Geometria analítica: plano cartesiano, pontos e distância entre pontos

O sistema de coordenadas mais utilizado quando trabalhamos com geometria analítica é o cartesiano, criado por René Descartes. Podemos trabalhar com o sistema cartesiano em diversas dimensões. Entretanto, nesta aula, vamos trabalhar especialmente o sistema cartesiano de duas dimensões, nomeado de plano cartesiano.

O que é o plano cartesiano

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas de duas dimensões formado por duas retas numéricas perpendiculares entre si, ou seja, elas formam um ângulo de 90º. A essas retas damos o nome de eixos.

Os eixos servem como “réguas” para medirmos onde cada objeto está no plano. Dessa forma, a representação usual do plano utiliza um eixo horizontal, nomeado de eixo x, e um vertical, nomeado de eixo y.

Consequente, cada ponto do nosso plano será dado por um par ordenado (uma dupla de números em que a ordem importa). O primeiro valor representa a coordenada do ponto no eixo x e o segundo valor representa coordenada do ponto no eixo y. Aqui podemos entender a coordenada como o “endereço” do ponto, um lugar que podemos representar por um número.

Para definir o sistema de coordenadas, diremos que a intersecção dos eixos x e y será a origem do plano, que será atribuída ao ponto (0,0).

Além disso, diremos que os pontos à direita da origem terão valores positivos para a coordenada x, dispostos de forma crescente. Enquanto isso, os pontos a esquerda da origem terão valores negativos para a mesma coordenada, dispostos de forma decrescente.

Analogamente, diremos que os pontos acima da origem terão valores positivos para a coordenada y, dispostos de forma crescente. Enquanto os valores abaixo da origem terão valores negativos para a mesma coordenada dispostos de forma decrescente.

Introdução sobre plano cartesiano

Para complementar seus estudos do assunto, assista à videoaula introdutória do professor Lucas sobre o tema no canal do Curso Enem Gratuito:

Pontos no plano cartesiano

Como discutimos até aqui, no plano cartesiano os pontos são pares ordenados com cada um dos valores representando uma coordenada. Por exemplo, o ponto (0,0) é o ponto onde a coordenada x vale 0 e a coordenada y vale 0. Por definição, esse ponto é a origem e está indicado na figura 1.

Partindo para alguns exemplos menos triviais, o ponto (3,2) é o ponto com coordenada x valendo 3 e coordenada y valendo 2. Mas, o que significa a coordenada x valer 3?

Exemplos

Significa que o ponto está a 3 unidades de distância à direita da origem. Da mesma forma, falar que a coordenada y vale 2 significa dizer que o ponto está a 2 unidades de distância acima da origem. Juntando essas duas informações, temos o ponto (3,2) representado pela figura 4.

Também podemos entender que o valor da coordenada x do ponto é onde no eixo x o ponto projetaria uma “sombra”, essa interpretação pode ser vista observando os segmentos pontilhados presentes na figura 4.

Seguindo para mais alguns exemplos, veja nas imagens os pontos (-3, -2), (0, 4) e (-1, 5) na figura abaixo.

Note que a posição dos pontos segue as regras que descrevemos anteriormente quando a posição do ponto e o valor das coordenadas. Ainda é importante notar que o ponto (0,4) tem uma coordenada x = 0. Quando isso acontece, dizemos que o ponto pertence ao eixo y. Da mesma forma, se um ponto tiver a coordenada y = 0, dizemos que ele pertence ao eixo x.

Mais um detalhe importante a se notar no trabalho com ponto é a notação que usamos. Usualmente, denotamos o ponto utilizando uma letra maiúscula. Por exemplo, podemos nomear o ponto (3, 2) como A = (3, 2).

Dentro desta convenção de notação, é válido apontar que é muito comum atribuirmos à origem a letra O, ou seja O = (0,0).

Distância entre pontos

Quando calculamos a distância entre dois pontos estamos procurando o tamanho do segmento de reta que une esses dois pontos. Por exemplo, na figura abaixo, se quisermos calcular a distância entre os pontos A e B, vamos ter que encontrar o tamanho do segmento p.

Agora, como vamos calcular essa distância? Bom, para facilitar algumas questões, vamos separar as respostas em dois métodos diferentes. O primeiro servirá para calcular a distância entre dois pontos quando pelo menos uma das coordenadas respectivas entre eles é igual. Já o segundo servirá para calcular a distância entre pontos independente de suas coordenadas.

Embora possamos resolver qualquer questão pelo segundo método, utilizar o primeiro poupará bastante tempo na sua prova ou exame. E, no Enem, economizar tempo é fundamental.

Método 1: pontos com pelo menos uma coordenada igual

Como dito anteriormente, vamos utilizar este método para calcular a distância entre dois pontos em que pelo menos uma das coordenadas respectiva entre eles é igual.

Por exemplo: poderíamos usar este método para calcular a distância entre os pontos (3, 2) e (3, 5), já que ambos têm a coordenada x = 3. Da mesma forma, poderíamos utilizar esse método para calcular a distância entre os pontos (2, 4) e (6, 4), já que ambos possuem a coordenada y = 4.

Entretanto, não podemos usar este método para calcular a distância entre os pontos (3, 3) e (4, 5), já que ambos possuem coordenadas x e y diferentes.

Agora que você já sabe quando pode utilizar o método, vamos ver como aplicá-lo. Para calcular a distância, basta anotar os valores das coordenadas que não são iguais de ambos os pontos e subtrair um do outro. O módulo dessa subtração será a distância.

Exemplo: calcule a distância entre os pontos A = (1, 3) e B = (1, 6).

Veja que as coordenadas x em ambos os pontos valem 1. Portanto, podemos aplicar o cálculo das distâncias deste primeiro caso. Dessa forma, vamos subtrair os valores da coordenada y de cada ponto, que valem 3 e 6, e tirar seu módulo. Dessa forma, a distância será:

d = |6 – 3| = |3| = 3

Portanto, a distância entre os dois pontos é 3. Veja que se trocarmos a ordem da subtração o resultado não muda:

d = |3 – 6| = |-3| = 3

Método 2: pontos com coordenadas quaisquer

Quando não conseguirmos aplicar o método anterior, podemos calcular a distância entre os pontos utilizando a fórmula a seguir.

Considerando os pontos A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂) – aqui, x₁, y₁, x₂ e y₂ são variáveis que representam as coordenadas x e y dos pontos A e B, respectivamente – a distância entre os pontos A e B será:

Vamos aplicar a fórmula em um exemplo.

Exemplo: calcule a distância entre os pontos A = (1, 1) e B = (5, 4).

Para aplicar a fórmula, basta substituir os valores das coordenadas. Vamos fazer isso por partes para que fique claro.

Começamos substituindo as coordenadas de A na fórmula nas variáveis x₁ e y₁. O importante aqui é substituir nas variáveis que possuem o mesmo índice (neste caso, substituímos nas de índice 1):

Agora, vamos substituir as coordenadas de B na fórmula nas variáveis x₂ e y₂:

Desenvolvendo as contas, obtemos:

Assim, concluímos que a distância entre os pontos A e B é 5.

Questões sobre plano cartesiano

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