Cilindro é o sólido gerado pela união de todos os segmentos de reta paralelos à reta secante, com tais segmentos de reta possuindo extremidades nos círculos dos 2 planos.
Na aula de hoje vamos estudar o cilindro. Esse sólido geométrico é muito frequente em nosso cotidiano e aparece recorrentemente em questões de vestibulares e do Enem. Portanto, é muito importante que você entenda bem a sua definição e conheça seus elementos, classificação e cálculos de áreas e volume.
O que é um cilindro?
Um cilindro reto é um sólido de revolução e, portanto, pode ser obtido através de uma rotação de 360° de um retângulo em torno de um eixo – o chamado eixo de revolução – com tal eixo posicionado sobre um dos lados do retângulo.
Figura 1: Demonstração da obtenção de um cilindro reto a partir da revolução de um retângulo. Fonte: https://bit.ly/35LgpjW
Repare na imagem acima que conseguirmos obter o cilindro reto (cujas laterais formam ângulos de 90º com as laterais) com a revolução. Isso significa que só existem cilindros retos? Não!
Considere dois planos quaisquer, que sejam paralelos e distintos, e um círculo contido em cada um desses planos de modo que os círculos sejam congruentes. Além disso, considere também uma reta secante aos planos.
Chamamos de cilindro o sólido gerado pela união de todos os segmentos de reta paralelos à reta secante, com tais segmentos de reta possuindo extremidades nos círculos dos dois planos. Veja imagem abaixo para entender melhor:
Figura 2: Representação de dois cilindros. Fonte: https://bit.ly/2TCDUpJ.
Elementos de um cilindro
Além de compreender bem a definição de um cilindro, é importante que você conheça os elementos deste sólido geométrico. São eles:
- Um par de bases paralelas e congruentes;
- Eixo;
- Raio da base;
- Altura;
- Geratriz.
Veja estes elementos na imagem abaixo.
Figura 3: Representação do cilindro e seus elementos. Fonte: https://bit.ly/37SPe9q.
Agora vamos detalhar um pouco mais tais elementos:
- As bases do cilindro são os círculos congruentes em cada um dos planos paralelos;
- Os raios das bases são os raios dos círculos que compõem as bases do cilindro;
- Sua altura é a distância entre as suas bases;
- Seu eixo é o segmento de reta com extremidades no centro dos dois círculos que compõem as bases do cilindro;
- Suas geratrizes são os segmentos de retas que possuem uma extremidade na circunferência que delimita um dos círculos da base e a outra extremidade na circunferência que delimita o outro círculo que compõe a outra base do cilindro.
Além destes elementos, dizemos que a região compreendida entre as bases do cilindro é a sua lateral.
Classificação dos cilindros
Como vimos acima, podemos classificar os cilindros em:
- Reto: quando as geratrizes forem ortogonais aos planos da base.
- Oblíquo: quando as geratrizes não forem ortogonais aos planos da base.
Observe abaixo.
Figura 4: Representação de um cilindro oblíquo e um cilindro reto. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/3oAKlHU
Na figura anterior, o cilindro da esquerda é oblíquo e o da direita é reto.
Perceba que, no caso do cilindro reto, a sua altura possui mesmo valor numérico que a sua geratriz. Já no oblíquo, tal equidade não é obrigatório.
Já aprendemos bastante sobre o tema, mas ainda precisamos aprender mais dois conceitos antes de partimos para as fórmulas de cálculo de áreas e volume: a seção meridiana e a definição de cilindro equilátero.
O que é seção meridiana
Imagine que você vá seccionar o cilindro através de um plano que contém o eixo do cilindro, como no exemplo abaixo.
Figura 5: Representação de um plano seccionando um cilindro reto. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/35LgpjW
Agora, imagine que estamos interessados em analisar apenas a figura plana gerada pela intersecção do plano com o cilindro. Essa figura é um paralelogramo e é chamada de seção meridiana do cilindro.
Perceba que a altura do paralelogramo gerado coincide com a altura do cilindro e, como ele possui base com raio medindo r, o comprimento do paralelogramo terá medida 2r. Veja abaixo.
Figura 6: Representação de um plano seccionando um cilindro reto e sua respectiva seção meridiana. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/35LgpjW
Em seguida, repare abaixo como é a seção meridiana de um cilindro oblíquo:
Figura 7: Representação de um plano seccionando um cilindro oblíquo e sua respectiva seção meridiana. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/35QsKmK
Perceba que, no caso do cilindro reto, a seção meridiana é um retângulo, e que no caso do cilindro oblíquo, a seção meridiana é um paralelogramo.
Note também que tanto o paralelogramo quanto o retângulo terão altura igual à altura do cilindro e comprimento medindo 2r.
