Geometria espacial: poliedros e corpos redondos

Entender os princípios da geometria espacial é fundamental para estudar os sólidos geométricos e suas características. Revise Matemática para o Enem!

Na geometria espacial, os sólidos geométricos são os objetos que possuem comprimento, largura e altura, ou seja, são objetos tridimensionais. Eles são classificados em duas categorias, as quais são: poliedros e corpos redondos. Você já deve ter escutado esses nomes lá no 8º ano do ensino fundamental, não é?

Vamos lembrar o conceito de cada um dos sólidos geométricos. É hora de revisar e aprender algumas propriedades muito importantes, que vire e mexe estão aparecendo nas questões de Geometria Espacial do Enem e dos vestibulares. Pronto para começar?

Classificando os sólidos geométricos – poliedros

Os poliedros são figuras sólidas (não planas) formadas exclusivamente por figuras planas. São exemplos: o paralelepípedo, o cubo, o tetraedro e hexaedro. Podemos estudar também, os elementos dos poliedros. Você saber dizer um elemento do poliedro? São eles: aresta, vértice e face. Veja na imagem:

geometria espacial - face - aresta - vértice

geometria espacial - classificação
Tabela elaborada pelo autor, para você aprender a nomenclatura dos poliedros. Também podemos classificar os poliedros como convexos ou não.

A nomenclatura dos poliedros é feita de acordo com a quantidade de faces. Veja a tabela que fizemos para você com a classificação dos principais poliedros:

Revise mais características dos poliedros neste post do Blog do Enem.

As classes dos poliedros: primas e pirâmides

Os poliedros ainda são separados em duas classes: primas e pirâmides. A diferença entre eles é a quantidade de bases que eles possuem. Vamos contar essas bases então?

geometria espacial - primas - pirâmides
Publicado em 09 de janeiro de 2016, retirado em: https://bit.ly/2LUz5l3

Prismas: são poliedros que possuem duas bases. Suas faces laterais são formadas por paralelogramos ou retângulos. Podemos ainda classificar os prismas em oblíquos e retos.

Pirâmide: são poliedros que possuem uma única base. Suas faces laterais são formadas por triângulos.

Existem vários problemas que envolvem os poliedros e as pirâmides. Mas calma, não fique desesperado (a)! Temos um segredinho para você resolver esses probleminhas. Na verdade, é uma fórmula matemática. Ela é bem conhecida. Utilizamo-la na resolução da maioria dos problemas, principalmente, naqueles que caem em vestibulares, Enem e concursos. Já sabe de quem estou falando? É da relação de Euler.

Relação de Euler – a fórmula mágica!

A relação de Euler é uma equação que podemos determinar a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e alguns não convexos. Veja:

V-A+F=2

V=número de vértices
A=número de arestas
F=número de faces

Veja o exercício a seguir, vamos resolvê-lo aplicando a relação.

Exemplo 01: (FAAP – SP) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?

Solução:

Seja V =  quantidade de vértices do poliedro, como a quantidade de arestas excede o número de vértices em 6 unidades, a quantidade de arestas é expressa pela equação     A =  V + 6. Substituindo essas igualdades na relação de Euler obtemos:

V- (V + 6)+F= 2

Aplicando a distributiva temos a seguinte igualdade:

V – V-  6 + F= 2
F = 2+6
F = 8

Portanto, o poliedro possui 8 faces.

Exemplo 02: Um designer está projetando um objeto na forma de um poliedro convexo formado por 8 faces triangulares e 2 pentagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.

Solução:

Primeiro devemos calcular a quantidade total de faces e arestas do poliedro, para depois aplicarmos a relação de Euler. Pensemos juntos!

Para a quantidade de faces devemos somar as faces triangulares com as faces pentagonais.

F = 8 + 2
F = 10

Para a quantidade de arestas, vamos pensar da seguinte maneira:

Se 1 face triangular possui 3 arestas, então 8 faces triangulares possuem 24 arestas, pois basta fazer 8 x 3 = 24. Mas, não podemos esquecer que estamos contando cada aresta duas vezes, por esse motivo dividiremos o total de arestas por 2, ou seja,

geometria espacial - fórmula

Faremos o mesmo para as faces pentagonais.

Se 1 face pentagonal possui 5 arestas, então 2 faces pentagonais possuem 10 arestas, pois basta fazer 5 x 2 = 10. Também devemos dividir esse número por 2, pois ocorre a mesma situação citada no cálculo das arestas das faces triangulares, ou seja,

geometria espacial - fórmula 1

Logo, somando as arestas dos dois tipos de faces temos que o número de arestas é:

geometria espacial - fórmula 2

Agora que já temos a quantidade de faces e arestas, vamos substituir os valores encontrados na relação de Euler para determinar a quantidade de vértices.

V- A + F= 2
V – 17 + 10 = 2
V = 2-10+17
V = 9

Portanto, o poliedro possui 9 vértices.

Alguns poliedros possuem propriedades peculiares. Eles são chamados de Poliedros de Platão, e é o que abordaremos a seguir.

Poliedros de Platão – conhecendo as particularidades

Os poliedros de Platão são poliedros regulares convexos que satisfazem três propriedades, as quais são:

  • O número de arestas é igual em todas as faces;
  • Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;
  • Vale a relação de Euler;

Existem apenas 5 poliedros de Platão, anote aí o nome deles de acordo com a imagem a seguir.

geometria espacial - poliedros
Publicado em 17 de dezembro de 2010, retirado em: https://bit.ly/2ClaaaY

Vamos esquecer um pouquinho os poliedros e verificar a outra categoria dos sólidos geométricos, a dos corpos redondos.

Corpos redondos – curvas do conhecimento

Corpos redondos são figuras sólidas que não são formadas totalmente por figuras planas. São exemplos: esferas, cilindros e cones.

geometria espacial - corpos redondos
Publicado em 06 de agosto de 2017, retirado em: https://bit.ly/2rRHGht

Sabe o que podemos fazer com esses sólidos? Podemos calcular o volume deles.

Volume dos sólidos geométricos – calculando o espaço ocupado

Calculamos o volume dos sólidos geométricos através do produto entre a área da base e a altura do sólido, matematicamente falando:

geometria espacial - cálculo

Exemplo 03: (Enem – 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostra a figura.

geometria espacial - exercício

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2.400 cm3?

Solução:

Para saber o que aconteceria, devemos calcular o volume que a água ocupa e o volume do tanque apresentado na imagem acima, cuja forma é de um hexaedro. Começaremos calculando a área da base. A base do sólido é um retângulo de comprimento 40 cm e largura 30 cm.

geometria espacial - solução

Logo, como a capacidade (volume) do tanque é de 3.000 cm³. O cálculo do volume do tanque é análogo ao volume do tanque, exceto a medida da altura. Pois a água não está até a borda do tanque, assim devemos descontar essa variação da altura, ou seja,

Portanto, o volume da água será:

Por fim, devemos somar o volume da água com o volume do objeto cujo volume é 2.400 cm³.

Como o volume do tanque é 3.000 cm³ e o volume da água mais o objeto é maior que a capacidade do tanque, a água transbordaria.

Para complementar seus estudos de geometria espacial, veja as aulas a seguir:

Exercícios sobre geometria espacial:

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos acima foram elaborados pela professora Cristiane Olska para o Blog do Enem. Cristiane é formada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Santa Catarina (UDESC), em Joinville. Dá aulas de Matemática em escolas da Grande Florianópolis desde 2016 e elabora módulos de Matemática para empresas do Estado de Santa Catarina e outros.