Área do triângulo, pentágono e hexágono: veja como calcular

A área do triângulo pode ser calculada de 5 maneiras diferentes, sendo a mais famosa: área = b . h dividido por 2.

Quando pensamos em geometria plana nos vem à cabeça a ideia de áreas. Na aula de hoje vamos falar sobre fórmulas de cálculo da área do triângulo, área do pentágono e área do hexágono.

Cálculo da área do triângulo

Primeiramente começaremos pelas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Mas, por que fórmulas? No plural? Isso porque na geometria plana existem 5 formas diferentes de calcular a área do triângulo.

São 5 fórmulas diferentes, pois cada fórmula depende das informações conhecidas a respeito do triângulo.

Consideraremos para esta aula a letra S como nomenclatura de área, mas, dependendo da bibliografia, você pode encontrar a letra A também.

Fórmulas para a área do triângulo

Primeiramente, vamos ver a área do triângulo conhecendo as medidas da base b e da altura h:

como calcular a área do triângulo
Figura 1: Triângulo de vértices A,B e C, de base (BC) = b e altura h traçada a partir do vértice A conhecidos.

O triângulo ΔABC da imagem acima possui base BC e altura h conhecidas. Neste caso, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

fórmula da área do triângulo

Você se recorda desta fórmula? Ela representa a famosa fórmula “a área de um triângulo é dada pela base vezes altura dividido por dois”.

Assim, agora que já vimos a expressão mais “clássica” para cálculo de área de triângulo, vamos conhecer as outras quatro formas possíveis.

Área de um triângulo conhecendo as medidas dos seus lados
triângulo com lados a b e c
Figura 2: Triângulo de vértices A,B e C e lados a,b e c conhecidos.

O triângulo ΔABC da imagem possui lados de medida a,b e c conhecidos. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

área do triângulo sabendo os lados

Em que p é o semiperímetro do triângulo:

fórmula do semiperímetro do triângulo

Área de um triângulo conhecendo um ângulo interno seus lados adjacentes
triângulo com ângulo interno
Figura 3: Triângulo com vértices A,B e C, ângulo interno α em A e lados conhecidos b e c.

O triângulo ΔABC da imagem possui o ângulo α  e os lados b e c de medidas conhecidas. Nesse sentido, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

fórmula da área do triângulo com ângulo alfa

Neste caso, a fórmula muda dependendo do ângulo interno conhecido e os lados adjacentes, por exemplo:

triângulos com ângulos internos
Figura 4: Imagem mais acima: Triângulo com vértices A,B e C, ângulo interno β em B, lados conhecidos a e c e fórmula da área do triângulo neste caso. Imagem mais abaixo: Triângulo com vértices A,B e C, ângulo interno γ em C, lados conhecidos a e b e fórmula da área do triângulo neste caso.
Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência circunscrita
triângulo dentro de uma circunferência
Figura 5: Triângulo com vértices A,B e C, lados a,b, e c conhecidos e raio R da circunferência circunscrita conhecido.

O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio R da circunferência circunscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

área do triângulo circunferência circunscrita

Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência inscrita
triângulo com circunferência inscrita
Figura 6: Triângulo com vértices A,B e C, lados a,b, e c conhecidos e raio r da circunferência inscrita conhecido.

O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio r da circunferência inscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

S = p . r

Mas lembre-se: p é o semiperímetro do triângulo.

Agora que já aprendemos as diferentes formas de calcular a área de um triângulo, podemos passar para as fórmulas da área de um pentágono e de um hexágono.

Pentágonos e hexágonos

Antes disso, vale a pena destacar que estes polígonos podem ser decompostos em triângulos.

Os pentágonos e os hexágonos podem ser regulares ou não. Caso eles sejam regulares, é possível encontrarmos uma fórmula fechada para o cálculo da área; caso contrário, não é possível.

Sendo assim, se você se deparar com o cálculo de área de um pentágono ou um hexágono não regular, minha sugestão é que você decomponha o polígono em triângulos.

Assim encontre a área de cada triângulo separadamente e some essas áreas, a fim de encontrar a área do polígono de interesse.

Do triângulo equilátero ao pentágono e ao hexágono

A partir de agora vamos tratar da área do pentágono e do hexágono regular. Assim, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, então sua fórmula de área depende da fórmula da área do triângulo equilátero.

O mesmo não acontece com o pentágono regular, por isso a dedução da sua fórmula pode se tornar um pouco mais complicada.

Vamos, primeiramente, deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero.

Área de um Triângulo Equilátero

Considere ΔABC um triângulo equilátero de lado l.

área do triângulo equilátero
Figura 7: Triângulo equilátero com vértices A,B e C, lados de medida l.

