Área do triângulo, pentágono e hexágono: veja como calcular

A área do triângulo pode ser calculada de 5 maneiras diferentes, sendo a mais famosa: área = b . h dividido por 2.

Quando pensamos em geometria plana nos vem à cabeça a ideia de áreas. Na aula de hoje vamos falar sobre fórmulas de cálculo da área do triângulo, área do pentágono e área do hexágono.

Cálculo da área do triângulo

Primeiramente começaremos pelas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Mas, por que fórmulas? No plural? Isso porque na geometria plana existem 5 formas diferentes de calcular a área do triângulo.

São 5 fórmulas diferentes, pois cada fórmula depende das informações conhecidas a respeito do triângulo.

Consideraremos para esta aula a letra S como nomenclatura de área, mas, dependendo da bibliografia, você pode encontrar a letra A também.

Fórmulas para a área do triângulo

Primeiramente, vamos ver a área do triângulo conhecendo as medidas da base b e da altura h:

como calcular a área do triângulo
Figura 1: Triângulo de vértices A,B e C, de base (BC) = b e altura h traçada a partir do vértice A conhecidos.

O triângulo ΔABC da imagem acima possui base BC e altura h conhecidas. Neste caso, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

fórmula da área do triângulo

Você se recorda desta fórmula? Ela representa a famosa fórmula “a área de um triângulo é dada pela base vezes altura dividido por dois”.

Assim, agora que já vimos a expressão mais “clássica” para cálculo de área de triângulo, vamos conhecer as outras quatro formas possíveis.

Área de um triângulo conhecendo as medidas dos seus lados
triângulo com lados a b e c
Figura 2: Triângulo de vértices A,B e C e lados a,b e c conhecidos.

O triângulo ΔABC da imagem possui lados de medida a,b e c conhecidos. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

área do triângulo sabendo os lados

Em que p é o semiperímetro do triângulo:

fórmula do semiperímetro do triângulo

Área de um triângulo conhecendo um ângulo interno seus lados adjacentes
triângulo com ângulo interno
Figura 3: Triângulo com vértices A,B e C, ângulo interno α em A e lados conhecidos b e c.

O triângulo ΔABC da imagem possui o ângulo α  e os lados b e c de medidas conhecidas. Nesse sentido, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

fórmula da área do triângulo com ângulo alfa

Neste caso, a fórmula muda dependendo do ângulo interno conhecido e os lados adjacentes, por exemplo:

triângulos com ângulos internos
Figura 4: Imagem mais acima: Triângulo com vértices A,B e C, ângulo interno β em B, lados conhecidos a e c e fórmula da área do triângulo neste caso. Imagem mais abaixo: Triângulo com vértices A,B e C, ângulo interno γ em C, lados conhecidos a e b e fórmula da área do triângulo neste caso.
Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência circunscrita
triângulo dentro de uma circunferência
Figura 5: Triângulo com vértices A,B e C, lados a,b, e c conhecidos e raio R da circunferência circunscrita conhecido.

O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio R da circunferência circunscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

área do triângulo circunferência circunscrita

Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência inscrita
triângulo com circunferência inscrita
Figura 6: Triângulo com vértices A,B e C, lados a,b, e c conhecidos e raio r da circunferência inscrita conhecido.

O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio r da circunferência inscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:

S = p . r

Mas lembre-se: p é o semiperímetro do triângulo.

Agora que já aprendemos as diferentes formas de calcular a área de um triângulo, podemos passar para as fórmulas da área de um pentágono e de um hexágono.

Pentágonos e hexágonos

Antes disso, vale a pena destacar que estes polígonos podem ser decompostos em triângulos.

Os pentágonos e os hexágonos podem ser regulares ou não. Caso eles sejam regulares, é possível encontrarmos uma fórmula fechada para o cálculo da área; caso contrário, não é possível.

Sendo assim, se você se deparar com o cálculo de área de um pentágono ou um hexágono não regular, minha sugestão é que você decomponha o polígono em triângulos.

Assim encontre a área de cada triângulo separadamente e some essas áreas, a fim de encontrar a área do polígono de interesse.

Do triângulo equilátero ao pentágono e ao hexágono

A partir de agora vamos tratar da área do pentágono e do hexágono regular. Assim, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, então sua fórmula de área depende da fórmula da área do triângulo equilátero.

O mesmo não acontece com o pentágono regular, por isso a dedução da sua fórmula pode se tornar um pouco mais complicada.

Vamos, primeiramente, deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero.

Área de um Triângulo Equilátero

Considere ΔABC um triângulo equilátero de lado l.

