzida dada no exemplo. Veja que fizemos alguns procedimentos para organizar a equação, tal como juntar os elementos que não acompanhavam variável (1 + 1 – 4 = -2).

Embora fazer o procedimento de encontrar a equação geral a partir da equação reduzida seja relativamente simples, o procedimento contrário pode não ser tão fácil. Mais que isso, encontrar a equação reduzida tendo a equação geral é uma questão clássica de exames e pode ser pedida em uma variedade de problemas. Portanto, vamos fazer um exemplo bem detalhado para este caso.

Equações da Circunferência – Parte 2

Exemplo

Encontre a equação reduzida da circunferência a partir da equação geral x² – 6x + y² + 4y – 12 = 0.

Para resolver esse tipo de questão, precisamos entender um processo na matemática que chamamos de completamento de quadrados. O processo de completamento de quadrados é feito quando queremos fazer o inverso do desenvolvimento de uma soma/diferença de quadrados, mas não temos todos os termos. Veja só:

Se tivéssemos a equação x² + 2x + 1 = 0, poderíamos escrever reescrevê-la como:

(x + 1)² = 0

Isso porque sabemos que o desenvolvimento da soma de quadrados resulta em (x – 1)² = x² + 2x + 1.

Agora, imagine se tivéssemos a equação x² + 10x = 0. Veja que diferente da equação anterior, não temos um termo que não acompanhe x ou x². Por esse motivo, não podemos simplificá-la diretamente.

Completamento dos quadrados

Quando isso acontecer, faremos o completamento dos quadrados, isto é, somaremos um número adequado a ambos os lados da equação. Para encontrar qual número precisamos somar, faremos o seguinte:

1. Dividiremos o número que acompanha o x por 2;
2. Elevamos o resultado dessa divisão ao quadrado.

No nosso caso, o número que acompanha o x é 10. Por isso, o dividimos por 2, que resulta em 5. Em seguida, o elevamos ao quadrado, o que resulta em 25. Portanto, precisamos somar 25 em ambos os lados desta equação:

x² + 10x + 25 = 0 + 25

Agora, podemos simplificar o lado esquerdo desta equação em uma soma de quadrados:

(x + 5)² = 25

Aqui a dica é que o número que acompanhará o x na soma/diferença de quadrados será sempre o resultado do passo 1.

Voltamos para a equação do exemplo:

x² – 6x + y² + 4y – 12 = 0

Aqui, vamos ter que fazer o processo de completamento de quadrados duas vezes, uma para x e outra para y. Começamos por x: o número que acompanha x é -6. Em seguida, fazemos a divisão por 2 e obtemos -3. Por fim, elevamos o resultado dessa divisão ao quadrado resultando em 9. Assim, somamos 9 a ambos os lados da equação:

x² – 6x + y² + 4y – 12 + 9 = 0 + 9

Vamos organizar a nossa equação:

x² – 6x + 9 + y² + 4y – 12 = 9

Agora podemos simplificar em uma soma de diferença de quadrados. Mais uma vez, o número que acompanha o x, o resultado da divisão no passo 1, nesse caso, será o -3:

(x – 3)² + y² + 4y – 12 = 9

Agora vamos repetir o mesmo processo para y: o número que acompanha y é 4, que dividido por 2 resulta em 2, que elevado ao quadrado resulta em 4. Somando 4 em ambos os lados da equação:

(x – 3)² + y² + 4y – 12 + 4 = 9 + 4

Reorganizando a equação:

(x – 3)² + y² + 4y + 4 – 12 = 13

Simplificando em uma soma de quadrado obtemos:

(x – 3)² + (y +2)² – 12 = 13

Agora, basta somarmos 12 (o inverso do número que sobrou sozinho no lado esquerdo) em ambos os lados, e obtemos a equação reduzida:

(x – 3)² + (y + 2)² = 25

O Básico sobre Círculo e Circunferência

Sim, esse processo pode ser muito complicado. Mas como ele é muito útil na hora de fazer provas, revise o método com a videoaula e treine com os exercícios disponíveis logo abaixo.

Exercícios sobre equação geral da circunferência

1- (Unifenas MG/2020) 

Assinale a alternativa que representa a equação da circunferência que possui centro C = (7, 4) e raio 4.

a) (x – 7)² + (y – 4)² = 16

b) (x – 7)² + (y – 4)² = 4

c) (x + 7)² + (y – 4)² = 16

d) (x – 7)² + (y + 4)² = 4

e) (x + 7)² + (y + 4)² = 16

2- (UFAM/2015)

A distância do ponto P = (-2, 3) ao centro da circunferência λ: x² + y² – 10 x – 6y + 25 = 0 é:

a) 5

b) 7

c) 10

d) 15

e) 20

3- (PUC RS/2014)

Uma circunferência de centro em P(c, c), com c ≠ 0, tangencia o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. Sua equação é

a) x² + y² = c²

b) (x – c)² + y² = c²

c) x² + (y – c)² = c²

d) (x – c)² + (y – c)² = c

e) (x – c)² + (y – c)² = c²

4- (Uncisal AL/2014)

O objetivo da Geometria Analítica é tratar algebricamente os entes matemáticos geométricos. Para isto se estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano cartesiano e os pares de números reais e, a partir daí, encontram-se equações associadas a retas e a curvas. Por exemplo, a circunferência de centro (a, b) e raio r tem equação (x – a)² + (y – b)² = r² e toda equação do tipo x² + y² + ax + by + c = 0 é a equação de uma circunferência.

O centro e o raio da circunferência x² + y² + 4y – 5 = 0 são, respectivamente,

a) (0, 2) e 3

b) (0, 2) e √5

c) (0, -2) e 3

d) (0, -2) e √5

e) (0, 2) e 9

GABARITO:

1. A
2. B
3. E
4. C

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