Traçando a altura h deste triângulo obtemos a seguinte configuração:

triângulo equilátero altura h
Figura 8: Triângulo equilátero com vértices A,B e C, lados de medida l, altura h traçada a partir do vértice A. Ponto D como sendo o pé da altura h, dividindo o lado (BC) ̅ em dois segmentos de medida l/2. Triângulo ∆ADB formado é retângulo.

Dessa maneira, conseguimos encontrar uma expressão para a altura h deste triângulo através do Teorema de Pitágoras no triângulo ΔABD:

cálculo da altura

Agora, conhecida a base e a altura do triângulo e, se utilizando da 1ª fórmula vista neste post, encontramos a expressão para o cálculo da área do triângulo equilátero em função dos seus lados:

cálculo da área do triângulo equilátero

Resumo do cálculo de Área

Veja agora com o professor Vinny, do canal do Curso Enem Gratuito, as dicas para o cálculo de área em triângulos e outras figuras planas. Confira:

Assim podemos partir para o hexágono regular.

Área do Hexágono Regular

Considere o hexágono regular de lado l.

hexágono regular
Figura 9: Hexágono regular com vértices A, B, C, D, E e F e lados de medida l.

Como já falado anteriormente, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros:

hexágono regular decomposto
Figura 10: Hexágono regular com vértices A, B, C, D, E e F e lados de medida l decomposto em 6 triângulos equiláteros.

Assim, por este motivo, temos que a sua área pode ser calculada através de:

área do hexágono

Agora que já sabemos calcular a área de triângulo de diferentes formas e, também, sabemos calcular a área de um hexágono regular, vamos ao cálculo da área do pentágono regular.

Antes, fique ligado/a no seguinte: a área de um polígono regular pode ser calculada através de:

S = p . α (1)

Em que p é o semiperímetro do polígono e a é o apótema do polígono.

Observação: apótema do polígono é o segmento que sai do centro do polígono e vai até um dos lados do polígono, tocando esse lado no ponto médio e formando 90° com este mesmo lado.

Vamos então ao caso da área do pentágono regular.

Área do Pentágono Regular

Considere o pentágono regular de lado l e apótema a.

pentágono regular
Figura 11: Pentágono regular com vértices A, B, C, D e E, lados de medida l e apótema de medida a.

Como o pentágono regular é um caso de polígono regular, podemos encontrar uma fórmula para o cálculo de sua área a partir da fórmula anterior.

O semiperímetro do pentágono é dado nesse caso por p = 5l/2 . Assim, a área do pentágono regular se torna:

área do pentágono

Pronto, agora você já sabe como calcular a área de um triângulo, de um pentágono regular e de um hexágono regular.

Ainda, perceba que com a fórmula (1) e sabendo que em um hexágono regular o apótema coincide com a altura dos triângulos equiláteros que o formam, você consegue encontrar a mesma expressão para a área do hexágono regular.

E aí, curtiu o conteúdo? Veja agora um resumo sobre as Figuras Planas que mais caem no Enem.

Os Polígonos que mais caem

Confira com o professor Sérgio Sarkis um resumo rápido sobre os Polígonos.

Na hora dos exercícios você verá que esse assunto pode aparecer em questões que mesclam outras áreas da matemática, como por exemplo, a trigonometria. Por fim, vamos aos exercícios.

Exercícios sobre cálculo de Área

Questão 01 – (UNICAMP SP/2020)

A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB = BC e  é uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a

exercício área do triângulo unicamp

 

a) h2.

b) √2h².

c) √3h².

d) 2h2.

Gab: A

Questão 02 – (UNICAMP SP Adaptada /2020)

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a = 5cm e um dos ângulos internos igual a Θ , em que cos Θ = 3⁄5.

triângulo unicamp

a) Calcule a área desse triângulo.

Gab:

a) Sendo h o comprimento da altura em relação a um dos lados de comprimento a, temos senΘ = h/a e, portanto, a área do triângulo pode ser calculada como

A = 1/2 x a x h = 1/2 x a x a x senΘ.

Como 0 < Θ < 180º, da equação fundamental (senΘ)² + (cosΘ)² = 1, temos:

cálculo do exercício

Assim, a área é igual a A = 1/2 x 5 x 5 x 4/5 = 10 cm2.

Questão 03 – (UECE/2019)

Se as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, a medida da área desse triângulo, em m2, é

a) 5√6 .

b) 3√15 .

c) 6√5.

d) 4√15.

Gab: B

Questão 04 – (Mackenzie/2011)

Na figura, ABCDEF é um hexágono regular e a distância do vértice D à diagonal FB é 3. A área do triângulo assinalado é

exercício hexágono

a) √3

b) 2√3

c) 4√3

d) 3

e) 6

Gab: A

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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