área do triângulo equilátero
Figura 7: Triângulo equilátero com vértices A,B e C, lados de medida l.

Traçando a altura h deste triângulo obtemos a seguinte configuração:

triângulo equilátero altura h
Figura 8: Triângulo equilátero com vértices A,B e C, lados de medida l, altura h traçada a partir do vértice A. Ponto D como sendo o pé da altura h, dividindo o lado (BC) ̅ em dois segmentos de medida l/2. Triângulo ∆ADB formado é retângulo.

Dessa maneira, conseguimos encontrar uma expressão para a altura h deste triângulo através do Teorema de Pitágoras no triângulo ΔABD:

cálculo da altura

Agora, conhecida a base e a altura do triângulo e, se utilizando da 1ª fórmula vista neste post, encontramos a expressão para o cálculo da área do triângulo equilátero em função dos seus lados:

cálculo da área do triângulo equilátero

Assim podemos partir para o hexágono regular.

Área do Hexágono Regular

Considere o hexágono regular de lado l.

hexágono regular
Figura 9: Hexágono regular com vértices A, B, C, D, E e F e lados de medida l.

Como já falado anteriormente, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros:

hexágono regular decomposto
Figura 10: Hexágono regular com vértices A, B, C, D, E e F e lados de medida l decomposto em 6 triângulos equiláteros.

Assim, por este motivo, temos que a sua área pode ser calculada através de:

área do hexágono

Agora que já sabemos calcular a área de triângulo de diferentes formas e, também, sabemos calcular a área de um hexágono regular, vamos ao cálculo da área do pentágono regular.

Antes, fique ligado/a no seguinte: a área de um polígono regular pode ser calculada através de:

S = p . α (1)

Em que p é o semiperímetro do polígono e a é o apótema do polígono.

Observação: apótema do polígono é o segmento que sai do centro do polígono e vai até um dos lados do polígono, tocando esse lado no ponto médio e formando 90° com este mesmo lado.

Vamos então ao caso da área do pentágono regular.

Área do Pentágono Regular

Considere o pentágono regular de lado l e apótema a.

pentágono regular
Figura 11: Pentágono regular com vértices A, B, C, D e E, lados de medida l e apótema de medida a.

Como o pentágono regular é um caso de polígono regular, podemos encontrar uma fórmula para o cálculo de sua área a partir da fórmula anterior.

O semiperímetro do pentágono é dado nesse caso por p = 5l/2 . Assim, a área do pentágono regular se torna:

área do pentágono

Pronto, agora você já sabe como calcular a área de um triângulo, de um pentágono regular e de um hexágono regular.

Ainda, perceba que com a fórmula (1) e sabendo que em um hexágono regular o apótema coincide com a altura dos triângulos equiláteros que o formam, você consegue encontrar a mesma expressão para a área do hexágono regular.

E aí, curtiu o conteúdo? Se quiser revisar as fórmulas de área de triângulo acesse a videoaula do canal Equaciona com Paulo Pereira: .

Na hora dos exercícios você verá que esse assunto pode aparecer em questões que mesclam outras áreas da matemática, como por exemplo, a trigonometria. Por fim, vamos aos exercícios.

Questão 01 – (UNICAMP SP/2020)

A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB = BC e  é uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a

exercício área do triângulo unicamp

 

a) h2.

b) √2h².

c) √3h².

d) 2h2.

Gab: A

Questão 02 – (UNICAMP SP Adaptada /2020)

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a = 5cm e um dos ângulos internos igual a Θ , em que cos Θ = 3⁄5.

triângulo unicamp

a) Calcule a área desse triângulo.

Gab:

a) Sendo h o comprimento da altura em relação a um dos lados de comprimento a, temos senΘ = h/a e, portanto, a área do triângulo pode ser calculada como

A = 1/2 x a x h = 1/2 x a x a x senΘ.

Como 0 < Θ < 180º, da equação fundamental (senΘ)² + (cosΘ)² = 1, temos:

cálculo do exercício

Assim, a área é igual a A = 1/2 x 5 x 5 x 4/5 = 10 cm2.

Questão 03 – (UECE/2019)

Se as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, a medida da área desse triângulo, em m2, é

a) 5√6 .

b) 3√15 .

c) 6√5.

d) 4√15.

Gab: B

Questão 04 – (Mackenzie/2011)

Na figura, ABCDEF é um hexágono regular e a distância do vértice D à diagonal FB é 3. A área do triângulo assinalado é

exercício hexágono

a) √3

b) 2√3

c) 4√3

d) 3

e) 6

Gab: A

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.