Contagem e probabilidade

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Probabilidade é um tema bastante recorrente no Enem. Nos últimos anos, mais de quarenta questões envolveram este tema. Aprender contagem e estatística é uma boa pedida para o Enem, que adora relacionar os conteúdos com questões cotidianas.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

O Princípio Fundamental da Contagem também é chamado de Princípio Multiplicativo, pois o número total de possibilidades é o produto dos números de possibilidades em cada etapa. Para entender melhor, vamos ver um exemplo:

  • Quantos anagramas podemos escrever com as letras da palavra amor?

Lembre-se: Anagrama é uma “palavra” formada pela transposição (troca ou “embaralhamento”) das letras de outra palavra.

Para escrever vários anagramas com as letras da palavra amor, temos as seguintes possibilidades:

  • Número de possibilidades de escolher a primeira letra = 4
  • Número de possibilidades de escolher a segunda letra = 3
  • Número de possibilidades de escolher a terceira letra = 2
  • Número de possibilidades de escolher a última letra = 1

Então o número de anagramas será o produto das possibilidades:

n =  4.3.2.1 = 24  anagramas possíveis

Entendeu? Vejamos outro exemplo:

Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:

  • Quantos números de 3 algarismos podemos formar?

              ____________    __________    __________

                Centena        Dezena        Unidade

 Então, temos 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade (pois os números podem se repetir).

Portanto, podemos formar: 7. 8. 8 = 448 números.

  • Fácil, não é mesmo? Podemos dificultar um pouco? Qual a quantidade de números de 3 algarismos distintos que conseguimos formar?

Atenção: Agora não poderemos repetir os números na centena, dezena e na unidade, portanto teremos: 7 possibilidades para a centena (não podemos contar com o 0), 7 para a dezena (pois aqui teremos a inclusão do número zero, excluído na casa da centena) e 6 para a unidade. Assim, podemos formar 7. 7 . 6 = 294 números de 3 algarismos distintos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Probabilidade

Uma das principais aplicações das técnicas de contagem é a resolução de problemas simples de probabilidade. O interesse dos matemáticos no estudo sistemático de probabilidades é relativamente recente e tem suas raízes no estudo dos jogos de azar. No estudo desses jogos, normalmente ocorre a seguinte situação: todos os possíveis resultados têm a mesma chance de ocorrer.

Por exemplo, ao lançar um dado “honesto” (quer dizer, construído de forma perfeitamente cúbica e homogênea), todas as faces têm a mesma chance de sair. Como as faces são 6, esperamos que cada uma delas ocorra em aproximadamente 1/6 dos lançamentos. Dizemos, então, que cada uma delas tem probabilidade 1/6 de sair. Também atribuímos probabilidades a conjuntos de resultados possíveis, chamados de eventos.

Achou complicado? Vamos ver um exemplo para ficar mais claro:

  • Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto?
Quando falamos em sair um número maior do que 4 ao jogar o dado, estamos considerando sair o número 5 ou 6, como cada face do dado tem a probabilidade de 1/6 de ocorrer, a probabilidade de sair um número maior que 4 será :  probabilidade
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Tipos de combinatória

O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa. Desta maneira, existem algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. As mais comuns são: arranjos, combinações e permutações.

No entanto, nos problemas que utilizam essas técnicas, é comum aparecerem multiplicações envolvendo números naturais consecutivos, como, por exemplo: 26. 25. 24 ;  4 . 3 . 2 . 1 ;  7 . 6 . 5; etc., portanto, precisamos relembrar uma ferramenta muito utilizada para resolver os problemas de contagem, que é o fatorial.

Fatorial: Seja n um número natural, com n ≥ dois. Define-se o fatorial de n, que é representado por n!, como o produto dos números naturais consecutivos n, n – 1, n – 2, …, 1. Isto é: n! = n . (n – 1). (n – 2). … . 1

Importante: 0! = 1 e 1! = 1

Vamos ver alguns exemplos:

 probabilidade - exercício

Dica: Reveja também outro assunto muito importante e muito cobrado nas provas do Enem e dos vestibulares de todo Brasil. Acesse o nosso blog do Enem e veja um super-resumo sobre escalas, razões e proporções. Vai ficar de fora dessa?

Arranjos

Consideramos arranjo, quando a ordem dos elementos for levada em consideração, ou seja, os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem dos elementos.

Para calcular a quantidade de agrupamentos formados utilizamos seguinte fórmula:

probabilidade - fórmula

n  é a quantidade de elementos do conjunto.
p  é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos.

Exemplo:

Em um colégio, dez alunos candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grêmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?

Resolução:

Temos dez alunos disputando duas vagas, onde a ordem de escolha mudará o agrupamento, então se trata de um problema de arranjo, assim, dez elementos tomados dois a dois, temos:

Pprobabilidade - resolução

Permutação

São agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. Observe que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.

probabilidade - permutação

Exemplo:

Em uma mesa existem 6 lugares, quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem sentar-se nessas mesas?

Resolução:probabilidade - exemplo

Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação:

Combinação

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. É dada pela seguinte expressão:probabilidade - combinaçãoUm exemplo clássico de combinação é a mega sena, que consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis. probabilidade - números

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Para finalizar sua revisão sobre estatística, veja os exercícios sobre contagem e probabilidade que selecionamos para você!

1) De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças?

2) (Enem – 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

probabilidade - alternativas

Gabarito:

1) 24

2) A

Faça o Simulado

Sobre o(a) autor(a):

Munique é formada em química pela UFSC, tem mestrado e doutorado em Engenharia Química, também pela UFSC.