Esfera: elementos, área de superfície e volume

Na oitava e última aula da nossa série “Aprenda geometria de uma vez por todas” vamos estudar as esferas, figuras da geometria espacial. Veremos o cálculo do seu volume, da sua área de superfície e também o estudo das calotas esféricas. Estude esta aula acompanhando com a videoaula referente e faça os exercícios no fim do post.

Definição de esfera

A esfera é um objeto geométrico que podemos separar em duas partes: a esfera em si e a casca esférica.

A esfera é uma região no espaço composta por uma série de pontos que distam de seu centro uma distância menor ou igual a seu raio. Portanto, a esfera é o miolo. Assim, quando trabalhamos com a esfera maciça em exercícios, estamos trabalhando com uma grandeza de volume, uma quantidade de espaço.

Por outro lado, a casca esférica é uma série de pontos que distam de seu centro uma distância exatamente igual ao seu raio. Como indicada pelo nome, a casca esférica é composta apenas pela região externa de uma esfera, apenas por sua casca.

Dessa forma, quando trabalhamos com a casca esférica, estamos trabalhando com uma grandeza de área. Um exemplo fácil de entender é pensar numa laranja. Se removêssemos sua casca, a planificássemos e medíssemos sua área, estaríamos calculando o tamanho da casca esférica.

Elementos das esferas e das cascas esféricas

Antes de irmos para os cálculos, temos que deixar bem definido quais são os elementos que constituem uma esfera e uma casca esférica. Felizmente, teremos os mesmos elementos presentes no círculo e na circunferência.

Primeiro, teremos um ponto denominado de centro, o qual podemos entender de forma intuitiva sua posição e definição.

Também temos o raio da casca esférica, que é a distância da qual todo ponto dista do centro. No caso esfera, o raio é a distância máxima de todo ponto ao centro. Da mesma forma que no círculo e na circunferência, o raio é uma distância, uma medida de comprimento.

Alternativamente, e fique bem atento/a que pode ser um tópico de interpretação nas questões, também temos definido o diâmetro. Diâmetro é a medida de distância que vai de um ponto ao seu oposto da esfera passando pelo seu centro. Dessa maneira, o diâmetro é o dobro do raio.

Como calcular o volume das esferas

Para as questões envolvendo volume da esfera, infelizmente a nossa melhor alternativa para a prova é gravar a fórmula. Podemos calcular o volume da esfera utilizando a seguinte fórmula:

Onde r é o raio da esfera. Lembre-se que o Enem, muitas vezes, usa aproximações para o número π, sendo as mais comuns 3 e 3,14. Vamos ver um exemplo.

Exemplo: calcule o volume de uma esfera com raio medindo 7 m.

A resolução dessa questão envolve a aplicação direta da fórmula. Vamos substituir o raio na fórmula pelo raio fornecido:

Resolvendo a potência de 7 temos:

Em seguida, vamos multiplicar os denominadores e deixar a resposta em forma de fração, já que não temos mais formas de simplificar:

Essa é uma resposta simbólica adequada. Vamos ver as respostas caso precisássemos usar π como uma aproximação. Para π = 3:

Simplificando, obtemos:

V = 1372 m³

Para π = 3,14:

Como não temos que simplificar, vamos apenas fazer a multiplicação:

Área da casca esférica

Como dito anteriormente, quando fazemos exercícios de cascas esféricas procuramos um resultado em grandeza de área. Para isso, também vamos usar uma única fórmula. A área de uma superfície esférica pode ser calculada fazendo:

A = 4πr²

Onde r é o raio da casca esférica. A mesma observação sobre o raio se aplica às cascas esféricas.

Exemplo: calcule a área da casca esférica de raio r = 5 m.

Da exata mesma forma que no exercício de volume, vamos apenas substituir r na fórmula pelo raio fornecido e fazer os cálculos adequados.

A = 4πr²

A = 4π(5 m)²

A = 4π . 25 m²

A = 100 πm²

Mais uma vez, essa resposta é adequada caso o exercício peça por uma resposta simbólica. Vamos ver os casos onde é necessário uma aproximação.

Para π = 3:

A = 100 . 3 m²

A = 300 m²

Para π = 3,14:

A = 100 . 3,14 m²

A = 314 m²

Note a diferença nos resultados dependendo da aproximação que utilizamos. Quanto mais casas decimais, mais próxima nossa aproximação fica da solução exata.

Calotas esféricas

Por fim, no nosso estudo de esferas temos que destacar as calotas esféricas. Pense que você queira separar apenas uma região da esfera, de forma que ela continue com sua forma “esférica”.

Um desses tipos de cortes é chamado de calota esférica, e é caracterizado pelo corte da esfera por um plano, onde excluímos umas das regiões. Pense que estamos cortando a esfera apenas uma vez de forma perfeitamente reta e escolhendo uma das partes. Veja na imagem.

Perceba na representação acima que a calota esférica é a região acima da elipse não pontilhada (próxima do segmento h e a) que também intersecta a esfera. Ao definirmos a calota esférica, temos duas novas medidas.

A primeira delas é o a. Diferente da nossa representação plana, a elipse a qual nos referimos anteriormente é, na verdade, uma circunferência no espaço. Veja na imagem:

Dessa forma, definimos essa medida a como o raio da circunferência formada pela intersecção da esfera e do plano. Preste atenção que este a não é o raio da esfera.

Também temos a medida h, conhecida como a altura da nossa calota esférica. Essa altura é definida pela distância entre o centro desta circunferência definida pela intersecção até o extremo da calota esférica.

Ainda podemos pensar nela uma parte do raio da esfera que está dentro da calota esférica. Essas duas medidas são essenciais para fazermos contas com calotas esféricas.

Área e volume de calotas esféricas

Da mesma forma que na esfera, os exercícios de calotas esféricas podem cobrar duas grandezas diferentes: a área de superfície e o volume.

O volume de uma calota esférica pode ser calculado usando a fórmula:

Alternativamente, também temos a fórmula:

Já a área da calota esférica pode ser calculada usando a fórmula:

A_calota = 2πrh

De maneira alternativa, usamos a fórmula:

A_calota = π(a² + h²)

Onde r é o raio da esfera, h é a altura da calota esférica e a é o raio da circunferência que define a calota esférica. Da mesma forma que no trabalho com esfera, para resolver exercícios com esses cálculos basta substituir os valores fornecidos nas fórmulas e fazer as contas adequadas.

Felizmente, o Enem tem o histórico de cobrar calotas esféricas de forma interpretativa, ou ainda fazendo uso de geometria plana. Então, o mais importante aqui é entender como essa região é formada do que gravar as fórmulas!

Videoaula

Para finalizar sua revisão, não deixe de assistir ao 8º episódio da série “Aprenda geometria de uma vez por todas” com o professor Lucas!

Exercícios sobre esferas

Para finalizar seus estudos sobre esferas, resolva a lista de exercícios:

Estudante, terminamos por aqui a nossa série “Aprenda geometria de uma vez por todas”. Faça os exercícios, revise as aulas e dê uma olhada nas videoaulas. Boas provas!

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