A área do triângulo pode ser calculada de 5 maneiras diferentes, sendo a mais famosa: área = b . h dividido por 2. Traduzindo: a Áreal é igual à base vezes a altura, dividido por dois. Veja no resumo completo:
Quando pensamos em geometria plana nos vem à cabeça a ideia de áreas. Na aula de hoje vamos falar sobre fórmulas de cálculo da área do triângulo, área do pentágono e área do hexágono.
Cálculo da área do triângulo
Primeiramente começaremos pelas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Mas, por que fórmulas? No plural? Isso porque na geometria plana existem 5 formas diferentes de calcular a área do triângulo.
São 5 fórmulas diferentes, pois cada fórmula depende das informações conhecidas a respeito do triângulo.
Consideraremos para esta aula a letra S como nomenclatura de área, mas, dependendo da bibliografia, você pode encontrar a letra A também.
Fórmulas para a área do triângulo
Primeiramente, vamos ver a área do triângulo conhecendo as medidas da base b e da altura h:
O triângulo ΔABC da imagem acima possui base BC e altura h conhecidas. Neste caso, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Você se recorda desta fórmula? Ela representa a famosa fórmula “a área de um triângulo é dada pela base vezes altura dividido por dois”.
Assim, agora que já vimos a expressão mais “clássica” para cálculo de área de triângulo, vamos conhecer as outras quatro formas possíveis.
Área de um triângulo conhecendo as medidas dos seus lados
O triângulo ΔABC da imagem possui lados de medida a,b e c conhecidos. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Em que p é o semiperímetro do triângulo:
Área de um triângulo conhecendo um ângulo interno seus lados adjacentes
O triângulo ΔABC da imagem possui o ângulo α e os lados b e c de medidas conhecidas. Nesse sentido, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Neste caso, a fórmula muda dependendo do ângulo interno conhecido e os lados adjacentes, por exemplo:
Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência circunscrita
O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio R da circunferência circunscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência inscrita
O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio r da circunferência inscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
S = p . r
Mas lembre-se: p é o semiperímetro do triângulo.
Agora que já aprendemos as diferentes formas de calcular a área de um triângulo, podemos passar para as fórmulas da área de um pentágono e de um hexágono.
Área de pentágonos e hexágonos
Antes disso, vale a pena destacar que estes polígonos podem ser decompostos em triângulos.
Os pentágonos e os hexágonos podem ser regulares ou não. Caso eles sejam regulares, é possível encontrarmos uma fórmula fechada para o cálculo da área; caso contrário, não é possível.
Sendo assim, se você se deparar com o cálculo de área de um pentágono ou um hexágono não regular, minha sugestão é que você decomponha o polígono em triângulos.
Assim encontre a área de cada triângulo separadamente e some essas áreas, a fim de encontrar a área do polígono de interesse.
Do triângulo equilátero ao pentágono e ao hexágono
A partir de agora vamos tratar da área do pentágono e do hexágono regular. Assim, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, então sua fórmula de área depende da fórmula da área do triângulo equilátero.
O mesmo não acontece com o pentágono regular, por isso a dedução da sua fórmula pode se tornar um pouco mais complicada.
Vamos, primeiramente, deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero.
Área de um triângulo equilátero
Considere ΔABC um triângulo equilátero de lado l.
Traçando a altura h deste triângulo obtemos a seguinte configuração:
Dessa maneira, conseguimos encontrar uma expressão para a altura h deste triângulo através do Teorema de Pitágoras no triângulo ΔABD:
Agora, conhecida a base e a altura do triângulo e, se utilizando da 1ª fórmula vista neste post, encontramos a expressão para o cálculo da área do triângulo equilátero em função dos seus lados:
Área do hexágono regular
Considere o hexágono regular de lado l.
Como já falado anteriormente, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros:
Assim, por este motivo, temos que a sua área pode ser calculada através de:
Agora que já sabemos calcular a área de triângulo de diferentes formas e, também, sabemos calcular a área de um hexágono regular, vamos ao cálculo da área do pentágono regular.
Antes, fique ligado/a no seguinte: a área de um polígono regular pode ser calculada através de:
S = p . α (1)
Em que p é o semiperímetro do polígono e a é o apótema do polígono.
Observação: apótema do polígono é o segmento que sai do centro do polígono e vai até um dos lados do polígono, tocando esse lado no ponto médio e formando 90° com este mesmo lado.
Para entender ainda melhor, confira a aula do professor Lucas:
Área do pentágono regular
Considere o pentágono regular de lado l e apótema a.
Como o pentágono regular é um caso de polígono regular, podemos encontrar uma fórmula para o cálculo de sua área a partir da fórmula anterior.
O semiperímetro do pentágono é dado nesse caso por p = 5l/2 . Assim, a área do pentágono regular se torna:
Pronto, agora você já sabe como calcular a área de um triângulo, de um pentágono regular e de um hexágono regular.
Ainda, perceba que com a fórmula (1) e sabendo que em um hexágono regular o apótema coincide com a altura dos triângulos equiláteros que o formam, você consegue encontrar a mesma expressão para a área do hexágono regular.
Resumo sobre triângulos
Na hora dos exercícios você verá que esse assunto pode aparecer em questões que mesclam outras áreas da matemática, como por exemplo, a trigonometria. Por fim, vamos aos exercícios.
Exercícios sobre cálculo de área
Questão 01 – (UNICAMP SP/2020)
A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB = BC e é uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a
a) h2.
b) √2h².
c) √3h².
d) 2h2.
Gab: A
Questão 02 – (UNICAMP SP Adaptada /2020)
A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a = 5cm e um dos ângulos internos igual a Θ , em que cos Θ = 3⁄5.
a) Calcule a área desse triângulo.
Gab:
a) Sendo h o comprimento da altura em relação a um dos lados de comprimento a, temos senΘ = h/a e, portanto, a área do triângulo pode ser calculada como
A = 1/2 x a x h = 1/2 x a x a x senΘ.
Como 0 < Θ < 180º, da equação fundamental (senΘ)² + (cosΘ)² = 1, temos:
Assim, a área é igual a A = 1/2 x 5 x 5 x 4/5 = 10 cm2.
Questão 03 – (UECE/2019)
Se as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, a medida da área desse triângulo, em m2, é
a) 5√6 .
b) 3√15 .
c) 6√5.
d) 4√15.
Gab: B
Questão 04 – (Mackenzie/2011)
Na figura, ABCDEF é um hexágono regular e a distância do vértice D à diagonal FB é 3. A área do triângulo assinalado é
a) √3
b) 2√3
c) 4√3
d) 3
e) 6
Gab: A