Cilindro equilátero
Agora que já aprendemos sobre seção meridiana, vamos à definição de cilindro equilátero:
Cilindro equilátero é um cilindro reto cuja medida da altura coincide com a medida do diâmetro (dobro do raio). Veja abaixo.
Figura 8: Representação de um cilindro equilátero. Imagem retirada de: https://bit.ly/35Mitbj
No cilindro equilátero temos a seguinte relação válida: g=h=2r, com r sendo o raio da base. Repare que no caso do cilindro equilátero, a sua seção meridiana é um quadrado de lado de medida 2r.
Perceba, então, que todo cilindro reto possui seção meridiana sendo um paralelogramo, mas apenas o equilátero possui seção meridiana sendo um quadrado.
Cálculo da área e do volume
Agora podemos partir para o estudo dos cálculos de áreas e volume do cilindro.
Primeiro, algumas definições:
- Superfície lateral: união de todas as geratrizes. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área lateral do cilindro – denotada por Al ou Sl.
- Superfície total: união da superfície lateral com as duas bases. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área total do cilindro – denotada por At ou St.
- Volume: espaço ocupado pelo cilindro – denotado por V.
Ok, até aqui sabemos as definições, mas e os cálculos?
Veja a imagem abaixo, que representa a planificação do cilindro.
Figura 9: Representação da planificação de um cilindro reto. Imagem retirada de: https://bit.ly/2TBSuxp
Com o auxílio da imagem acima, repare que a superfície lateral é um retângulo de altura com mesma medida que a altura do cilindro e comprimento equivalente ao comprimento da circunferência que delimita o círculo da base (ou perímetro da circunferência).
Fórmula da área do cilindro
Sendo h a altura do cilindro e 2πr o comprimento da circunferência que delimita cada um dos círculos das suas bases, temos então que a área lateral é dada por:
Sl = 2πrh
Agora, sabendo que a área de cada uma das bases do cilindro é dada por πr², temos que a área total é dada por:
St = Sl + 2Sb
Ou seja,
St = 2πrh + 2(πr²)
St = 2πr (h + r)
Fórmula do volume do cilindro
E, por fim, o volume do cilindro é dado por:
V = Sb . h
V = πr² . h
V = πr²h
Você ainda pode estar se perguntando como ficam as fórmulas para o caso do cilindro equilátero. Nesse caso, você pode pegar a expressão h = 2r e substituir nas fórmulas acima, manipular as expressões e você chegará às expressões de áreas e volume deste sólido.
Videoaula
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Exercícios
1- (UNCISAL/2019)
Em um supermercado, são encontradas duas marcas de molho de tomate, X e Y, cujas embalagens são cilindros circulares retos. O raio da base da embalagem da marca X é o dobro do raio da base da embalagem da marca Y; a altura da embalagem da marca X é a metade da altura da embalagem da marca Y. Uma lata de molho de tomate da marca X custa R$ 3,60 e uma lata da marca Y custa R$ 3,30. As figuras a seguir ilustram a situação descrita.
Se ambos os produtos tiverem qualidades semelhantes, então, considerando-se a relação entre preço e capacidade de cada lata, será mais vantajoso para o comprador adquirir o molho de tomate da marca
a) Y, porque a capacidade de sua lata é igual à capacidade da lata de X e o preço de Y é inferior ao preço de X.
b) Y, porque a capacidade de sua lata é o dobro da capacidade da lata de X e o preço de Y é inferior ao preço de X.
c) X, porque a capacidade de sua lata é o dobro da capacidade da lata de Y e o preço de Y é superior à metade do preço de X.
d) Y, porque a capacidade de sua lata é o triplo da capacidade da lata de X e o preço de X é superior a um terço do preço de Y.
e) X, porque a capacidade de sua lata é quatro vezes a capacidade da lata de Y e o preço de Y é superior a um quarto do preço de X.
2- (UNCISAL/2019)
Um artesão confecciona vasos cilíndricos de dois tamanhos diferentes, decorados com faixas de papel colorido coladas nas superfícies, como mostram as figuras a seguir. O preço de venda de cada vaso é proporcional à quantidade de papel utilizado para confeccionar a faixa decorativa.
Considerando-se que os vasos sejam semelhantes, se o raio da base do vaso maior for igual a 4 vezes o raio da base do vaso menor, então o preço que o artesão deverá cobrar pelo vaso maior é igual a
a) 4 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 4.
b) 8 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 8.
c) 12 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 12.
d) 16 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 16.
e) 64 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 64.
Gab: D
3- (ENEM/2019)
Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.
No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.
A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é
a) 1,44.
b) 1,16.
c) 1,10.
d) 1,00.
e) 0,95.
Gabarito:
- C
- D
- D
